黑龙江科技学院考试试题偏微分方程期末考试试题(06)
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
黑龙江科技学院考试试题答案1 2
命题人：教研室主任：第1页一、填空题1．继电器输出型、晶体管输出型和晶闸管输出型2．整体式和模块式两种3．超小型、小型机、中型机和大型机4．高档机、中档机、低档机5．主机、扩展、智能单元三种，最多扩展到128点6．树形结构7．ProjManager.dat8．按F2二、判断1．√2．×3．√4．×5．√三、选择题1．(B) 2．(A) 3．(C) 4．(D) 5．(A)四、简答1．答：覆盖式画面出现时，它重叠在当前画面之上，其他打开的画面还在运行，关闭后被覆盖的画面又可见。
替换式画面出现时，所有与之相交的画面自动从屏幕和内存中删除，不再运行。
2．答：选择粘贴或加载位图后，在快捷菜单上选择“透明化”。
在调色板上单击“吸色管”，然后吸取颜色。
再次单击“吸色管”按钮，然后用吸色管箭头单击位图，即可获得透明的位图。
3．答：使用OT指令应注意以下问题：（1）OT指令不能直接从母线开始。
（2）OT指令在梯形图中位于一个逻辑行的末尾，紧靠右母线，不能串联使用。
（3）OT指令可以连续使用。
（4）一般情况，对于某个输出继电器只能用一次OT指令，否则，PLC按出错对待。
五、程序设计题解：I/O点分配：输入点：X0：S1报警开关X1：S2报警响应开关X2：S3报警测试开关输出点：Y0：报警灯Y1：警铃命题人：教研室主任：第2页梯形图助记符地址指令012321在这个线路中，定时器T0和T1构成警灯的闪烁控制，每隔0.5秒亮一次，亮一次的时间也是0.5秒。
当报警响应开关闭合时，X1=ON，R0接通。
R0的接通一方面使警灯由闪烁变成常亮，另一方面切断警铃。
黑龙江科技学院考试试题
考试试题课程名称：无机化学 课程编号：01033010 适用专业（班级）：化工06—1~3班 共5页命题人： 教研室主任： 第1页一、选 择 题 （在 下 列 各 题 中 ， 选 择 出 符 合 题 意 的 答 案 ， 将 其 代 号 填 入 括 号 内 ）(本大题分10小题, 每小题2分, 共20分)1、 当 温 度 一 定， 反 应 2A (g) + 3B (g) 5C (g) 在 进 行 过 程 中， 下 列 各 物 理 量 中， 发 生 变 化 的 是.......................................................................................................................（ ）。
(A)△r G ； (B)△r G m ； (C) K ； (D) k 。
2、 欲 使 CaCO 3 在 水 溶 液 中 的 溶 解 度 增 大， 宜 采 用 的 方 法 是 ........................................... （）。
(A) 加 入 1.0 mol ·L -1 Na 2CO 3； (B) 加 入 2.0 mol ·L -1 NaOH ；(C) 加 入 1.0 mol ·L -1 CaCl 2； (D) 加 入 0.1 mol ·L -1 edta 。
3、 下 列 有 关 分 子 轨 道 的 叙 述 中 错 误 的 是..........................................................（ ）。
(A) 通 常， 成 键 分 子 轨 道 能 级 低 于 相 应 的 原 子 轨 道；(B) 反 键 分 子 轨 道 能 级 常 高 于 相 应 的 原 子 轨 道；(C) 原 子 轨 道 能 级 相 近 即 可 组 合 成 分 子 轨 道；(D) 一 定 条 件 下， 分 子 轨 道 数 目 等 于 组 合 的 原 子 轨 道 数 目。
偏微分试卷
浙江大学2005-2006学年夏季学期《 偏微分方程 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭卷 ， 允许带__无_____入场 考试时间：2006年7月3日,所需时间：120分钟，任课老师：__ _____ _考生姓名： _____学号： 专业： ________一．(15%) 用特征线方法求解下列初值问题⎩⎨⎧+∞<<∞-==>+∞<<∞-=-+x x x u x x u t x u u u t xx xt tt ,8)0,( ,sin 4)0,(0, ,032二.（20%) 设函数),(t x u 为定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥==><<=-0)0,( ,43s i n 31)0,( 0 ,0),2( ,1),0(0,20 ,45sin 4x u x x u t t u t u t x x u u t x xx ttππ的解。
(1). 求)(x w w =使得函数w u v -=满足下列形式的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧==≥==><<=-)()0,(v ),()0,( 0 ,0),2(v ,0),0(0,20 ,04x x x x v t t t v t x v v t x xx tt ψϕππ 并求出函数)(x ϕ和)(x ψ; (2). 求出原定解问题的解),(t x u 。
三．(25%) 求解下列定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥=-=><<=+- 0 ,0)0,( 0 ,0),(),( ,0),0(0,0 ,23sin 2ππππx x u t t u t u t u t x x te u u u x xx xx t四．(20%)已知函数)exp(2x -的Fourier 变换是)4exp(2λπ-。
试用Fourier 变换求解下列初值问题⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=+-),()0,(0, ,04x x x u t x u u u xx t ϕ 五．（12%) 求解下列半无界定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==≥=>>=-xx u x x u t t u t x u u t x xx tt 2)0,( ,cos )0,(0t , ),0(0,0 ,04 六. (8%) 问: 常数a 取何值时, 定解问题⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤==<<<<=- 0 ,0)2,()0,(20 ,0),( ),0(20 ,0 ,2πππx x u x u t t u t u t x xt u a u xx tt 有解, 试求出该解。
偏微分方程数值解法期末考试题答案
偏微分⽅程数值解法期末考试题答案期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应⽤数学班级：数学课程：偏微分⽅程数值解法教学⼤纲：《偏微分⽅程数值解法》教学⼤纲（⾃编，2006）使⽤教材：《偏微分⽅程数值解法》教材作者：陆⾦甫、关治出版社：清华⼤学出版社⼀、判断题（每⼩题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ）9、（X ） 10、（O ）⼆、选择题（每⼩题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）三、填空题（每⼩题2分，共20分）16、22222212nx x x +++ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0a s b s s c s '''-+= 24()i xv e d λλλ+∞-∞25、1(,)(,)j n j n u x t u x t τ+-四、计算题：（每⼩题12分，共36分）26、写成对流⽅程0u ua t x+=（,0x R t ∈>）的有限差分⽅程（两层显⽰格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为⽹格⽐。
解：在点(,)j n x t 处，差分⽅程为110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分）便于计算的形式为11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）27、写出扩散⽅程22u ua t x=的有限差分⽅程（中⼼差分格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式，2/h µτ=为⽹格⽐。
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
偏微分方程期末试题A卷
第1 页共5页安徽大学20 08 —20 09 学年第二学期《偏微分方程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.1.对常系数方程对常系数方程x y z u au bu cu du f D ++++=作未知函数的变换可以将所有一阶微商消失可以将所有一阶微商消失. .2.2.设设:R R F ®是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0tu u -D =的解，则()u F 是热传导方程的(下解;上解；解).3.3.上半平面的上半平面的Green 函数G(x,y)G(x,y)为为，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点为上半平面中某固定点. .4．设函数u 在以曲面G 为边界的区域W 内调和，在W G 上有连续的一阶偏导数，则u dSn G ¶¶òò=，其中n 是G 的外法方向的外法方向. . 5.5.热传导方程热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为．得分二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题．求解初值问题0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=δ¥ìí=Îî 其中，,b c R Î都是常数都是常数. .2.2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：2000,0,0,|(),|0.t xx t x u a u x t u x u j ==ì-=>>ï=íï=î得分3．试求解．试求解22008(),|,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==ì-++=ïí==ïî4．写出定解问题：．写出定解问题：200(),0,0,|0,|0,|().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===ì-=<<>ï==íï=î解的一般形式解的一般形式. .三、判断分析题（三、判断分析题（1010分）分）试判断下面命题是否成立，并说明原因试判断下面命题是否成立，并说明原因. .在证明Hopf 引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数()v x 满足满足 (a)(a)在球面在球面()R B y ¶上0;v =(b)v 沿球()R B y 的半径方向的方向导数vn¶¶<0<0；；(c)(c)在整个球在整个球()R B y 内下调和内下调和. .四、分析计算题（四、分析计算题（1515分）分）试判断下列方程试判断下列方程2222222sin cos cos 0u u u u x x x x x y y y¶¶¶¶---=¶¶¶¶¶ 的类型，并根据标准型求出此方程的通解的类型，并根据标准型求出此方程的通解. .得分得分五、证明题(下面两道题请任选一题)（20分）1．设G 是2R 中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明：中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明： 满足方程0xx yy u u +=的函数u(x,y)在G 上的最大值不会超过它在边界G ¶上的最大值上的最大值. .2．试用能量法（即用格林第一公式法）证明n 维Laplace 方程的第三边值问题方程的第三边值问题 12n u(x)0,x=(x ,x ,,x ),0u u f ns s ¶W D =ÎWìï¶íæö+=>ç÷ï¶èøî 是常数的解的唯一性，其中W 为边界光滑的有界区域为边界光滑的有界区域. .得分。
科技学院《高等数学》第二学期期末考试试题测试卷及参考答案
⎩ 1 21 2一、单项选择题（每题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分）1. 设二阶常系数线性齐次微分方程 y "- 2 y '+ y = 0 ，则方程的通解为（）．A. (C + C )exB. (C + C x )ex12C. x (C e x + C e - x)⎧ y 2 + z 2 = 4 2. 空间曲线Γ ： ⎨x = 0A ． x 2 + y 2 + z 2= 4 C ． x 2 - y 2 + z 2= 412D ． C e x+ C e - x绕 z 轴旋转而得到的旋转曲面方程是（ ）．B ． x 2 + y 2 - z 2= 4 D ． x 2+ y 2+ z 2= 23. 函数 z = f (x , y ) 的偏导数 f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处存在是函数在该点可微分的（）．A ．充分必要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要4. 设 I 1 =⎰⎰(x + y )2d σ, I 2 = ⎰⎰(x + y )3d σ，其中积分区域 D 是由 x 轴， y 轴 DD与直线 x + y = 1所围成，则（）．A. I 1 > I 2B. I 1 < I 2C. I 1 = I 2D. 不能比较5. 设曲线积分⎰(axy 3 - y 2cos x ) d x + (1 + by sin x + 3x 2 y 2) d y 与路径无关，L则a ,b = （）．A ．1, -2B ． -2, 2C ． 2, 2D ． 2, -26. 若级数∑ a n n =1(x - 2)n在 x = -2 处收敛，则此级数在 x = 5 处（ ）．∞ 成绩：姓名：班级：学号：考试方式：闭卷学分：4课程编号：CK0M02B03 课程名称：高等数学A 试卷编号：A 卷 科技学院第二学期期末考试试题y a0 1 A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．收敛性不确定二、填空题（每小题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分） 1．方程 y ' + y ' = x 2+ 1特解的形式是()．2→→2．已知向量 a = (4, m ,1) 与 b = (2,3,n ) 平行，则m =（），n =（ ）．y3. 设函数 z = e x ，则全微分dz =()．4.． 将二次积分 ⎰xdx ⎰ 2f (x , y )dy 的积分次序变换成先 x 后 y 的二次积分（）．5.设平面曲线 L 为上半圆周 y =，则⎰sin(x 2 + y 2 ) d s =（）．L∞n6．当| a |（）时，级数∑( ) n =1 收敛．三、计算题 1（每小题 6 分，共计 8×6＝48 分）1.求曲面 z = x 2 + 2y 2上点M (2,1,6) 处切平面方程及法线方程．2. 设2sin( x + 2 y - 3z ) = x + 2 y - 3z 确定隐函数 z = z (x , y ) ，求∂z + ∂z ．∂x ∂y3. 设函数 z=f (xy , y 2) ，且 f 具有连续偏导数，求偏导数 ∂z ∂x ∂z 与全微分dz ． ∂y4.计算二重积分⎰⎰(x + y ) d x d y ，其中 D 是由曲线 y = x 2 与曲线 y = 4x 2D（ x ≥ 0 ）以及 y = 1所围成的有界闭区域．5. 求由抛物面2z = x 2 + y 2与平面 z = 2 所围立体的体积．6.计算曲线积分 ⎰xy d x + (x + y ) d y ，其中 L 是由曲线 x = 与 y = x 2 所围L成的闭曲线的逆时针方向．4 - x 2， 2n =0n !n =0 ⎩ 1 21 21∞n17. 判别级数∑(-1) ln(n +100) 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？8. 将函数 f (x ) =15 - x展开成 x - 2 的幂级数，并求收敛区间． 四、计算题 2（每小题 5 分，共计 5×2＝10 分）1. 求球面 x 2+ y 2+ z 2= 4 含在圆柱面 x 2+ y 2= 2x 内部的曲面面积．∞n x∞12n2. 已知幂级数∑ x n =0 五、综合题（6 分）= e ，求幂级数∑(2n )! x 的收敛域以及和函数．→→→设一力场 F = ( y 2 + 1) i + (x 2+ y ) j ，有一质点在此力场中沿曲线 y = ax 2 自 点O (0,0) 移动到点 A (1, a ) ，求a 的值使力场所作的功为最小．参考答案一、单项选择题（每题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分）1. 设二阶常系数线性齐次微分方程 y "- 2 y '+ y = 0 ，则方程的通解为（ B ）．A. (C + C )exB. (C + C x )ex12C. x (C e x + C e - x)⎧ y 2 + z 2 = 4 2. 空间曲线Γ ： ⎨x = 0A ． x 2+ y 2+ z 2= 412D ． C e x+ C e - x绕 z 轴旋转而得到的旋转曲面方程是（ A ）．B ． x 2 + y 2 - z 2= 40 1 212 00 y C ． x 2 - y 2 + z 2= 4D ． x 2 + y 2 + z 2= 23. 函数 z = f (x , y ) 的偏导数 f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处存在是函数在该点可微分的（ C）．A ．充分必要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要4. 设 I 1 =⎰⎰(x + y )2d σ, I 2 = ⎰⎰(x + y )3d σ，其中积分区域 D 是由 x 轴， y 轴 DD与直线 x + y = 1所围成，则（ A ）．A. I 1 > I 2B. I 1 < I 2C. I 1 = I 2D. 不能比较5. 设曲线积分⎰(axy 3 - y 2cos x ) d x + (1 + by sin x + 3x 2 y 2) d y 与路径无关，L则a ,b = （ D ）．A ．1, -2B ． -2, 2C ． 2, 2D ． 2, -26. 若级数∑ a n n =1(x - 2)n在 x = -2 处收敛，则此级数在 x = 5 处（ C ）．A ．发散B ．条件收敛C ．绝对发散D ．收敛性不确定二、填空题（每小题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分）1．方程 y ' + y ' = x 2+ 1特解的形式是( 2y * = x (a x 2 + a x + a ) )．→ →1 2．已知向量 a = (4, m ,1) 与 b = (2,3,n ) 平行，则m = （ 6 ）， n = （）．2y3.设函数 z = e x，则全微分dz =(e x(- y x 2 dx + 1 dy ))．x4.． 将二次积分⎰xdx ⎰ 2f (x , y )dy 的积分次序变换成先 x 后 y 的二次积分（ ⎰dy⎰2 yf (x , y )dx ）．∞ 2a5.设平面曲线 L 为上半圆周 y∞1 n，则⎰sin(x 2 + y 2 ) d s =（ 4πsin 4 ）．L6．当| a |（ > 1）时，级数∑( ) n =1 收敛．三、计算题 1（每小题 6 分，共计 8×6＝48 分）1.求曲面 z = x 2 + 2y 2上点M (2,1,6) 处切平面方程及法线方程．解：因为 z = f (x , y ) = x 2+ 2 y2切平面法向量n = (2x , 4 y , -1) |M = (4, 4, -1) 2 分所以切平面方程为4(x - 2) + 4( y -1) - (z - 6) = 0 ，即4x + 4 y - z = 64 分法线方程为x - 2= y - 1 =z - 66 分4 4 -12.设2sin( x + 2 y - 3z ) = x + 2 y - 3z 确定隐函数 z = z (x , y ) ，求∂z + ∂z． ∂x ∂y解：设函数 F (x , y , z ) = 2sin(x + 2 y - 3z ) - x - 2 y + 3z ，则F x = 2cos(x + 2 y - 3z ) - 1 ， F z = -6cos(x + 2 y - 3z ) + 3F y = 4cos(x + 2 y - 3z ) - 2 ， 3 分∂z 2cos(x + 2 y - 3z ) - 1 1 所以∂x = 3(2cos(x + 2 y - 3z ) - 1) = 3， 4 分∂z 2(2cos(x + 2 y - 3z ) - 1) 2 ∂y = 3(2cos(x + 2 y - 3z ) - 1) = 3 ， 5 分∂z ∂z 于是 ∂x + ∂y= 1 ．6 分y 1 1 2 1 2 2 y 13.设函数 z =f (xy , y 2) ，且 f 具有连续偏导数，求偏导数 ∂z ∂x ∂z与全微分dz ．∂y解 ： ∂z= yf '，∂z= xf ' + 2 yf '，4 分∂x 1∂y1 2dz = yf 'dx + (xf ' + 2yf ')dy6 分4.计算二重积分⎰⎰(x + y ) d x d y ，其中 D 是由直线 y = x 2 与直线 y = 4x 2D（ x ≥ 0 ）以及 y = 1所围成的有界闭区域． 解：使用直角坐标计算，⎰⎰(x + y ) d x d y = ⎰d y ⎰ D2(x + y ) d x4 分= ⎰1⎡ 1 x 2 + yx ⎤d y0 ⎢⎣2 ⎦⎥ y 2= ⎰ ( 3 y + 1 3y 2) d y = 31 ． 6 分0 8 2 80 5.求由抛物面2z = x 2 + y 2与平面 z = 2 所围立体的体积．解：所围立体在 xoy 面的投影区域为 D : x 2+ y 2≤ 4 ，1 分则立体的体积为A =1 ⎰⎰(x2 + y 2 )dxdy3 分D=1 ⎰⎰ρ3d ρd θ D=1⎰2πd θ⎰ 2ρ3d ρ52 0 0= 4π．6 分6.计算曲线积分 ⎰xy d x + (x + y ) d y ，其中 L 是由曲线 x = 与 y = x 2 所围Lyy ， 分x 1 n =0n =0n =0x 成的闭曲线的逆时针方向．解：利用格林公式计算，这里 P = xy ,Q = x + y ，则1 分⎰ xy d x + (x + y ) d y = ⎰⎰(1 - x ) d x d y3 分LD= ⎰0(1 - x ) d x ⎰x 2 d y5 分13( - x 2- x 2+ x 3 ) d x 0⎡ 2 3⎢ x 2- 1 x 3 - 2 5 x 2+ 1 ⎤111 x 4 ⎥ =． 6 分⎣ 3 3 5 4 ⎦ 0 60∞n1 7. 判别级数∑(-1) ln(n +100) 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？∞ 1 ∞ 1 解： 因为正项级数∑ln(n +100) > ∑ n +100 ， n =0∞1 n =0 ∞1由级数∑ n + 100 发散，知级数∑ln(n +100) 发散，2 分n =0∞nn =01又交错级数∑(-1) ln(n +100) 满足条件：1） lim1= 0 ，n →∞ln(n +100)2） 1 > 1ln(n +100) ln(n +101)， 4 分∞n1 所以交错级数∑(-1) ln(n +100) 收敛，∞n1 于是级数∑(-1) ln(n +100) 条件收敛．6 分8. 将函数 f (x ) =15 - x展开成 x - 2 的幂级数，并求收敛区间． = n =0= ⎰xyn !n =0 - + + 211 1解：因为 f (x ) == 5 - x3(1 - 2 分x 2) 31 x -2 ( x - 2) 2 = [1 + + + ( x - 2) n 4 分3 3 32 3 n= ∑ n =0(x - 2)n 3n +1求收敛区间，从< 1中解出-1 < x < 5 6 分四、计算题 2（每小题5 分，共计 5×2＝10 分）1. 求球面 x 2+ y 2+ z 2= 4 含在圆柱面 x 2+ y 2= 2x 内部的曲面面积． 解：该部分曲面在 xoy 平面上的投影域为D ： x 2 + y 2 ≤ 2 x ， 1 分则d A=x d y =x d yx d y 3 分于是A = 4⎰⎰D πd x d y2 cos θ= 4⎰ πd θ⎰ρ2= 8(π- 2) = 16π．5 分3∞n x∞12n2. 已知幂级数∑ x n =0∞= e ，求幂级数∑(2n )! x 12n的收敛域以及和函数．解：先求出幂级数∑(2n )! x的收敛域，因为∞ x - 23n =0] -n ! n !⎰lim x 2n +2⋅ (2n )! = limx = 0 ， n →∞ (2n + 2)! x2n n →∞ (2n + 2)(2n +1)所以收敛域为(-∞, +∞) ，2 分x∞1n1 2131n又e =∑ xn =0= 1+ x + x 2! + x + + x 3! n ! + ， x ∈(-∞, +∞)- x ∞1 n 12 1 3( -1) n n e = ∑ (-x ) n =0 = 1- x + x 2! - x + +3! x + ， x ∈(-∞, +∞) n ! 4 分上面两式相加除以 2 即得1 (e x + e - x ) = 1 + 1 x2 + 1 x 4 + 1x 6 + ∑ 1 x 2n ． 5 分2 2! 4! 6! 五、综合题（6 分）→→→n =0 (2n )!设一力场 F = ( y 2 + 1) i + (x 2+ y ) j ，有一质点在此力场中沿曲线 y = ax 2 自点O (0,0) 移动到点 A (1, a ) ，求a 的值使力场所作的功为最小． 解：据第二类曲线积分的物理应用知，W (a ) = ⎰( y 2 +1)dx + (x 2 + y )dy2 分L= 1(a 2 x 4 + 1)dx + (x 2 + ax 2 )2axdx=12 43a 2 5a (a +1) 4 1⎰0(a x + 2a (a + 1)x + 1)dx = [ x +5 2x ] 0a 2 a 2 + a 7 2 a = + = a + + 1， 4 分5 2 10 2对W (a ) 求导，得 W '(a ) = 7 a + 1 ，令W '(a ) = 0 ，得a = - 5，5 2 又W "(a ) = 7 > 0 ，所以当a = - 514时，力场所作的功为最小．6 分5 14∞ 2。
(完整版)常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
大学微积分期末考核题
大学微积分期末考核题在大学的数学学习中，微积分无疑是一门极其重要的课程。
而期末考试中的微积分试题，则是对我们整个学期学习成果的一次全面检验。
首先，让我们来看看常见的题型。
导数与微分的计算通常是必考的内容。
比如，给定一个复杂的函数，要求我们求出其导数或者微分。
这就需要我们熟练掌握各种求导法则，包括基本函数的求导公式、四则运算的求导法则、复合函数的求导法则等等。
例如，对于函数$f(x) ＝＼sin(2x^2 ＋ 3x)＄，我们需要运用复合函数的求导法则，先将其看作是由$u ＝ 2x^2 ＋ 3x$和$y ＝＼sin u$复合而成，然后分别求出$u$对$x$的导数和$y$对$u$的导数，最后根据复合函数求导公式得到$f'（x)＄。
积分的计算也是重点之一。
定积分和不定积分的求解，既考查了我们对基本积分公式的记忆，又考验了我们的积分技巧。
像换元积分法、分部积分法等，都需要我们能够灵活运用。
比如说，计算$＼int x\cos x dx$，这时候就可以使用分部积分法，令$u ＝ x$，＄dv ＝＼cos x dx$，然后根据分部积分公式进行计算。
在考题中，还常常会有关于中值定理的问题。
罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这些定理的应用往往需要我们对函数的性质有深入的理解。
以拉格朗日中值定理为例，给定一个函数$f(x)＄在区间$a,b$上连续，在$（a,b)＄内可导，那么就存在一点$＼xi ＼in （a,b)＄，使得$f(b) f(a) ＝ f'（＼xi)（b a)＄。
在实际的题目中，可能会给出函数的一些条件，让我们证明存在某个点满足中值定理，或者通过中值定理来求解某个未知数。
另外，函数的极值和最值问题也是常见的考点。
我们需要通过求导数来找到函数的驻点和不可导点，然后判断这些点是否为极值点，再结合函数的定义域求出最值。
比如，对于函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，我们先求出$f'（x) ＝ 3x^2 6x$，令其等于零，得到驻点$x ＝ 0$和$x ＝ 2$。
(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案
(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、 考试所用时间：120分钟。
3、 考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 ________________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）.（A ）上半平面 （B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓 班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 （）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝U u x-du ，代入上式，得dx dxdu x 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解： 由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。
黑龙江科技学院考试试题答案及评分标准(上机实践操作)20
黑龙江科技学院考试试题答案及评分标准(上机实践操作)一、简答题（40分）1、电阻器的检测方法？（8分）①电阻器额定功率的简易判断（2分）小型电阻器的额定功率一般在电阻体上并不标出。
但根据电阻长度和直径大小是可以确定其额定功率值大小的。
下表列出了常用的不同长度、直径的碳膜电阻、金属膜电阻所对应的功率值。
②测量实际电阻值（3分）a．将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调整“0”点，然后再进行测量。
并且在测量中每次变换量程，都必须重新调零后再使用。
表 RT、RJ型电阻器的长度、直径与额定功率关系表碳膜电阻(RT) 金属膜电阻(RJ)额定功率(W) 长度(mm) 直径(mm) 长度(mm) 直径(mm)1/8 11 3.9 6～7 2～2.51/4 18.5 5.5 7～8.3 2.5～2.91/2 28.5 5.5 10.8 4.21 30.5 7.2 13 6.62 48.5 9.5 18.5 8.6图电阻的正确测法b．按照图所示的正确方法，将两表笔(不分正负)分别与电阻的两端引脚相接即可测出实际电阻值。
③测量操作注意事项（3分）a．测试时，特别是在测几十kΩ以上阻值的电阻时，手不要触及表笔和电阻的导电部分。
b．被检测的电阻必须从电路中焊下来，至少要焊开一个头，以免电路中的其他元件对测试产生影响，造成测量误差。
c．色环电阻的阻值虽然能以色环标志来确定，但在使用时最好还是用万用表测试一下其实际阻值。
2、说明电解电容器的检测方法？（8分）a．万用表电阻挡的正确选择（2.5分）因为电解电容的容量较一般固定电容大得多，所以，测量时，应针对不同容量选用合适的量程。
一般情况下，1～47µF间的电容，可用R×1k挡测量，大于47µF的电容可用R×100挡测量。
b．测量漏电阻（3分）将万用表红表笔接负极，黑表笔接正极。
在刚接触的瞬间，万用表指针即向右偏转较大幅度，接着逐渐向左回转，直到停在某一位置。
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
偏微分试卷
0 < ������ < π, ������ > 1
������ > 0, ������ > 0
0 < ������ < 2, ������ > 0
d ������ ������ (������)](������), d������ [
2
������ [������ (������ − ������)](������) = ei������������ ������ [������ (������)](������).
2Байду номын сангаас
������������ |������=0 = e������
������ > 0, ������ > 0 ������������ |������=0 = 2
0 < ������ < 2, ������ > 0
0 < ������ < 2, 0 < ������ < 1
2
2 2012–2013 学年冬学期
一、 (20 分) 用行波法求解下题： ⎧ ������ 2 ������ − 2 ������ 2 ������ − 3 ������ 2 ������ + 4 ������������ + 4 ������������ = 0 ⎪ ������������2 ������������������������ ������������ ������������ ������������2 ⎨ ������������ ⎪������| = 0, = 2������e������ ������������ |������=0 ⎩ ������=0 二、 (15 分) 用延拓法求解以下半无边界弦振动问题： ⎧ ������ 2 ������ − ������ 2 ������ = 0, ⎪ ������������2 ������������2 ⎪ ⎨������|������=0 = ������ ⎪ ������������ ⎪������|������=0 = ������2 , =1 ������������ |������=0 ⎩ 三、 (25 分) (1) 求方程的解 ������(������)： ⎧ ������ 2 ������ − ������ 2 ������ = 2 0 < ������ < 2, ������ > 0 ⎪ ������������2 ������������2 ⎨ ������������ ⎪������| = 0, =1 ������=0 ������������ |������=2 ⎩ (2) 根据上一问答案，用变量分离法求下列非齐次边界条件方程的解： ������ 2 ������ ������ 2 ������ ⎧ ⎪ 2 − 2 =2 ������������ ⎪ ������������ ⎪ ������������ ⎨������|������=0 = 0, |������=2 = 1 ������������ ⎪ ������������ ⎪ ������| = −������2 , =0 ⎪ ������������ |������=0 ⎩ ������=0 lim������→+∞ |������(������, ������)| = 0. ⎧ ������������ − ������ 2 ������ − ������������ = 0 0 < ������ < ������, ������ > 0 ⎪ ������������ ������������2 ⎪ ⎨������|������=0 = 0, ������|������=������ = 0 ������ > 0 ⎪ π������ ⎪������|������=0 = sin ������ ⎩ 五、 (20 分) 利用 Fourier 变换相关知识求解下列各问： (1) 试直接写出 ������ −1 [e−������|������| ] 的表达式.
2018年黑龙江科技大学大一下高数期末考试
高等数学下二表模拟试题一一、选择题30分1、设a =)1,2,3(，b =),34,2(k ，若b a ⊥，则k =___________。
2、通解为x x e C e C y 221+=的二阶常系数齐次线性微分方程是 。
3、考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点),(00y x 处连续；②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续；③),(y x f 在点),(00y x 处可微；④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用""Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则 。
（A ） ②⇒③⇒①； （B ） ③⇒②⇒①；（C ） ③⇒④⇒①； （D ） ③⇒①⇒④．4、二元函数),(y x f z =可微，且在(3,2)-取得驻点，其全微分 22(369)(36)dz x x dx y y dy =+-+-+，则),(23-f 是极 值。
5、设2222z y x u ++=，在点的 ),,(|111gradu = 。
6、设),(22xy e y x f z -=，其中f 是可导函数，则,z x ∂=∂ z y ∂=∂。
7、曲面2222a z y x =++与az y x 222=+（0>a ）的交线是 。
A 、 抛物线B 、双曲曲线C 、 圆D 、椭圆8、设⎰⎰⎰≤++++=22222323R z y x y dv x z y e I )tan sin (，则=I 4Πr^2 。
9、设l 为椭圆22143x y +=，周长为b ，则22(234)l xy x y ds ++=⎰ 。
10、下列级数中绝对收敛的级数是 。
A. ∑∞=-11-11n n n )( B. ∑∞=11-1n n C. ∑∞=-121)1(n n n D. ∑∞=-111n n n)( 二、填空题15分1、极限22101yx xy y x +-→→lim = 。
黑龙江科技学院考试试题答案及评分标准(上机实践操作)22
黑龙江科技学院考试试题答案及评分标准(上机实践操作)一、简答题（40分）1、电阻器的主要参数是什么？（6分）①标称阻值与允许误差（2分）②电阻器的额定功率（2分）③电阻器的最大工作电压(极限工作电压)（2分）2、说明电容的色环表示法？（10分）用三到四个色环在产品表面上标出电容器的容量和允许误差。
各颜色所代表的意义如表所示。
表电容器的容量和允许误差色环表示法表3、说明常用二极管型号和选用方法？（8分）①检波二极管（4分）检波二极管是利用PN结伏安特性的非线性，把叠加在高频信号上的低频信号分离出来的一种二极管。
常用的检波二极管有2AP1～2AP7，2AP～2AP10，2AP～2AP17等型号。
选用检波二极管主要是考虑工作频率高，结电容小，串联电阻小，正向上升特性好，反向电流小。
所以往往是选用硅，锗点接触二极管或肖特基势垒二极管。
②整流二极管（4分）整流二极管是利用PN结的单向导电性，把电路中的交流电流转变为直流电流的一种二极管。
是一种大面积的功率器件，结电容大，工作频率较低，一般在几十千赫兹。
4、说明三极管的选用方法？（8）选用三极管要依据它在电路中所承担的作用查阅晶体管手册，选择参数合适的三极管型号。
① NPN型和PNP型的晶体管直流偏置电路极性是完全相反的，具体连接时必须注意。
（2分）②电路加在晶体管上的恒定或瞬态反向电压值要小于晶体管的反向击穿电压，否则晶体管很易损坏。
（2分）③高频运用时，所选晶体管的特征频率f T要高于工作频率，以保证晶体管能正常工作。
（2分）④大功率运用时晶体管内耗散的功率必须小于厂家给出的最大耗散功率，否则晶体管容易被热击穿。
晶体管的耗散功率值与环境温度及散热片大小形状有关，使用时注意手册说明。
（2分）5、请简述使用数字万用表检测共阴极数码管的方法。
（8分）答：先将万用表指针调到测二极管的档位，用黑色表笔接数码管的一个公共端，再用红色表笔依次接公共端以外的管脚，若与管脚对应的笔划发光，则数码管可以正常工作。
黑龙江科技学院考试试题偏微分方程期末考试试题(06)
黑龙江科技学院考试试题第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共 1 页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第 1 页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22,,0 ,0,,0 t u u a x t t x u x x u x x j y 춶 =-¥<<+¥> ﶶ í ï == î的通解. 三、 （15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解 ( ) ( ) ( ) 2 ,0, ,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x x u x x ì =>-¥<<+¥ ï= í ï= î 四、 （10分）计算积分 ( ) 3 2 x J x dx - ò . 五、（15分）设 1 , 1 ³ ³ n m ，证明( ) ( ) ()dx x p x m dx x p x n m n m n mò ò - - = + + 11 1 11 六、 （15分）用分离变量法求解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0,0,0 ,00,,0 0,0,,0 tt xx t u a u x l t u x u x x u t u l t ì -=<<> ï== í ï== î 七、 （10分）解固有值问题 ( ) ( ) ( ) ''0, ''0 y y l x l y l y l l +=-<< ì ï í -== ï î 八、 （10分）叙述斯图模刘维尔定理.黑龙江科技学院考试试题答案第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共 1 页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第 1 页一、解：波动方程： ( )222 , u a u f t x t¶ =D + ¶ 热传导方程： ( )2 , ua u f t x t¶ =D + ¶ 位势方程： ( )u f x D = ……………………….5 分其中 ( ) 12 ,,, n x x x x = L ，a 为常数， ( ) , f t x 及 ( ) f x 为已知函数，在波动方程及 热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量 ( ) 12 ,,, n x x x x = L 的函数， 在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量 ( ) 12 ,,, n x x x x = L 的函数，而与时间 t 无 关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
黑龙江科技学院考试试题第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共 1 页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第 1 页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22,,0 ,0,,0 t u u a x t t x u x x u x x j y 춶 =-¥<<+¥> ﶶ í ï == î的通解. 三、 （15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解 ( ) ( ) ( ) 2 ,0, ,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x x u x x ì =>-¥<<+¥ ï= í ï= î 四、 （10分）计算积分 ( ) 3 2 x J x dx - ò . 五、（15分）设 1 , 1 ³ ³ n m ，证明( ) ( ) ()dx x p x m dx x p x n m n m n mò ò - - = + + 11 1 11 六、 （15分）用分离变量法求解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0,0,0 ,00,,0 0,0,,0 tt xx t u a u x l t u x u x x u t u l t ì -=<<> ï== í ï== î 七、 （10分）解固有值问题 ( ) ( ) ( ) ''0, ''0 y y l x l y l y l l +=-<< ì ï í -== ï î 八、 （10分）叙述斯图模刘维尔定理.黑龙江科技学院考试试题答案第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共 1 页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第 1 页一、解：波动方程： ( )222 , u a u f t x t¶ =D + ¶ 热传导方程： ( )2 , ua u f t x t¶ =D + ¶ 位势方程： ( )u f x D = ……………………….5 分其中 ( ) 12 ,,, n x x x x = L ，a 为常数， ( ) , f t x 及 ( ) f x 为已知函数，在波动方程及 热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量 ( ) 12 ,,, n x x x x = L 的函数， 在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量 ( ) 12 ,,, n x x x x = L 的函数，而与时间 t 无 关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
……………………….15 分 二、解：首先判别方程的类型，2a D => ………………………2 分即此方程在整个全平面上都是双曲型的。
特征方程为：( ) ( ) 222 0dx a dt -= ( ) ( ) 22 2 00dx a dt dx adt -=Þ= m 特征曲线为 12x at c x at c -= ì í+= î ………………………6 分做变量替换，令 x at x at x h =- ìí =+ î，由链式法则得 0u xh = 通解 ( ) ( ) ( ) ( ) u f g f x at g x at x h =+=-++ ……………………….10 分三、解： ( ) ( ) ( ) [] ( ) ò + - + - + + = atx atx d a at x at x t x u x x f j j 2 1 2 1 , ……………………….5 分( ) ( ) ( ) [ ] ò + - + - + + =at x at x d aat x at x t x u x x cos 2 1 sin sin 2 1, ( ) ( )[ ] at x at x a at x - - + + = sin sin 2 1cos sin ……………………….10 分 at x aat x sin cos 1cos sin + = ……………………….15 分四、解：由分部积分法及微分关系( ) 1 ' v v v v x J x J - = ，有( ) ( ) ( ) ( ) 3414131 2211 4 x J x dx x x J dx x x J x x J dx --- ---- ==- òòò3232 1110 44' x J x J dx x J x J dx --- =-=-- òò ……………………….5 分 32 100 48 x J x J xJ dx=--+ ò ……………………….8 分( ) ( ) ( ) 32 10 84 x x J x x J x C =-+-+ ……………………….10 分五、证明：( ) ( ) ( ) 111 0'' m m n n n n x p x dx x xp x p x dx - =- éù ëûòò ……………………….5 分( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111111 0101 01 m mmm n n n n xp x m x p x dx x p x mx p x dx +- -- =-+-+ òò ……….10分( ) ( ) ( ) 111 1 01 mm n n m x p x dx m x p x dx - - =-++ òò ……….15分移项有( ) ( ) ( )dx x p x m dx x p x n m n m n m ò ò - - = + + 11 11 0 1 六、解： 设 ( ) ( )( ) t T x X t x u = , 分离变量 l - = ¢ ¢ = ¢ ¢ X X T a T 2 代入方程组得 ( ) ( ) ï î ïí ì = + ¢ ¢ = = = + ¢ ¢ 0 0 0 0 2 T a T l X X X X l l ………..3分解固有值问题 () ( ) î íì = = = + ¢¢ 0 0 0l X X X X l 得 2 ] [l n n p l = L 3 , 2 , 1 = n ； ( ) x l n x X n psin = ………..6分 将 2] [ ln np l = 代入 0 2 = + ¢ ¢ T a T l 得 ( ) t lan D t l a n C t T nn n p p sin cos + = ………..9分所以 ( ) x ln t l a n D t l a n C t x u nn n pp p sin ] sin cos [ , + = 叠加得原解( ) ( ) x l n t l a n D t l a n C t x u t x u nn n n n pp p sin ] sin cos [ , , 1 1+ = = å å ¥= ¥= 代入初值条件 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 sin 0, 0 , 11= + = = å å ¥= ¥ = x lnC x u x u n n n n p ( ) x x l nD l a n x u n nt = = å ¥ =pp sin 0 , 1 得系数= n C ( ) an l xdx l n x l a n l D n l n 2 2 210 2 1 sin 2 p p p + - = × =ò ………..13分 所以得原问题的解( ) ( ) x ln t l a n an l t x un n p p p sin sin 2 1 , 12 2 2 1å ¥ = + - = ………..2分 七、解：题中方程是斯刘方程，其中 ( ) ( ) ( ) 1,0,1 k x q x x r ººº ，又题中两端边界条 件都是第二类，故 0 l ³ ，而且有零固有值 0 l = ，相应固有函数为 ( ) 1 y x º 。
当 0 l > 时，设 ( ) 2 0 l m m => ，方程的通解为( ) cos sin y x A x B x m m =+ ……….3 分将此式代入边界条件，并消去公因子m ，得sin cos 0 sin cos 0 A l B l A l B l m m m m += üý-+= þ（1）为使 A,B 不全为0，必须系数行列式sin cos sin 20sin cos l ll l lm m m m m == - 故( ) 22,,1,2,22 n n n n n n l l p p m l m æö ==== ç÷ èøL ……….7 分 把 n m 代入（1）有sincos 0 22 n n A B p p+= 这个方程的一个非零解是 cos sin22 n n A B p p==- ， 与 n l 相应固有函数为( ) ( ) coscos sin sin 2222 cos2 n n n x n n xy x l ln x l lp p p p p =- + = ……….10 分八、SturmLiouville 定理：若 ( ) ( ) ( ) ,, k x q x x r 满足：在[ ] , a b 上 ( ) ( ) ( ) ,', k x k x x r 连续；当 ( ) , x a b Î 时， ( ) ( ) ( ) 0,0,0 k x x q x r >>³ ， 而 , a b 至多是 ( ) ( ) k x x r 及 的一级零点； ( ) q x 在( ) , a b 上连续，而在端点至多有一级极点。