第十章 线性规划建模

第十章线性规划建模
§10.1 线性规划
引例（生产规划问题）：某厂利用a、b、c三种原料生产A、B、C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的利润，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试制订适当的生产规划使得该厂的总的利
●以、、分别表示生产A、B、C三种产品的量，称之为决策变量。

●目标函数：利润最大化、成本最小化，表现为决策变量的一个函数；
●约束条件：资源、工期等，表现为决策变量的一些等式或不等式。

1．线性规划问题：在满足由一些线性等式或不等式组成的约束条件下，求决策变量的一组具体取值，使得一个线性目标函数实现最优（大或小）
化。

●决策变量、、；
●、、（，）均为常数；
●整数规划：决策变量限取整数值的最优化问题；
●非线性规划：目标函数或存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的
最优化问题
2．线性规划方法建模：决策变量的提取，目标函数的合理构造，约束条件的理清。

例（纸张的切割问题）：设有60个单位长的标准玻璃纸，现需将其裁剪为三种小规格（28，20，15）的纸张，市场对三种小规格玻璃纸的需求量（30，60，80）卷，问题：用尽可能少的标准玻璃纸，通过适当的裁剪方式以满足市场的需求。

1．线性规划的标准型：称如下形式的线性规划问题为具有标准型的线性规划
●称矩阵为以上具有标准型的线性规划问题的单纯形表，其中
，，
●若记，则以上具有标准型的线性规划问题可记为
2．所有线性规划问题可以标准型化：
（1）;
（2）且；
（3）且；
（4）等价于以取代，则，
等价于以取代，则；
（5），即无取值限制,这等价于以取代，且附加条件
；
称（2）、（3）中的分别为剩余、松弛变量.
5．线性规划的典型形
所有线性规划问题均可以典型形化：
（1）；
（2）且
6．线性规划的几何特征
设满足线性规划问题全部约束条件，则称之为此线性规划问题的一个可行解；称由所有可行解组成的集合为该线性规划问题的可行域，用表示；
使目标函数值达到最优的可行解称为此线性规划问题的一个最优解；称最优解的目标函数值为该线性规划问题的最优值。

（1）可行域为凸集：
几个典型的凸集（区域）
几个典型的非凸集（区域）
（2）若线性规划有最优解，则必在可行域边界达到；若可行域为有界闭集，则最优解必在的某一顶点达到。

例 . 求解
图解法:
上图中红色区域为该线性规划的可行域，一条（蓝色）有向线段表示目标函数的梯度向量，几条蓝色平行线表示目标函数的一簇等值线，考虑问题是求目标函数的最大值，从直观上不难发现可行域右方的顶点为该问题的解。

（3）线性规划解的存在性（考虑典型形）
i . 最优解存在且唯一的情形:
左图对应可行域为一有界闭集的情形，左图为一无界集
ii. 最优解存在但不唯一；
左图对应可行域为一有界闭集的情形，左图为一无界集
iii. ，可行解存在但目标函数值在内无下界；
这一情形只发生在可行域为一无界区域的时候
iv. ，可行解不存在。

§10.2 线性规划的求解—单纯形法
●本节讨论具有标准型形式的线性规划:
这里，目标函数表达式中较一些流行运筹学教材多了常数项,记，表示维列向量，而以表示维向量空
间，余者：，，；
●具有标准型形式的线性规划模型可简记为：，显然它
与分块矩阵一一对应，称为线性规划的单纯形表。

1．线性规划的等价：称二线性规划与等价，若它们具有相同的可行域，且对任一可行解均有相同的目标函数值，即满足：
, 其中、
分别为线性规划与的可行域；
对任意均有。

2．定理3.2 设为阶可逆方阵，为维列向量，则线性规划
与线性规划等价。

证明：记、分别为线性规划与的可行域，对任意，即且，因为为阶可逆方阵，所以等价于且，即且，进而；反之亦然，故。

对任意, 因为, 所以
, 即线性规
划与在可行解有相同的目标函数值。

综合、, 定理得证。

该定理表明求解具有标准型形式的线性规划, 可以对它的单纯形表作如下的初等行变换:对它的前行作任意的初等行变换,而对最后一行可以加上前行行向量组的任意
线性组合.即在单纯形表左乘一可逆方阵。

我们也将满足这样特点的初等变换称为线性规划的等价变换.
3．几个简单的具有标准型形式的线性规划例：
例1例2
例3例4
例5 例6
●例1 对应
,
令，容易看出为满足等式约束的一解，目标
函数值. 然而由于不满足决策变量的非负约束，故不是可行解；
●类似，可以看出为例2~4的一组可行解，相应的
目标函数值皆为；
●而就例5，可以看出为它的一组满足等式约束的
解，但因不满足决策变量的非负约束，故不是可行解。

●例6，其形式较前5例要繁，很难直接发现它的某些特殊解；
●例1~4，它们的单纯形表中有共同的一块，表中3列从左到右对
应变量，例5中，则含块，表中3列从左到右对应变量；
4．像例1~5，我们称在块中含块的单纯形表为最简单纯形表，其中的列向量组构成列向量组的一个极大线性无
关组，且其列向量中只有一个分量为而余者皆为，的分量全
为。

●显然，一个线性规划的单纯形表可以通过线性规划的等价变换
化为最简型的，而且通常不唯一。

5．不妨仍然以表示某线性规划的单纯形表经过等价变换化为的最
简单纯形表，即中含块，则称为该线性规划的基
单纯形表，而称的列向量组在中对应的决策变量为该基单纯形
表对应的基变量，其余为非基变量.令所有非基变量取值，等式约束方
程组所对应的解为该线性规划的一个基解。

●就例5,为对应基变量的基单纯形表，
相应的一组基解为；
●例3, 其目标函数为, 一方面前面已论述了它对应一
基本可行解, 相应的目标函数值为; 而另一方面, 考虑非负约束, 可知, 对任一可行解都有, 考虑到目标函数求极小, 为最优解, 最优值为；
●例4,对的任意取值，
+
皆为该线性规划的可行解，而目标函数值
显然，该线性规划目标函数无下界，进而无最优解。

6．定理 4.7设线性规划的某基单纯形表, 为相应的基解, 有:
. 若, 则基解为一可行解；
. 若且, 则基解为一最优解, 为最优值；
. 若 ,且中有某一分量而
(即的第个列向量非正），则该线性规划目标函数无下界，进而无最优解。

7. 单纯形法:
. 给出线性规划的一张可行的初始基单纯形表, 不妨, 这里除要求其为一基单纯形表外, 还要求满足；
. 检验向量, 若, 则写出该单纯形表对应的基本解, 为最优解, 而为最优值, 停; 否则, 转；
. 检验向量, 若存在, 且(即对任意都有), 则该线性规划目标函数无下界，进而无最优解, 停; 否则, 转；
. 取、, 满足, 记,
, 以为枢轴元素, 构造等价变换矩阵, 其中
,
令, 转。

从步. 可看出以上单纯形法作为求解线性规划的算法是不完整的, 就可行的初始基单纯形表的获得还需专门的讨论.
例. 求解线性规划问题
8．两阶段法：本节讨论具有标准型形式的线性规划（LP）
且设，引入人工变量构造线性规划（LP
）
M
用单纯形法求解（LP
），若得某基可行解（单纯形表）
M
满足均为非基变量，此时，则为（LP）的一基可行解；
）的基单纯形表的基础上删除第在对应的（LP
M
列，以取代余表的第行，以线性规划的等价变换构造（LP）的对应的基可行单纯形表；
用单纯形法求解（LP）。

9．定理：具有标准型形式的线性规划（LP）
）且设，引入人工变量构造线性规划（LP
M
）的最优目标函数值为“”（LP）的可行域非空。

则（LP
M
§10.3 对偶问题
引例（生产规划问题）：某厂利用a、b、c三种原料生产A、B、C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的产值，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试制订适当的生产规划使得该厂的总的
●另一相关的问题：若打算直接将a、b、c三种原料转让，如何给出它们的合
理定价？
●（对偶）决策变量：分别表示a、b、c三种原料的定价；
●以价格直接转让a、b、c三种原料，其收益应不少于将之加工为A、
B、C三种产品后获得的效益：
●
●原料总价值：；极小化？
1．称线性规划问题（LPD）：
为线性规划问题（LP）：
的对偶问题。

对偶准则：
2．定理：按照如上对偶准则，（LPD）的对偶问题（LPDD）与（LP）等价（即一个线性规划问题与它的对偶问题互为对偶）。

证明：线性规划问题（LP）：与它的对偶线性规划问题（LPD）：
其中（LPD）：
根据对偶准则的其对偶规划（LPDD）：
即：
3．考虑具有标准型的，其对偶为（LPD）：。

证明：（LP）：
，即：
由对偶准则，其对偶规划应为：
，
即
4．可以将对偶准则一般化：
例
5．对偶性定理：记，
定理1：设分别为，的可行解，则
(1)；
(2) 当且仅当（称之为线性松弛互补性条件）；
(3)如果，则分别为，的最优解。

定理2：
(1)若的目标函数在可行域无下界，则必无可行解；
(2)若的目标函数在可行域无上界，则必无可行解；
(3)若有最优解，则也有最优解，且；
(4)如果应用单纯形法求解最后得基本最优解，相应的基为，（基的
单纯形表中检验行系数成立），则为
的最优解。

6．影子价格：称线性规划的对偶规划的最优解为它的影子价格向量，为关于的影子价格。

例、求解线性规划问题，并给出两个非常规不等式约束条件所对应资源的影子价格。