不变量思想的应用(最新)3

不变量思想的应用

作者：龙武强周洁丹

【摘要】数学观念的合理融合有时给某个分支的研究提供了有力的工具。例如不变量这种重要思想，若是有合理的契机使之融合到几何、代数和其他领域之后将产生大量很好的结果。

不变量思想在数学的各个领域中，几乎是无处不在。除此之外，也渗透到科学文化的其它领域，恰当地应用不变量，可以使很多问题明朗化，这正是本文所要说明的内容。

【关键词】不变量空间解析几何射影几何矩阵论周易

【正文】

一．引言

数学上某个深刻观念的有效应用将导致数学的进步。哲学的思辩是处理各种观念的一个重要方式和途径.但是哲学上的东西在数学上不一定有用,因为哲学的抽象毕竟把很多东西暂时放开然后获得更多的研究和思考拓展的空间。一个观念从具体的例子中抽象出来，上升到一定的哲学高度，再回到具体的例子之中，即一个从特例到抽象思想再到具体应用的过程，这样理论就可能从这里得到进展，而对于解决问题而言，也有了更多更好的工具。对于数学对象的大量深入研究之后若发现某个之前貌似不相关联的观念却是有用的，将导致研究工具的革新的进步。不变量思想是其中一种，虽然抽象却因此而可能蕴涵更多深刻广泛的应用。不变量是数学中很深刻的一个观念，从认识论的角度看，事物无止息的变动而没有变化中的某种不变的东西，认识事物是没法做到的，寻求变动中的不变就是人们认识事物的开端，也是一种共性。但是作为数学上有效的解决问题的途径,我们更应该关注在由哲学理清观念之后具体的数学上的实现,即更具体的数学应用.这也就是哲学与数学的区别所在吧,哲学上认识的方式是概念,而数学更强调概念的展开和在事例中的应用。下面来具体看一些不变量在数学中具体应用的例子。

二．不变量思想在几何中的应用

德国数学家克莱因把群论的观念融合到几何中，根据变换群的思想，深刻的揭示了几何学研究的特征，即著名的Erlangen纲领。其主要思想是每种几何联系一个变换群，相应的几何就是研究在这个特定变换群下空间和图形的不变性质。

设给出一个集合S ，如果在它上面给出某种几何学的构造时，则S 称为空间。给出S 和它的一个变换群G ，对于S 的两个子集（称为图形），存在群中的一个变换把一个图形变成另外一个，则这两个子集是等价的，等价的图形在变换群的意义下不加区分，因为它们具有相同的性质，而几何学的任务就是研究在一类变换下的图形的不变性质和寻找不变量，这也就是几何学的变换观点。

Erlangen 纲领不但综合了几何学的看法，而且更提供了几何学的研究题材，对此后半个世纪的几何学研究有重大的指导意义，直到Riemann 几何学的研究成为二十实际几何研究的主流，Klein 的几何观点才需要加以修正。

几何上有两种重要的方向，一个是公理系统的方法，一个是上面提到的源于Erlangen 纲领变换群的概念。对比这两种思想可以看到，公理的提出就是对于命题系统做出了限制，其实也可以看作是对于变换的限定，在这些限定之下保持的几何性质其实可以归结为不变量，从另一个角度说以不变量作为出发点可以推导出相当多的性质。不变量思想的重要意义就在于有了这么一个概念，我们对于正在做的工作就有了一个比较宏观的清楚的认识。

提出一个概念有相当的难度，要做到这一点，其实也就是代表着认识的一定程度，概念就是这种认识或者数学家的想法的综合概括和体现。将不变量的思想引入几何，就深刻揭示几何研究的一个重要特性，几何研究也就有了新的思路和方向。我们知道，二十世纪对于数学基础的研究得到的一个重大突破是认识到公理系统中总存在一个既不能证明又不能否证的命题，问题是在不变量的系统下，这个矛盾又会怎么体现？数学家华罗庚说数缺形时少直观，形缺数时难入微，把几何性质归结为不变量，就开启了用系统的代数工具研究几何的重要方向，由此看来就可以凭借代数工具获得对更加精细的几何性质的研究和认识。这方面的具体结果是很多的，下面看几个具体的例子。

首先是两个空间解析几何的结果：

定理1 在平面上引入直角坐标系，则对任一二次曲线a x ＋2a x x ＋a x ＋2a x ＋2a x ＋a ＝0，存在一个正交点变换（即作用一系列平移，旋转和反射），把它变成如下九种标准形式中的一种：

（i ）椭圆 122

222121=+a x a x ;（ii ）虚椭圆 ;0122

222121=++a x a x

;0iii ;0ix ;0viii ;02vii ;0vi ;01v ;0iv 212222122122

2221212222212122222121==+=-=-=-=--=+x a x a x px x a x a x a x a x a x a x ）两条重合的直线（）两条相互平行的直线（）两条相互平行的直线（）抛物线（）两条相交的直线（）双曲线（）点圆（

定理2 在空间引入直角坐标系，则对任一二次曲面 一定存在一个正交点变换，把它化成下列十七种标准形式种的一种 ：

;02viii ;02vii ;0vi ;01)v ;0123

2322222121iv ;

03

2

3222121iii ;01323222121ii ;01323222121)322

222121222222121232322222121232322222121=--=-+=-+=+-+=--+=++=+++=-++x a x a x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x i ）双叶抛物面（）椭圆抛物面（）二次锥面（双叶双曲面（）单叶双曲面（）原点（）虚椭球面（椭球面;

0xvii ;0xvi ;0xv ;02xiv ;0xiii ;01xii ;0xi 212121212122122

22212122

22212122222121==+=-=-=-=--=+x a x a x px x a x a x a x a x a x a x ）一对重合平面（）零柱面（）一对平行平面（）抛物柱面（）一对相交的平面（）双曲柱面（）退化为一条直线（以上两个

定理体现了不变量在分类上的应用，物以类聚，而能够聚合在一起必然会有某些共同之处。但是找出了这个共同的集合不等于完成了认识过程，此时的集合还是一个大杂烩，如何获得更细致的认识，不变量是一个重要的线索，现在的数学有时会以寻找系统的全系不变量作为目标，因为这些不变量一旦找出来，那么集合内的元素也就得到的细致的刻画，我们对于它的性质有了一个比较好的了解，正如上面的两个定理，同是二次方程所表示的曲线或曲面，那么了解在一般情形下区分它们无疑是一个重要方面，上面的曲线分类可以通过寻找不变量来完成。有更深入的结果是，这些不变量之中只有几个是基本的，其他都可以由此而推导出来。这是一个很有力的工具，曲线的很大部分性质可以由不变量刻画出很大一部分。我们可以尝试从不变量出发像公理体系那样看能够得到多少曲线性质的描述。 例如上面的结果是通过三个不变量和一个半不变量来完成分类的, 22111a a I +=，22121211

2a a a a I =，c b b b a a b a a I 2122212112113=，c b b a c b b a K 2222

11111+=其中前三个是在旋转和平移下都

保持不变的，第四个通常只在旋转下保持不变。