_2第二章z变换
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n Z
Z 例: anx(n) X az ， Rx1 az Rx2
ROC保持不变
d 则 nx(n) z X ( z) dz
Z
d n x(n) z X ( z) dz
m Z
m
时域序列乘n等效于z域中求导且乘以(-z)
z 【例】 已知:u (n) |Z|>1 z 1 求斜变序列nu(n)的z变换.
z
d z z 解:nu(n) z ( ) 2 dz z 1 z 1
2.5 序列的Z变换
• • Z变换的定义 Z变换的收敛域
•
•
逆Z变换
Z变换的性质和定理
•
利用Z变换求解差分方程
2.5.1 Z变换的定义（正变换）
序列x(n)的Z变换定义为 双边Z变换
X ( z)
n
z复变量、z平面
x ( n) z n
因果序列
单边Z变换
X ( z ) x(n) z
【例 】求序列 x(n) a
n
u(n)的Z变换。
解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义
X ( z)
n
x(n)z n a n z n (az 1 )n
n 0 n 0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )3
左序列
X1 ( z )
n1
x(n) z n
¥
0 | z | R xRx2
圆内
右序列
X 2 ( z ) = å x(n) z - n Rx x1 <| z |£ ¥
n=0
圆外
左序列
X1 ( z )
右序列
x(n) z n 0 | z | RR x2
n1
解
X ( z)
n n u ( n ) z z n 0
n
n
x ( n) z n
X(z)存在的条件是|z－1|<1，因此收敛域为|z|>1, 因此
X ( z) 1 1 z 1 | z | 1
零点和极点??
收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在 一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变 换是可以存在的。
n 0
n
Z变换存在的条件：
n
x ( n) z n
Z平面:
Z变换定义式中z所在的复平面， z是一个 连续复变量，具有实部和虚部。 变量z的极坐标形式
z | z | e
单位圆:
j
在Z平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为 z
e
j
ZT与FT关系
ROC：
( R1 z R2 )
其中:R1 =max(R x1 , Ry1 ), R 2 =min(R x2 , Ry 2 )
注：如果线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
【例】 求序列 anu(n) anu(n 1)的z变换.
z 解：已知 x(n)=a u (n) (z a) za a z n y(n)=a u (n 1) (z a) za
1 z X ( z ) (az ) , 1 1 az za n 0
1 n
| z | ＞| a |
ROC
n 【例 】求 x(n) a 的 uZ (变换及其收敛域。 n 1)
解:
X ( z)
n
a n u (n 1) z n
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
P(z) X (z) Q( z )
P( z ) 0的根 零点 Q( z ) 0的根 极点
X(Z)=
n
在极点处Z变换不存在
x ( n) z n
2.5.1 Z变换的收敛域
Z变换存在的条件：
n
x ( n) z n
收敛
使上式成立的Z变量取值的范围称为收敛域（ROC）。
n=-∞
n 1
-1
a n z n
n 1
a n z n
如果X(z)存在，则要求 a1 z 1 ，得到收敛域为 z a
在收敛域中，该Z变换为
a z 1 X ( z) 1 1 1 - a z 1 az
1
za
ROC
x(n) a nu(n 1)
1 a2 az 1 X ( z) 1 (1 az )(1 az 1 ) 1 az 1 az | a || z || a |1
如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。
序列特性对收敛域的影响
序列特性： 序列描述： x(n)
0
有限长序列
x(n) n1 n n2
n 1≥0, n2>0时，负次幂
收敛域为0<z≤∞。
• 极点？ • 零点？
x(n)=
x(n) n≥n1
0 n<n1
2． 右序列
1
右序列是指在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1时， 序列值全为零的序列。
X( z) = x(n) z
n n1 n
x(n) z x(n) z n
Rx1 z Rx1 z
z Rx1
(2) n1>0 n2=∞
Rx1<|z|≤∞
z Rx1 右边序列的收敛域是半径 Rx－的圆外部分。
右边序列
【例】 解
X ( z)
求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。
n
a u ( n) z
n
n
a z
n 0
在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点.
收敛域总是用极点限定其边界。
一般收敛域为环状域，即
Rx | z | Rx
z | z | e
j
|z|=r
Rx－<r<Rx＋，
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
【例】 x(n)=u(n), 求其Z变换。
1
X 2 ( z ) = å x (n) z - n ; R <| z |£ ¥ R xn=0
¥
x1
圆内收敛 Rx1 <|Z|< Rx2
圆外收敛
j Im[ z ]
环状
交集
Rx2 <Rx1
没有收敛域 有收敛域
Re[ z ]
RR R >R x2x2 x1x1
【例】 解
x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
n
n
n n a z
a 1 z 1 X ( z) 1 1 a z 1 az 1
za
x(n) a u(n)
n
1 z X ( z ) (az ) , 1 1 az za n 0
1 n
| z | ＞| a |
两者Z变换的函数表达式一样，但收敛域却不相同，对应 的原序列也不同
n n n1 n 0
（1）
（2）
（1）有限长序列，设n1≤－1，其收敛域为0≤|z|<∞。 （2）因果序列， 收敛域为Rx－<|z|≤∞（圆外）。
交 集
Rx－<|z|<∞
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n1 n
(1) (1) n1<0n1<0
n2=∞ n2=∞
右边序列
左边序列
x(n) n n1 x(n) n n1 0 n n2 n n2
0 |z| ,
x(n) x ( n ) n为其他值 0 n1 0,n2 0
n2 0
|z| , 收敛域： 0
Rx | z |
0 | z | Rx n2 0, 0 | z | Rx
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n z
z x(n)=anu(n) anu(n 1) 1
线性叠加后，序列的z变换收敛域扩大 到全平面。
（2）时域平移性
ROC保持不变
双边Z
若x(n) X ( z)
双边Z变换
则x(n m) z X ( z)
双边Z
m
（3）Z域微分性质
Z 若 x(n) X ( z)
1
a n z n
n 1
X(z)存在要求|a－1|＜1，即收敛域为|z|＜|a|, 因此
a 1 z 1 X ( z) , | z | a 1 1 1 a z 1 az
圆内
4． 双边序列
双边序列
X ( z)
1
= （左序列）+（右序列）
n
x(n) z n X1 ( z ) X 2 ( z )
n n
1 1 az 1
圆外
在收敛域中必须满足|az－1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。
x(n)=
x(n) n<=n2 0 n>n2
3． 左序列
左序列是指在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2 时，序列值全为零的序列。
n2
X ( z)
n
x ( n) z n
(1)n1=-∞
零次幂 零次幂 负次幂
0≤|z|<∞ 0<|z|<∞
• n1≥0, n2>0时，负次幂
零次幂
0<|z|≤∞
【例】 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
解
N 1 n0
X ( z)
因果 &
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
有限长序列 零次幂
正确地确定收敛域是很重要
序列特性对收敛域的影响
1． 有限长序列 2． 右边序列 3． 左边序列 4． 双边序列 [n1 [n1 ~ ~ n2] 有限项 ∞] n2]
[-∞ ~
[右边序列+左边序列 ]
1． 有限长序列
如序列x(n)满足下式：
x(n) n1 n n2 x ( n) 其它 0
FT:
X (e j ) FT[ x(n)]
n
x(n)e jn
ZT:
X ( z)
n
x ( n) z n
X (e ) X ( z) |z e j
单位圆上的 ZT就是其 FT。
j
单位圆
如果单位圆上的ZT不存在，则FT也不存在
零点和极点
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：
Z变换为：
X ( z ) x(n) z
n n1
n2
n
有限项 求和
收敛域？？ 几乎整个z平面均收敛（考虑0和∞ ）。
X ( z)
n
x ( n) z
n
n
x ( n) z n
收敛约束
Z的正次幂
Z的零次幂
Z的负次幂
Z不能等于0
Z不能等于无穷大
• n1<0, n2≤0时，正次幂 • n1<0, n2>0时，正次幂
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
R来自百度文库C
z || a | x(n) anu(n| )
X ( z)
n
a
|n| n
z
=
n=-¥
åa
-1
-n -n
z + åa z
n=0
¥
n -n
= åa z + åan z-n
n n n=1 n=0
¥
¥
第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a|－1;
第二部分收敛域为|az－1|<1, 得到|z|>|a|。
如果|a|<1, 两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|－1, 其Z变换如下式:
Z 例: anx(n) X az ， Rx1 az Rx2
ROC保持不变
d 则 nx(n) z X ( z) dz
Z
d n x(n) z X ( z) dz
m Z
m
时域序列乘n等效于z域中求导且乘以(-z)
z 【例】 已知:u (n) |Z|>1 z 1 求斜变序列nu(n)的z变换.
z
d z z 解:nu(n) z ( ) 2 dz z 1 z 1
2.5 序列的Z变换
• • Z变换的定义 Z变换的收敛域
•
•
逆Z变换
Z变换的性质和定理
•
利用Z变换求解差分方程
2.5.1 Z变换的定义（正变换）
序列x(n)的Z变换定义为 双边Z变换
X ( z)
n
z复变量、z平面
x ( n) z n
因果序列
单边Z变换
X ( z ) x(n) z
【例 】求序列 x(n) a
n
u(n)的Z变换。
解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义
X ( z)
n
x(n)z n a n z n (az 1 )n
n 0 n 0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )3
左序列
X1 ( z )
n1
x(n) z n
¥
0 | z | R xRx2
圆内
右序列
X 2 ( z ) = å x(n) z - n Rx x1 <| z |£ ¥
n=0
圆外
左序列
X1 ( z )
右序列
x(n) z n 0 | z | RR x2
n1
解
X ( z)
n n u ( n ) z z n 0
n
n
x ( n) z n
X(z)存在的条件是|z－1|<1，因此收敛域为|z|>1, 因此
X ( z) 1 1 z 1 | z | 1
零点和极点??
收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在 一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变 换是可以存在的。
n 0
n
Z变换存在的条件：
n
x ( n) z n
Z平面:
Z变换定义式中z所在的复平面， z是一个 连续复变量，具有实部和虚部。 变量z的极坐标形式
z | z | e
单位圆:
j
在Z平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为 z
e
j
ZT与FT关系
ROC：
( R1 z R2 )
其中:R1 =max(R x1 , Ry1 ), R 2 =min(R x2 , Ry 2 )
注：如果线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
【例】 求序列 anu(n) anu(n 1)的z变换.
z 解：已知 x(n)=a u (n) (z a) za a z n y(n)=a u (n 1) (z a) za
1 z X ( z ) (az ) , 1 1 az za n 0
1 n
| z | ＞| a |
ROC
n 【例 】求 x(n) a 的 uZ (变换及其收敛域。 n 1)
解:
X ( z)
n
a n u (n 1) z n
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
P(z) X (z) Q( z )
P( z ) 0的根 零点 Q( z ) 0的根 极点
X(Z)=
n
在极点处Z变换不存在
x ( n) z n
2.5.1 Z变换的收敛域
Z变换存在的条件：
n
x ( n) z n
收敛
使上式成立的Z变量取值的范围称为收敛域（ROC）。
n=-∞
n 1
-1
a n z n
n 1
a n z n
如果X(z)存在，则要求 a1 z 1 ，得到收敛域为 z a
在收敛域中，该Z变换为
a z 1 X ( z) 1 1 1 - a z 1 az
1
za
ROC
x(n) a nu(n 1)
1 a2 az 1 X ( z) 1 (1 az )(1 az 1 ) 1 az 1 az | a || z || a |1
如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。
序列特性对收敛域的影响
序列特性： 序列描述： x(n)
0
有限长序列
x(n) n1 n n2
n 1≥0, n2>0时，负次幂
收敛域为0<z≤∞。
• 极点？ • 零点？
x(n)=
x(n) n≥n1
0 n<n1
2． 右序列
1
右序列是指在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1时， 序列值全为零的序列。
X( z) = x(n) z
n n1 n
x(n) z x(n) z n
Rx1 z Rx1 z
z Rx1
(2) n1>0 n2=∞
Rx1<|z|≤∞
z Rx1 右边序列的收敛域是半径 Rx－的圆外部分。
右边序列
【例】 解
X ( z)
求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。
n
a u ( n) z
n
n
a z
n 0
在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点.
收敛域总是用极点限定其边界。
一般收敛域为环状域，即
Rx | z | Rx
z | z | e
j
|z|=r
Rx－<r<Rx＋，
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
【例】 x(n)=u(n), 求其Z变换。
1
X 2 ( z ) = å x (n) z - n ; R <| z |£ ¥ R xn=0
¥
x1
圆内收敛 Rx1 <|Z|< Rx2
圆外收敛
j Im[ z ]
环状
交集
Rx2 <Rx1
没有收敛域 有收敛域
Re[ z ]
RR R >R x2x2 x1x1
【例】 解
x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
n
n
n n a z
a 1 z 1 X ( z) 1 1 a z 1 az 1
za
x(n) a u(n)
n
1 z X ( z ) (az ) , 1 1 az za n 0
1 n
| z | ＞| a |
两者Z变换的函数表达式一样，但收敛域却不相同，对应 的原序列也不同
n n n1 n 0
（1）
（2）
（1）有限长序列，设n1≤－1，其收敛域为0≤|z|<∞。 （2）因果序列， 收敛域为Rx－<|z|≤∞（圆外）。
交 集
Rx－<|z|<∞
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n1 n
(1) (1) n1<0n1<0
n2=∞ n2=∞
右边序列
左边序列
x(n) n n1 x(n) n n1 0 n n2 n n2
0 |z| ,
x(n) x ( n ) n为其他值 0 n1 0,n2 0
n2 0
|z| , 收敛域： 0
Rx | z |
0 | z | Rx n2 0, 0 | z | Rx
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n z
z x(n)=anu(n) anu(n 1) 1
线性叠加后，序列的z变换收敛域扩大 到全平面。
（2）时域平移性
ROC保持不变
双边Z
若x(n) X ( z)
双边Z变换
则x(n m) z X ( z)
双边Z
m
（3）Z域微分性质
Z 若 x(n) X ( z)
1
a n z n
n 1
X(z)存在要求|a－1|＜1，即收敛域为|z|＜|a|, 因此
a 1 z 1 X ( z) , | z | a 1 1 1 a z 1 az
圆内
4． 双边序列
双边序列
X ( z)
1
= （左序列）+（右序列）
n
x(n) z n X1 ( z ) X 2 ( z )
n n
1 1 az 1
圆外
在收敛域中必须满足|az－1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。
x(n)=
x(n) n<=n2 0 n>n2
3． 左序列
左序列是指在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2 时，序列值全为零的序列。
n2
X ( z)
n
x ( n) z n
(1)n1=-∞
零次幂 零次幂 负次幂
0≤|z|<∞ 0<|z|<∞
• n1≥0, n2>0时，负次幂
零次幂
0<|z|≤∞
【例】 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
解
N 1 n0
X ( z)
因果 &
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
有限长序列 零次幂
正确地确定收敛域是很重要
序列特性对收敛域的影响
1． 有限长序列 2． 右边序列 3． 左边序列 4． 双边序列 [n1 [n1 ~ ~ n2] 有限项 ∞] n2]
[-∞ ~
[右边序列+左边序列 ]
1． 有限长序列
如序列x(n)满足下式：
x(n) n1 n n2 x ( n) 其它 0
FT:
X (e j ) FT[ x(n)]
n
x(n)e jn
ZT:
X ( z)
n
x ( n) z n
X (e ) X ( z) |z e j
单位圆上的 ZT就是其 FT。
j
单位圆
如果单位圆上的ZT不存在，则FT也不存在
零点和极点
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：
Z变换为：
X ( z ) x(n) z
n n1
n2
n
有限项 求和
收敛域？？ 几乎整个z平面均收敛（考虑0和∞ ）。
X ( z)
n
x ( n) z
n
n
x ( n) z n
收敛约束
Z的正次幂
Z的零次幂
Z的负次幂
Z不能等于0
Z不能等于无穷大
• n1<0, n2≤0时，正次幂 • n1<0, n2>0时，正次幂
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
R来自百度文库C
z || a | x(n) anu(n| )
X ( z)
n
a
|n| n
z
=
n=-¥
åa
-1
-n -n
z + åa z
n=0
¥
n -n
= åa z + åan z-n
n n n=1 n=0
¥
¥
第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a|－1;
第二部分收敛域为|az－1|<1, 得到|z|>|a|。
如果|a|<1, 两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|－1, 其Z变换如下式: