高中数学例题：函数解析式的求法

高中数学例题：函数解析式的求法

例. 求函数的解析式

(1)已知()f x 是二次函数，且(0)2,(1)()1f f x f x x =+-=-，求()f x ；

(2)若f(2x-1)=x 2，求f(x)；

（3）已知3()2()3f x f x x +-=+，求()f x .

【答案】（1）213()222f x x x =-+；（2）21()()2

x f x +=；（3）3()5f x x =+． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.

(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)2,f =得2c =

由(1)()1f x f x x +-=-，得恒等式2ax+a+b=x-1,得13,22a b ==-，故所求函数的解析式为213()222

f x x x =-+. (2) ∵f(2x-1)=x 2，∴令t=2x-1，则12

t x += 2211()(),()()22t x f t f x ++∴=∴= （3）因为3()2()3f x f x x +-=+，①

x 用x -代替得3()2()3f x f x x -+=-+，②

由①②消去()f x -，得3()5

f x x =+. 【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式2y ax bx c =++，顶点式2()y a x h k =-+和两点式12()()y a x x x x =--的选择.

（2）已知[()]f g x 求()f x 的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.

（3）函数方程问题，需建立关于()f x 的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现()f x 、1()f x ，则一般x 用1x

代之，构造另一个方程.

举一反三：

【变式1】 已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．

【答案】f(x)=x 2+2x-1．

【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1 ∴f(x)=x 2+2x-1；

(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1 ∴f(x)=x 2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+2

1x 2x )x (f 1c 2

b 1a 2

c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；

【总结升华】求函数解析式常用方法：

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.