现在控制理论状态反馈与状态观测器

若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈 配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈 表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特 性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点 位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、 能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变 量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
(a1
k1)s
a0
k0
q,,n1sn1
M L
q1s
q0
（5-13）
显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到， 闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点 时，必须充分考虑零点的影响。
状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不 难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有 的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测 性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能 保持原有能观测性。
a0
k0
0
(5-9)
显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0，L ，kn1，可使特征方程的 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
将逆变换 x Px 代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反 馈系统状态方程：
x&
A
bkP
x
bv
(5-10)
与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 k为：
经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装 置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参 数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈 也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状 态变量是需要克服的障碍。
三、状态反馈系统的其它特性
单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后， 系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多 输出系统。如式(5-1)所示对象经 P1 变换后传递矩阵 为：
一、状态反馈系统的动态方程 以单输入-多输出受控对象动态方程为例：
x&Axbu
(5-1)
yCx
将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵， 负反馈至系统的参考输入，于是存在
u v kx
(5-2)
状态反馈系统动态方程为：
x&
Axb
vkx
Abk
xbv
(5-3)
y Cx
(5-4)
式中v为纯量，x 为 n1 维向量，A为nn 维矩阵，b 为n1
a1
a2
L
0
0
M
1
an1
0
0
b M
0
1
10
C
20
M
q0
11 L
1,n1
21 L
2,n1
ML
M
q1
L
M
q,n1
若在变换后的状态空间内引1n维状态反馈矩阵 k ：
k
k0
k1 L
kn1
(5-5)
其中 k0，L ，kn1分别为由状态变量 x1，L ，xn 引出的反
馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为 ：
为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状 态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出 状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系 统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在 许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。
导弹大迎角控制
第一节 状态反馈与极点配置
q1s
q0
(5-12)
而引入状态反馈阵k 后的传递函数阵G2为：
G1C[sI (Abk )1b
10
11 L
1 sn (an1kn1)sn1L
M
(a1
k1)s
a0
k0
q0
M
q1
L L
1,n1
M
q,n1
1
s
M
sn1
1,,n1sn1L
11s 10
1 sn (an1kn1)sn1L
式中：
x&
A
bk
xbv
y Cx
0
1
0L
0
0
1L
A
bk
M
M
MO
0
0
0L
Baidu Nhomakorabea
a0
k0
a1 k1
a2 k2
L
(5-6)
(5-7)
0
0
M
1
an1 kn1
该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不 变。特征方程为：
I
A
bk
n
an1
kn1
n1L
a2
k2
2
a1
k1
1
1
j
3 4 2 6
40
根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1、x2、x3 引出的反馈系数为：
k0 4，k14，k2 1 故
k
4
4
1
例5-2试研究下列受控对象
G1
C
sI
A
1b
10
11 L
sn
1 an1sn1L
M
a1s
a0
q0
M
q1
L L
1 1,n1 s M M
q,n1 sn1
1,,n1sn1L
11s 10
sn
1 an1sn1L
M
a1s
a0
q,,n1sn1L
选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动 态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非 离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。
例5-1设受控对象传递函数为：
y u
s s
s
s
10
1
s
2
试用状态反馈使闭环极点配置在 2,1 j 。
解： 传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现
k kP
(5-11)
需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并
不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态
反馈系统闭环特征多项式
I
A
bk
，这时，其系数为
k0,L , kn1
的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定k。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实 现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 pn 维。
维矩项向阵式量。。，Ak为bk1为n维闭行环矩状阵态，阵y为，Iq1 A 维b向k量 为，C闭为环特q征n多维
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控
证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 1 0 L
0 0 0 L
A
M
M
MO
0
0
0L
a0
x& 1 0
x& 0
2
x& 0
3
1 0 2
x 0 1 0
1 x 0 u 2
3 1 x
3
y 10
0
0
x
状态反馈阵
k
k0
k1
k 2
状态反馈系统特征方程：
2
1
j