第6章-1 湍流基本理论-2010

如何来求平均量呢？
通常应用三种平均方法
时间平均法(temporal average) 空间平均法(spacial average) 系综平均法(ensemble average)
设湍流运动的瞬时流场为
(instantaneous velocity field)
u u( x, y, z, t )
《粘性流体力学》电子教案
3/ 4
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湍流的基本理论
小涡体的长度尺度、时间尺度、速度尺度均比大涡 体要小得多 小尺度的涡强比大尺度的要大得多，故能量耗散也 大得多 大尺度涡体携带的能量比小涡体的大得多，因此大 涡体又称为含能涡
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湍流的基本理论
大尺度涡体与小尺度涡体的比较 大尺度涡体 由平均流动产生 与边界有关 具有拟序特征 要求确定性描述 非均匀 小尺度涡体 由大尺度旋涡产生 有通用性 随机运动 可统计模拟 均匀
A A t t
A A xi xi
2 A 2 A 2 2 xi xi
A A
A B A B
A 0
A B 0
AB A B AB
AB AB
ABC A B C A BC B AC C AB ABC
大 涡 区
含 能 涡 区
平 衡 区
含能涡区又称为惯性区，平衡区又称为耗散区
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湍流的基本理论
Kolmogorov认为：控制小尺度运动的参数，应包含单位 质量的能量消耗率 和流体的运动粘性系数
为此，由量纲分析有（小涡的各项尺度）：
长度尺度
时间尺度 速度尺度 V

显然，若 r 0 ，Rii 1 ；若 r ，Rij 0
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R
湍流的基本理论
a
Ue
x1
u2'
x1+r
u2'
y/
x1
u2'
x1+r
u2'
y/
r1
R22 x1 , x1 r1 R
b
A B D
R
C
r1
可以看出：当 r1 0 时， ， R22 1 1 时 R22 0 c 完全相关；当 r
即： ~
u2
l /u

u3
l
③式
其中：l 表示大涡体的尺度， u 为特征速度 由此可得（代入①式）： 长度尺度比 时间尺度比 速度尺度比

l

t
v u
ul ~ Re3/ 4 1/ 2 ul 1/ 2 Re 1/ 4 ul ~ Re1/ 4
T N T N
即： u u
t
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u
e
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湍流的基本理论
1.2 湍流的统计理论
做法：将流体视为连续介质，将各物理量如：流速、压力、 温度等脉动值视为连续的函数，并通过各脉动值的相关函数 和谱函数来描述湍流结构。
应用：
•为了描述湍流的组织或结构，需要通过多点相关理论建立 起合理的长度尺度准则
A A 0 0 推论： xi t
2 A 0 2 xi
t t 0
在准定常湍流场中，有： A A
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湍流的基本理论
空间平均法(spacial average)
t0 时刻，流场中一点（ x0 , y0 , z0 ）流速的体积平均值为
u ( x0 , y0 , z0 , t0 ) lim
u ( x0 , y0 , z0 , t0 )
e


p(u)udu
需要知道流动的概率密度函数
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湍流的基本理论
各态遍历假设（ergodic hypothesis）
各态遍历假说认为一定条件下，三种方法具有一致性。 定义：一个随机变量在多个相同试验中或一个试验重复多次时 出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长时间或相当大 空间范围内，以相同概率出现，称为各态遍历。 N次试验中，u出现在u0至u0 +Δu的次数为ΔN； 一次试验中，在T时间内， u出现在u0至u0 +Δu的时间间隔为ΔT 一次试验中，在 范围内， u出现在u0至u0 +Δu范围为 若 N , T , 足够大则有
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系综平均法(ensemble average)
对重复多次的试验进行算术平均
1 N u ( x0 , y0 , z0 , t0 ) lim u k ( x0 , y0 , z0 , t0 ) N N k 1
e
可以将上式写成概率分布（probability distriution）的形式：
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湍流的基本理论
各向同性与非各向同性湍流
各向同性湍流：指任何湍动量与方向无关，或者说，任何湍 动量在各个方向都一样，不存在任何特殊地位的方向。反之， 则为非各向同性湍流。 各向同性湍流，必然是均匀湍流，因为湍流的任何不均匀性 都会带来特殊的方向性。
在实际中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流， 如：蜂窝格栅下游较远处；大多数真实流动的耗散涡也具有 各向同性 各向同性下，i j时, uiuj 0 ，雷诺应力由9个量减为3个量。


3
1/ 4
1/ 2
①式
Red V

1/ 4
~1 耗散雷诺数
说明小尺度涡体的湍流脉动是粘性主宰的耗散流 动，因此这一尺度的涡体也称为耗散涡
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湍流的基本理论
在各向同性湍流中，可以认为大尺度涡体由它所包含的 湍动总能量 k ，以及向小尺度传递的能量 决定。 为此由量纲分析可得：
•为了建立合理的湍流模型，需要知道各种尺度的涡对能量 生成、传输和耗散的贡献，通过谱分析可以得到
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随机变量的各阶原点矩和中心矩
定义：
当 r 0 ，随机变量 A r 和 ( A A)r 的数学期望（假设存 在）分别称为随机变量 A 的 r 阶原点矩和 r 阶中心矩。
空间相关
表示湍流中，空间两点上各种脉动速度分量之间的相关矩， 表达了空间一点的脉动速度与邻近一点上的脉动速度之间的关 系。
空间相关矩
Rij x , x r ui x u j x r
空间相关系数 Rij x , x r
Rij x , x r ui2 x uj 2 x r
湍流的基本理论
时间平均法(temporal average)
时均值的定义为：
1 t0 T / 2 u ( x, y, z ) lim u ( x, y, z , t )dt T T t0 T / 2
T
于是瞬时速度可分为时均流速和 脉动流速两部分：u uT u
A
1 t0 T / 2 udt 0 且： lim t T / 2 T T 0



表示了流动的湍流度。
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三阶中心矩为： (u u)3 u3 u3 pudu 偏斜度因子 (Skewness factor)
3 u s ，3

表示分布的相对偏斜程度， 即不对称性
S为正值
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A B r r 相互无关；当 1 较小时 R22 0 ， 1 较大时 r1 D R22 0 C
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时间相关矩和自相关 时间相关矩表示同一点上，不同时刻的脉动量之间的关系：
Rij ui t u j t
时间相关系数 R ij

1 u ( x, y, z, t0 )d
积分体积 应包含（ x0 , y0 , z0 ）点，且应足够大 体积平均法在满足以下条件时也可推广到非均匀湍流场

湍流脉动的空间尺度

湍流流动平均值的空间变化尺度
1 u ( x0 , y0 , z0 , t0 ) u ( x, y, z, t0 )d
基于相关函数 增进了对湍流（特 未能解决工程技术方 泰勒 及谱分析等方 别是湍流的小尺度 法，研究湍流 面的实际问题 柯尔莫戈罗夫 部分）机理的了解 的结构
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湍流的基本理论
1.1 湍流平均量的半经验分析
做法：主要研究各个参数的平均量以及它们之间的相互关 系，如平均速度、压力、边界层厚度等。
Ar
( A A) r
若随机变量为u（t），则： 一阶原点矩为： 一阶中心矩为：
u upu du 为其时均值
u u u upudu 0


二阶中心矩为： (u u) 2 u2 u2 pudu 2 ，此即u（t）的 方差。实际上
Rij ui t
2
u j t
2
i=j时的时间相关叫做自相关 ：
ui t ui t Rii u 2 t
i

可以证明：自相关系数是偶函数
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湍流的基本理论
1.3 湍流的特征尺度
湍流由各种不同尺度的涡体运动组成。
常州大学研究生课程
《粘性流体力学》
湍流的基本理论 Basic knowledge of Turbulence
蒋绿林
“能源与环境”研究中心 2013年10月
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湍流的基本理论
主要内容：
湍流研究的基本方法和理论
雷诺方程以及雷诺应力方程、湍流平均动能 方程、湍动能方程、湍动能耗散率方程等
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湍流的基本理论
1 湍流的两种统计理论
历史上，对湍流的统计研究主要沿两个方向 发展：一个是湍流平均量的半经验分析，另一个 是湍流相关函数的统计理论分析。 方法
优 点
缺 点
代表人物
基于大量的试 能方便地解决实际 主要涉及湍流的大尺 普朗特 验，确定湍流 卡门 度运动 ，对了解湍 冯· 问题 的特征参数 流的实质帮助不够 尼古拉兹
非各向同性 长生命 起扩散作用 模拟困难
各向同性 短生命 起耗散作用 模拟相对容易
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湍流的基本理论
1.4 湍流的分类
均匀湍流与非均匀湍流
均匀湍流：指统计上湍流的任何性质与空间位置无关，或者 说，任何湍动量的平均值及它们的空间导数，在坐标作任何 位移下不变。 非均匀湍流：湍流统计性质与空间位置有关 注意：均匀湍流的均匀性是指脉动量具有均匀性，与均匀流 不是同一概念。
1 t T / 2 u ( x, y , z , t ) u ( x, y, z, t )dt T t T / 2
T
例如：海洋潮汐运动的周期为12小时或24小时，而最低的湍 流脉动频率约为1Hz，则平均时间T取2分钟即可。
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湍流的基本理论
常用的时均运算关系式： 设为湍流物理量的瞬时值 A, B, C ，则：
若平均值 u 与积分时刻t0无关，既使在不同的t0时刻做多次相同 T 的重复试验，所得 u 是一样的，称为定常(或准定常)湍流。
T
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湍流的基本理论
严格地讲时间平均法只能用在定常湍流或准定常湍流，但 在一定的条件下也可以推广到非定常湍流中使用。 若非定常湍流的脉动周期为T1，平均流动的变化周期为T2，而 且T1<<T2，在取时间积分的积分域T时，使T1<T<T2 ，这样得到的 时间平均值可以用来表示非定常湍流：
3/ 2 k l~

②式
t
k

Red ul 1 一般

u
k
积分尺度雷诺数
在含能尺度范围内，惯性主宰湍流运动，因此含能尺度 范围又称惯性区。
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湍流的基本理论
Kolmogorov还认为：大涡体向小涡体提供的能量与小涡 体本身消耗的能量两者平衡，因此能量消耗率 应与能 量供应率平衡。
4 4
四阶中心矩为：(u u) u u4 pudu
4 u 平坦因子 K
4
(Flatness factor)
，度量曲线相对于高斯分布的 接近程度
若 K 3 ，则表示概率曲线中部 升得高，而在两侧下降较快
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湍流的基本理论
湍流脉动量的相关矩