点到平面的距离的几种求法_人教版

点到平面的距离的几种求法
2 基本概念
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.
例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：
(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.
(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解
已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、Ａ
Ｄ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长
解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ
作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ
∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝
2，
32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中
BN PB BQ PN ⋅=⋅
11112=∴BQ
图1
3.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角
引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有
αsin a d = （1）
其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线
于Ｐ，易知
2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ
的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，
∴ ＣＨ＝23
，ＧＨ＝22
∴
222
sin =∠GHC ，
于是由（1）得所求之距离
11112222
2sin =⋅=∠⋅=GHC BP d
(2) 利用斜线和平面所成的角
引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有
θsin l d = （2）
注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线
与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．
解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作
GM BR ⊥，Ｒ为垂足．
图3
图4
图5
又EB GM ⊥
∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线
∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得
102
=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，
在Ｒｔ△ＲＥＢ中
1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离
11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ
（3）利用三棱锥的体积公式
解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：
BEF
G EFG B V V --=
连结BF ，则GH EF ⊥，于是有
GC
BE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21
(31)21(31 2221
==
BD EF ，2===GC BE AF
22)43(22
2
2
2
=⋅+=+=AC CH GC GH
1111
222
22222=
⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=
∴GH EF GC BE AF d
3.1.3 利用点到平面的距离公式
引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→
n 是平面的法向量，则有：
→
→
→
→→→→=><=n
n AP
n AP AP PO ,cos
图6
图7
证明：α⊥→
n
,//→
→
∴PO n →
→⊥OA n
又→
→
→
+=OA PO PA
→
→→
→
→
→
+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →
→
→
→
⋅=⋅∴n PO n PA
>
<=⋅∴→
→
→
→→→n PO n PO n PA ,cos
→
→
PO n //
→
→→→=⋅∴n
PO n PA
即： →
→
→
→
=n
n AP
PO
解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.
设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有
=→
BE （0，-2，0），=→
GE （4，-2，-2） =→
GF （2，-4，-2）
设→
n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由
→
→
⊥n GF ，有0=⋅→
→
n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →
→
⊥n GE ，有0=⋅→
→
n GE ，即4X-2Y-2Z=0
图8
图9
得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.
故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32
,0(=
===→→
→Z
Z n n BE d
3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定
解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFG
BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离
AC BD ⊥ HC EF ⊥∴
⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG
∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线
作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离
正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23
∴在HCG Rt ∆中
222)23(2
2=+=HG HCG HKO ∆∆~
∴1111
222
22=⨯=⋅=
HG GC HO OK
(2) 利用平行平面的距离确定
图10
解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB
它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：
BN
S d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）
易求出
BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104
BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S
由关系式（3）可得
32
83
118⨯
=⨯d 于是平行平面间的距离
1111
2=
d
即点B 到面EFG 的距离为11/112
4 方法总结
求点到平面的距离的常用方法有：
(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.
（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.
(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式
10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.
20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.
30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.
(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的
图11
体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.
（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.
参考文献
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