黑龙江科技学院考试试题偏微分方程期末考试试题(06)

黑龙江科技学院考试试题

第一套

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共 1 页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第 1 页

一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.

二、（10分）求一维波动方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22

2 22

,,0 ,0,,0 t u u a x t t x u x x u x x j y 춶 =-¥<<+¥> ï

¶¶ í ï == î

的通解. 三、 （15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解 ( ) ( ) ( ) 2 ,0, ,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x x u x x ì =>-¥<<+¥ ï

= í ï

= î 四、 （10分）计算积分 ( ) 3 2 x J x dx - ò . 五、（15分）设 1 , 1 ³ ³ n m ，证明

( ) ( ) (

)dx x p x m dx x p x n m n m n m

ò ò - - = + + 1

1 1 1

1 六、 （15分）用分离变量法求解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 0,0,0 ,00,,0 0,0,,0 tt xx t u a u x l t u x u x x u t u l t ì -=<<> ï

== í ï

== î 七、 （10分）解固有值问题 ( ) ( ) ( ) ''0, ''0 y y l x l y l y l l +=-<< ì ï í -== ï î 八、 （10分）叙述斯图模­刘维尔定理.

黑龙江科技学院考试试题答案

第一套

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共 1 页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第 1 页

一、解：波动方程： ( )

2

2

2 , u a u f t x t

¶ =D + ¶ 热传导方程： ( )

2 , u

a u f t x t

¶ =D + ¶ 位势方程： ( )

u f x D = ……………………….5 分

其中 ( ) 12 ,,, n x x x x = L ，a 为常数， ( ) , f t x 及 ( ) f x 为已知函数，在波动方程及 热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量 ( ) 12 ,,, n x x x x = L 的函数， 在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量 ( ) 12 ,,, n x x x x = L 的函数，而与时间 t 无 关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。……………………….15 分 二、解：首先判别方程的类型，

2

a D => ………………………2 分

即此方程在整个全平面上都是双曲型的。 特征方程为：( ) ( ) 2

2

2 0

dx a dt -= ( ) ( ) 22 2 00

dx a dt dx adt -=Þ= m 特征曲线为 1

2

x at c x at c -= ì í

+= î ………………………6 分

做变量替换，令 x at x at x h =- ì

í =+ î

，

由链式法则得 0

u xh = 通解 ( ) ( ) ( ) ( ) u f g f x at g x at x h =+=-++ ……………………….10 分

三、解： ( ) ( ) ( ) [

] ( ) ò + - + - + + = at

x at

x d a at x at x t x u x x f j j 2 1 2 1 , ……………………….5 分

( ) ( ) ( ) [ ] ò + - + - + + =

at x at x d a

at x at x t x u x x cos 2 1 sin sin 2 1

, ( ) ( )

[ ] at x at x a at x - - + + = sin sin 2 1

cos sin ……………………….10 分 at x a

at x sin cos 1

cos sin + = ……………………….15 分

四、解：由分部积分法及微分关系( ) 1 ' v v v v x J x J - = ，有

( ) ( ) ( ) ( ) 3414131 2211 4 x J x dx x x J dx x x J x x J dx --- ---- ==- òòò

3232 1110 44' x J x J dx x J x J dx --- =-=-- òò ……………………….5 分 32 100 48 x J x J xJ dx

=--+ ò ……………………….8 分

( ) ( ) ( ) 32 10 84 x x J x x J x C =-+-+ ……………………….10 分

五、证明：

( ) ( ) ( ) 1

1

1 0

'' m m n n n n x p x dx x xp x p x dx - =- éù ëû

òò ……………………….5 分

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

1

1

1

1

1 0

10

1 0

1 m m

m

m n n n n x

p x m x p x dx x p x mx p x dx +- -- =-+-+ òò ……….10分

( ) ( ) ( ) 1

1

1 1 0

1 m

m n n m x p x dx m x p x dx - - =-++ òò ……….15分

移项有

( ) ( ) ( )dx x p x m dx x p x n m n m n m ò ò - - = + + 1

1 1

1 0 1 六、解： 设 ( ) ( )

( ) t T x X t x u = , 分离变量 l - = ¢ ¢ = ¢ ¢ X X T a T 2 代入方程组得 ( ) ( ) ï î ï

í ì = + ¢ ¢ = = = + ¢ ¢ 0 0 0 0 2 T a T l X X X X l l ………..3分

解固有值问题 (

) ( ) î í

ì = = = + ¢

¢ 0 0 0l X X X X l 得 2 ] [

l n n p l = L 3 , 2 , 1 = n ； ( ) x l n x X n p

sin = ………..6分 将 2

] [ l

n n

p l = 代入 0 2 = + ¢ ¢ T a T l 得 ( ) t l

a

n D t l a n C t T n

n n p p sin cos + = ………..9分