《概率与统计》第四课时随机变量的数字特征资料

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若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)
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协方差性质:
定理4.3
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例4.18 设X服从[0,2π]上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这里a是常数.求ρYZ.
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① 当a=0时，ρYZ=1，Y=Z，存在线性关系； ② 当a=π时，ρYZ=-1，Y=-Z，存在线性关系；
（1）协方差矩阵为对称矩阵;
（2）协方差矩阵为非负定矩阵。
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1，计uk E X K ,
VK E( X - E( X ))K
2、变异系数CV
(
X
)
(
E(
X X
) )
为X的
变异系数
因为变异系数是以期望为单位去度量
随机变量取值的波动程度特征。
3、分位数，
4、中位数
第四章随机变量的数字特征
第一节数学期望第二节方差第三节协方差与相关系数第四节矩、协方差矩阵
第一节数学期望
1.数学期望的定义
定义4.1
为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即
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E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值.
E（Z）=E（X）-E（Y）=22.40-22.50=-0.10, D(Z)=D(X)+D(Y)=0.032+0.042=0.052, 即Z~N（-0.10,0.052）,故有
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第三节协方差与相关系数
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若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i, j=1,2,…
(3) 泊松分布
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(4) 均匀分布
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(6) 正态分布
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例4.15 设活塞的直径（以cm计）X~N(22.40,0.032)，气缸的直径Y~N（22.50,0.042），X，Y相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率解按题意需求P{X<Y}=P{X-Y<0}.令Z=X-Y，则
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例4.4 设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概率密度为
试证E（X）不存在. 证由于
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故E（X）不存在.
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2.随机变量函数的数学期望定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x) 是连续函数。
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证设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定明理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为
))2
2
-
3
v4 (v2 )2
-
3
为X的分布的峰度系数。峰度系数也用于描述分布的形状特征，但
峰度系数与偏度系数的差别是：
偏度系数刻画的是分布的对称性，而峰度系数刻画的是分布的陡峭性。
当2 0时，则低峰度；当2 =0时，与正态分布相当；当2 0时，高峰度。
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5、偏度系数
1 =
E( X - E( X ))3
3
E( X - E( X ))2 2
当1 0时，分布为正偏或右偏；
当1 0时，分布关于其均值E( X )对称；
当1 0时，分布为负偏或左偏。
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6、峰度系数
2
=
E(X E ( X
- E(X ))4
-
E(
X
(3) 泊松分布
(4) 均匀分布
(5) 指数分布 (6) 正态分布
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定义4.2
第二节方差
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2.方差的性质设随机变量X与Y的方差存在，则
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3.常用分布的方差
X0 1 P 1-p p
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解每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为
X 10000 1000
100
10
1
pk 0.0001 0.0015 0.0134 0.1
0.885
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因此， E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134
+10×0.1+1×0.885 =5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的.
③当
时，ρYZ=0，这时Y与Z不相关，但这
时却有Y2+Z2=1，因此，Y与Z不独立.
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第四节矩、协方差矩阵
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协方差Cov(X,Y)是X和Y的1+1阶混合中心矩设n维随机变量(X1,X2,···Xn) 的1+1阶混合中心矩都存在，则称矩阵
为协n方维差随矩机阵变具量有(X以1,X下2,性···X质n)：的协方差矩阵。
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例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望.
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3.数学期望的性质定理4.2 设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在.
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例4.9 设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
试求电压V=IR的均值. 解
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4.常用分布的数学期望 (1) (0—1)分布 E（X）=0×(1-p)+1×p=p. (2) 二项分布
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推广：设Z是随机向量（X,Y）的函数，即 Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）
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例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望.
解设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为
球体积
，由（4.6）式得