高中数学竞赛讲义-高斯函数

§28高斯函数

数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.

定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==

由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：

（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.

（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；

}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.

图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2

（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*

∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n

i i

i

n i i

R x

x x y x y x x y x y x 1

1

],[][

};{}{}{{];[][][；特别地，

].[][

b

a n

b na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n

i i

i

n i i

R x

x x 1

1

],[][

；特别地，

*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.

（8）]]

[[

][n

x n x

=，其中*∈+∈N n R x ,

.

例题讲解

1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.

2．对任意的∑∞

=+*

+=∈0

1].22[,K k k

n S N n 计算和

3．计算和式.]503

305[

502

的值∑==n n

S

4．设M 为一正整数，问方程2

2

2

}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？

5．求方程.051][4042

的实数解=+-x x

6．.][3]3[2]2[1][][:,,n

nx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*

证明

7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：

].[]1

[]2[]1[][nx n

n x n x n x x =-+++++++ .

8．求出]3

1010[100

20000

+的个位数字

例题答案：

1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为

∑∞

==1

].2

[

)!(2t t n n 若∑∑∞

=-=--------=-=++++====1

1

1

12211

1

1122221]2[]2

[)!(2,2

t k t k k t k t k k n n n 则

故!.|21n n -

反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222

[(21

p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++

由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<

则n !.这与已知

矛盾，故必要性得证. 2．解：因]2

1

2[]22[

11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2

[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n

又因为n 为固定数，当k 适当大

时,.)]2[]2

([,0]2[,1201n n

n S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而

3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则

503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503

305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n

可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[

503305n ]+.304]503

)

503(305[

=-n 故 ∑∑===⨯=-+==251

1

502

1.76304251304]),503)

503(305[]503305([]503305[n n n n n S

4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.

设x 是方程的解.将2

2

2

}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x

,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数.