第三节 无旋流动的速度势函数

∇2 ∂2 ∂2 ∂2 = + + 2 2 ∂y ∂x ∂z 2
拉普拉斯算子
在不可压流体的有势流动中， 在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯 方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数， 方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为 调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 在不可压流体的有势流动中， 在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方 这样把求解无旋流动的问题， 程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求 解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
r 由数学分析可知， 由数学分析可知， × V = 0是 udx + vdy + wdz 成为某 ∇ 全微分的充分必要条件。 一标量函数 ϕ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。
函数φ称为速度势函数。因此，也可以说， 函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函 称为速度势函数 的流动为有势流动， 数φ的流动为有势流动，简称势流。 的流动为有势流动 简称势流。 根据全微分理论，势函数φ的全微分可写成 根据全微分理论，势函数 的全微分可写成
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯 ）不可压缩流体的有势流动中，势函数φ满足拉普拉斯 方程，势函数φ是调和函数 是调和函数。 方程，势函数 是调和函数。
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = ∇ 2ϕ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
拉普拉斯（Laplace）方程 拉普拉斯（Laplace）
第三节
无旋流动的速度势函数
r
如前所述， 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度ω 在任意时 r 刻处处为零， 的流动为无旋流动， 刻处处为零，即满足∇ × V = 0的流动为无旋流动，无旋流动也 称为有势流动。 称为有势流动。
一、速度势函数引入 二、速度势函数的性质
一、速度势函数引入
无旋流动的假定
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy Hale Waihona Puke Baidu dz ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ u= ，v = ，w = ∂y ∂x ∂z
u=
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ，v = ，w = ∂y ∂x ∂z
按矢量分析
r r r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r r V = u i + vj + w k = i + j+ k = grad ϕ ∂x ∂y ∂z
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。 对于任意封闭曲线， 点和B点重合 对于任意封闭曲线，若A点和 点重合，速度势函数是单 点和 点重合， 值且连续的， 值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于 ΓAB = 0 零，即 。 （3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 ）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面； 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 ） 值之差。而与曲线的形状无关。 值之差。而与曲线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线 的线积分 根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
B rr B ΓAB = ∫Vds = ∫ (udx+ vdy+ wdz) = ∫ dϕ = ϕB −ϕA A A A B
对于圆柱坐标系，则有 对于圆柱坐标系， 1 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ vr = ， vθ = ，vz = r ∂θ ∂z ∂r
dϕ = v r dr + vθ rdθ + v z dz
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体， 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不 论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件， 论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然 存在速度势函数。 存在速度势函数。