2020年全国I卷理科数学高考试题及解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（I 卷）试题及解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若1z i =+,则22z z -= ( )
D.2 解析：把Z=1+i ，代入计算
222(1)2(1)(1)(12)(1)(1)112z z i i i i i i -=+-+=++-=+-+=--=
正解答案为D
或者 22222211(1)1(11)12z z z z z i -=-+-=--=+--=
这里是凑好了一个完成平方的形式，正好抵消了1
点评：这是复数的计算题，掌握复数的运算法则就可以，属于送分题。

2.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =
( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
解析：解不等式，集合{|22}A x x =-≤≤
集合{|/2}B x x a =≤-
而 {}21A B x x =-≤≤，由此可以看出交集的下限是A 集合的-2，上眼1应该
是B 集合的，也集12a -
= ，解得a=-2。

正确答案为B
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一
个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底
面正方形的边长的比值为（ ）
A. 514-
B. 512-
C. 514+
D.
512+ 解析：
设正四棱锥的顶点为H ，底面正方形为ABCD ，中心为O ，AB 的中点F ，则求x=HF/AB 的值，示意图。

面积关系：21*2
HAB OH S AB HF ∆==， 三角形HOF 为直角三形，由勾股定理：22214HF OH AB =+
则，2211*24
HF AB HF AB =+ 把x=HF/AB 代入式中 24210x x --=
解得154
x += 点评：不要被金子塔吓着，其实题目和它没什么关系，就是考查正四棱锥的几何关系，不题不算难，但过程还是有点复杂，对四棱锥的结构一定要非常熟悉，思
路一定要清晰。

4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y
轴的距离为9，则p =（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解析：设A 点到y 轴的距离用AY 表示，此抛物线的准线为X=-p/2
根据抛物线的定义：
AF=AX+p/2 12=9+p/2,p=6
正确答案为C
点评：本题就是考查抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，准线为x=-p/2,非常容易。

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο
）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）
A ．y a bx =+
B ．2
y a bx =+
C ．x y a be =+
D ．ln y a b x =+
解析：分析图形，中间有一个转折点，前段和后段都可以用直线，而对数函数有这样的特性。

A 是直线，差距非常大，B 是抛物线，不满足，C 是指数函数，增加是变快的，因些只有D 比较符合要求。

点评：这道题看起来比较难，又没办法求解，实质是考查对几个常见函数的图像的熟练程度。

6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）
A ．21y x =--
B ．21y x =-+
C ．23y x =-
D ．21y x =+
解析：(1)121f =-=-，所以切线过点（1，-1）
对f(x)进行求导，并把点X=1的斜率求出来，可得
321'(1)46|462x f x x x ===-=-=-
根据斜率和切点可以写出直接方程为21y x =-+
点评：本题考查函数的导数的计数，直线方程的写法，属于容易题
7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）
A.
109
π B. 76
π C. 43
π D. 32π 解析：由于在(,0)π-还没有相关，在左下半部分在(,0)π-点到4(,0)9
π-这段区间， 45()299T πππ≥---= 即109
T π≥
所以周期T 的范围：101399
T ππ<<
由图像可知2422T T πππωω=
<<= 解得12ω<<
函数f(x)过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，代入可得 44()cos()0996
f πππω-=-+=，则 4()962
k k Z πππωπ-+=+∈ 394
k ω+=- 由些可得k=-1 39342
ω-=-= 由些可计算周期243
T ππω== 点评：本题全面考查正弦函数的周期、角频率、三角函数值和图形，是一道比较综合的题目，对任何一个知识点不熟练都有可能出错。

8. 25()()y x x y x
++的展开式中33x y 的系数为( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
解析：5()x y +展开的通项公式
515r r r r T C x y -+=
当 r=1时，2
14
1
335*5y C x y x y x = 当r=3时，323335
*10C x y x x y = 所以展开后的系数为10+5=15
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题。

9. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）
B. 23
C. 13
解析：用倍角公式化解可得，
23(2cos 1)8cos 5αα--= ，进一413()99
T πππ<--=步化简可得
23cos 4cos 40αα--=，解得 2cos ,cos 23αα=-=(舍去) 所以可得5sin 3
α= 点评：本题是考查倍角公式和三角函数的一些计算，难度不算大。

10. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为( ).
A. 64π
B. 48π
C. 36π
D. 32π
解析：
圆O1的面积为4π，则半径为2，
也即O1A=O1B=O1C=2,123AB BC AC OO ====
则O1OC 构成了直角三角形,OC 为斜边
2221112416OC OO O C =+=+=
球O 的表面积2464S R ππ==
11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:220,l x y p ++=为l 上的动点.过点
p 作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为（ ）
A. 210x y --=
B. 210x y +-=
C. 210x y -+=
D. 210x y ++=
解析：示意图如下:
利用面积转化法
1**22
PAMB S PM AB PA AM PA ====所以当PM 最小时,PM AB 的乘积会最小.
也即过M 点作直线l 的垂线，交点即为P ，这时的PM 为最小值，直线AB 与l 线是相互平行的。

根据作图可知它与y 轴的交点在x 轴下方，也即D 符合要求。

正确答案为D
点评：本题过程有点复杂，要求对平面几何的知识非常熟练，学会画草图解决实际问题。

12.若a 242log 42log b a b +=+则（ ）
A.a>2b
B.a<2b
C.a>2b
D.a<2b
解析：变形可得 222222222log 2log 2log log 22log 2a b b b a b b b +=+<++=+ 设2()2log x f x x =+ 则f(x)为单调递增的函数
所以222()2log (2)2log 2a b f a a f b b =+<=+
即()(2)f a f b <，根据它的单调递增的特点，可得
a<2b,即B 为正确答案
选择题的巧妙解法：
令b=1,则等式右边=4，则22log 4a a += 由些可以判断 1<a<2
可以排除A 和D 两个选项
同理可以令a=1,来计算b 的值。

点评：本题的关键在于根据对称性，熟练运用对数和指数的计算关系，构造出f(x),再利用单调性和不等式之间的关系。

本题综合性较强，如果思路不对比较难解出来。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩
则z=x+7y 的最大值为 1 。

解析：目标函数y 前的系数较大，对目标函数影响较大，重点y 考查y 的最大值，即y 小于等于XXX ，想方设法消掉x,
2式，变化2x-2y-2>=0,-2x+2y+2<=0
1式+2式，可得30y ≤，即y 的最大值为0
再把y=0代入约束条件，x<=1(1式)，x>=1,因些x=1
代入目标函数可求得最大值为1.
14.设a ，b 是单位向量，且︱a+b ︱=1,则︱a-b ︱
解析： 22221a b a ab b +=++= 因为a,b 单位向量，所以他们的模为1，即1,1a b ==
所以2ab =-1, ()31)1(12222=+--=+-=-=-b ab a b a b a
点评：平面向量的基本计算，属于比较简单的题目。

15.已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__2________.
解析：如下图，F 的坐标为（c,0），A （a,0） 把F 点代入双曲线，得
22
221c y a b
-= 解得2b y BF a == 设AB 的斜率为k
2
22
3b b a k c a ac a ===--
化简得：222233ac a b c a -==-
c e a ===为双曲线的斜率) 2320e e --=
解得e=2,或e=1(舍去)
点评：属于常规题，不算难，但有一定的计算量，平时训练的时候要加强计算，提高准确率。

16.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，AB AD ==AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=，则cos FCB ∠=__-1/4_____.
解析：还原图形,对应的原来的P-ABC
AB AD AE ===,CE=CF=1,BF BD ==在三角形FCB 中应用余弦定理：
2224161cos 2*2214
BC CF BF FCB BC CF +-+-<===-⨯⨯ 点评：本题的关键是把展开的图与原来的图对应起来，找出它们之间的线段长度对应的关系，然后应用余弦定理来求解。