点到平面的距离的几种求法_人教版
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点到平面的距离的几种求法
2 基本概念
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.
例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：
(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.
(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解
已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、Ａ
Ｄ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长
解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ
作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ
∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝
2，
32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中
BN PB BQ PN ⋅=⋅
11112=∴BQ
图1
3.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角
引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有
αsin a d = （1）
其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线
于Ｐ，易知
2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ
的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，
∴ ＣＨ＝23
，ＧＨ＝22
∴
222
sin =∠GHC ，
于是由（1）得所求之距离
11112222
2sin =⋅=∠⋅=GHC BP d
(2) 利用斜线和平面所成的角
引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有
θsin l d = （2）
注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线
与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．
解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作
GM BR ⊥，Ｒ为垂足．
图3
图4
图5
又EB GM ⊥
∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线
∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得
102
=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，
在Ｒｔ△ＲＥＢ中
1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离
11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ
（3）利用三棱锥的体积公式
解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：
BEF
G EFG B V V --=
连结BF ，则GH EF ⊥，于是有
GC
BE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21
(31)21(31 2221
==
BD EF ，2===GC BE AF
22)43(22
2
2
2
=⋅+=+=AC CH GC GH
1111
222
22222=
⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=
∴GH EF GC BE AF d
3.1.3 利用点到平面的距离公式
引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→
n 是平面的法向量，则有：
→
→
→
→→→→=><=n
n AP
n AP AP PO ,cos
图6
图7
证明：α⊥→
n
,//→
→
∴PO n →
→⊥OA n
又→
→
→
+=OA PO PA
→
→→
→
→
→
+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →
→
→
→
⋅=⋅∴n PO n PA
>
<=⋅∴→
→
→
→→→n PO n PO n PA ,cos
→
→
PO n //
→
→→→=⋅∴n
PO n PA
即： →
→
→
→
=n
n AP
PO
解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.
设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有
=→
BE （0，-2，0），=→
GE （4，-2，-2） =→
GF （2，-4，-2）
设→
n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由
→
→
⊥n GF ，有0=⋅→
→
n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →
→
⊥n GE ，有0=⋅→
→
n GE ，即4X-2Y-2Z=0
图8
图9