(文章)圆中的三角函数题解题策略
巧用单位圆解决三角函数问题的思考
例 ３ 如 图 ３ 所 示 ， 若 ０ ＜ ＜ ＜ 号， 通 过 计 算 比 较
ｓ ｉ ｎ ｏ ￣ 一 与ｓ ｉ 一 两个 值 的大 小．
识， 可 以使 问题 化难 为易 ， 化 繁为 简 ， 思 路清 晰 ， 方 法 明确． 因此， 本文重新认识 单位 圆， 重点探 究其 在新课 程三 角 函数
为边 长是 １的等边三角形 ， 所 以Ａ Ｂ＝１ ． 评析 常规方法较烦 琐 ， 若数形结
图 １
大值和最小值． 接着 ， 由图 ４易
／
合， 看 到 题 目 中 的 两 点 ， Ｂ ． 马上 可联
想到 ， Ｂ点为单位 圆 ＋ Ｙ ＝１上位于第一象 限的两点 ， 利
用 单 位 圆 知 识 加 以求 解 ．
解题 技巧 与方 法
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数 题
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三、 比较 大 小
秀
◎王永玲 （ 南京 市第九中学， 江 苏 南京
【 摘 要】 在高 中数 学教学 中， 利 用单 位 圆定义 任意 角 的
三角 函数， 提高 了单位 圆、 三 角 函数 线 的地 位 ， 借助 单位 圆
１
【 关键词 】 单位 圆； 三角 函数 ； 应用方法
直 角 坐标 系 中 的 单 位 圆 是 研 究 三 角 函 数 的 重 要 工 具 ．
得 出 弓形 Ａ Ｂ Ｃ的面 积 为 ÷ （ 一
ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ） ， 设为 Ｓ ； 弓形 Ａ Ｃ Ｄ 的 面 积 为
１
初中数学中常见的三角函数问题解题技巧
初中数学中常见的三角函数问题解题技巧三角函数是初中数学中的重要内容之一。
对于许多学生来说，解三角函数问题可能会感到困惑。
本文将介绍一些常见的三角函数问题解题技巧，帮助初中学生更好地理解和解决这类问题。
一、如何确定三角函数的正负性在解决三角函数问题之前，我们首先需要确定给定角度的正负性。
为此，我们可以利用圆的象限来帮助我们快速判断。
以单位圆为例，将其分为四个象限，如下图所示：```（图略）```对于象限 I 中的角度，正弦和余弦函数的值都是正数；对于象限 II 中的角度，正弦函数的值是正数，余弦函数的值是负数；对于象限 III 中的角度，正弦和余弦函数的值都是负数；对于象限 IV 中的角度，正弦函数的值是负数，余弦函数的值是正数。
同样的，我们可以根据象限来确定正切函数和余切函数的正负性。
在象限 I 和 III 中，正切函数的值是正数，余切函数的值是负数；在象限 II 和 IV 中，正切函数的值是负数，余切函数的值是正数。
二、如何转换三角函数的值有时候，我们需要在不同角度之间进行三角函数的相互转换。
下面是一些常见的转换方式：1. 根据定义关系转换：正弦函数和余弦函数的值满足以下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
根据这个关系，我们可以计算出任意角度的正弦和余弦函数的值。
2. 利用诱导公式转换：诱导公式可以帮助我们在已知一个角度的三角函数值时，求解其他角度的三角函数值。
例如，已知sinθ 的值，我们可以利用诱导公式sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB 来求解sin(θ + π/6) 的值。
3. 利用对称性转换：三角函数具有一些特殊的对称性质。
例如，sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ，tan(-θ) = -tanθ。
利用这些对称性，我们可以快速计算出三角函数值之间的转换关系。
三、如何应用反三角函数反三角函数是用来解决由三角函数求解角度的问题。
初中数学中的三角函数解题技巧详解
初中数学中的三角函数解题技巧详解三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个学科中，尤其在初中数学中更是频繁出现。
解题是数学学习中的核心内容，所以掌握三角函数解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将详细介绍初中数学中的三角函数解题技巧，帮助学生更好地应对数学考试。
1. 弧度制与角度制的转换在解题过程中，有时候我们会遇到弧度制和角度制之间的转换。
为了方便计算，学生需要掌握两者之间的转换关系。
弧度制中，一个圆的周长是2π，即360度。
因此，1弧度约等于57.3度。
当题目给出的是角度制，而我们需要使用弧度制时，可以用角度乘以π/180来进行转换；相反，如果题目给出的是弧度制，而我们需要用角度表示时，可以用弧度乘以180/π进行转换。
2. 正弦、余弦、正切的性质应用在解三角函数题目时，学生需要熟练掌握正弦、余弦和正切的基本性质，并能应用到具体的解题过程中。
例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于某一锐角，正弦等于对边与斜边的比值。
学生可以通过画图的方式来帮助自己理解问题，并利用正弦函数的性质快速求解。
3. 三角函数的基本关系式在解题过程中，三角函数的基本关系式是学生经常用到的工具。
学生需要掌握正弦、余弦和正切的基本关系式，以及它们之间的相互关系。
例如，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，而余弦函数等于1除以正弦函数的倒数。
熟练掌握这些基本关系式能够提高解题效率，避免一些乘除运算的繁琐计算。
4. 解直角三角形的方法直角三角形是三角函数的基础，学生需要熟练掌握解直角三角形的方法。
在解题过程中，学生可以利用勾股定理和三角函数的性质来求解三角形的各边长和角度。
例如，已知一个锐角和斜边长度，可以利用正弦函数或余弦函数来求解其他两边的长度。
5. 合理运用三角函数的性质在解题过程中，学生需要善于利用三角函数的性质，这样可以简化计算，提高解题速度。
例如，对于一些特殊角度（如30度、45度、60度等），学生应该熟记其正弦、余弦和正切函数值，这样在解题过程中可以快速得到答案。
数学三角函数题的解题技巧与方法
数学三角函数题的解题技巧与方法数学是一门需要不断探索和思考的学科，而解题是数学学习中的重要环节。
其中，三角函数题是数学中的一类常见题型，对于学生来说，掌握解题技巧和方法是非常关键的。
本文将从几个方面介绍数学三角函数题的解题技巧与方法。
一、了解基本概念在解题之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
对于每个函数，我们需要知道其定义域、值域、周期、对称性等基本性质。
只有了解了这些基本概念，才能更好地理解和解题。
二、运用基本恒等式在解三角函数题时，运用基本恒等式是非常重要的。
常见的基本恒等式有正弦函数的和差化积公式、余弦函数的和差化积公式、正切函数的和差化积公式等。
通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子转化为简单的形式，从而更方便地进行计算和求解。
三、利用特殊角的性质特殊角是指能够通过计算得到精确值的角度，如30°、45°、60°等。
在解题时，我们可以利用特殊角的性质来简化计算过程。
例如，对于正弦函数和余弦函数，我们可以利用30°、45°、60°角的值来计算其他角度上的函数值。
而对于正切函数，我们可以利用45°角的值来计算其他角度上的函数值。
通过利用特殊角的性质，我们可以减少计算的复杂性，提高解题效率。
四、运用三角函数的图像特点三角函数的图像特点对于解题也是非常有帮助的。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，它的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。
余弦函数的图像也是一条连续的曲线，它的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。
而正切函数的图像则是一条有无数个渐近线的曲线，它的周期为π。
通过了解这些图像特点，我们可以更好地理解三角函数的性质，从而更好地解题。
五、结合实际问题进行建模在解三角函数题时，有时候会涉及到实际问题，我们需要将问题进行建模，然后利用三角函数来解决。
例如，在解决航空导航问题时，我们可以利用三角函数来计算飞机的航向和航速。
妙用单位圆求解三角函数问题
y x3 4 5 6 781 2 yxOPB R Q A妙用单位圆求解三角函数问题陕西 刘大鸣 梁杰引入单位圆中的三角函数线，为解决三角中的缩小角的范围、解或证明三角不等式、推导三角公式、求值及研究方程根的问题等提供了有利的工具.正确使用单位圆、坐标轴和象限角平分线，将直角坐标平面分为八个区域，简称“八卦”（如图）.各卦所在区上三角函数单调性和媒介值已知，利用三角函数线和八卦图可简捷的找到三角问题的解题思路.一用单位圆缩小角的范围。
如何缩小角的范围呢？凡是看到角和三角函数值，马上将角的终边纳入“八卦图”中缩小角的范围.例1（94高考）已知()π∈=+,x ,x cos x sin 051，则x cot简析：若用单位圆和三角函数线及“八卦图”，注意填空题的特征，借助八卦图取特殊值使问题简单.由三角函数线和“八卦图”及()π∈=+,x ,x cos x sin 051知，⎪⎭⎫⎝⎛ππ∈432,x ，取5354-==x cos ,x sin ，则43-=x cot .二 妙用单位圆证明三角公式。
例2 求证()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+. 简证：如图β=∠α=∠B O P ,A O B ，作OB PQ ⊥于Q ，OA PM⊥于M，OA QN ⊥于N ，MP QG ⊥，易证α=∠=∠AOB QPM ，由三角函数线定义有()ααβαsin cos cos QP OQ GQ ON OM -=-==+βαβαsin sin cos cos -=.即()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+. 三 妙用单位圆解三角不等式。
例3 若x x 22cos sin >，求x 的范围.简析:x x x x cos sin cos sin 22>⇔>在八卦图中满足条件的x 的终边落在2、3、6、7卦限内，并在一起的解集为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,,43,4ππππ四 用单位圆证明三角不等式。
巧用三角函数求解与圆相关的最值问题
2013-12课堂内外求解与圆相关的最值问题是平面几何中的常见问题，常常需要利用基本不等式线性规划等解决，这个时候基本上要面临两个变量的问题。
而圆又与角息息相关，如果找到合适的角，利用三角函数强大的变形力量有时会为我们带来意想不到的效果。
一、关于内接图形的面积最值问题1.圆的内接矩形问题例1.如图所示，半径为R 的☉O 的内接矩形为ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值。
分析：圆的内接矩形并不是固定的，但是其对角线一定经过圆心，所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。
解：设∠ABD=φ，φ∈（0，π2）则AD =2R sin φ，AB =2R cos φ∴S ABCD =AB ·BD =2R 2sin2φ，φ∈（0，π2）∴φ=π4时，S ABCD 取到最大值为2R 22.推广至半圆的内接矩形问题变式1.如图所示，半径为R 的半圆O 的内接矩形为ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值。
分析：要使内接矩形面积最大，不妨以B 为原始动点，它从半圆的弧的右端点开始运动到弧的中点。
而B点的这个运动过程我们可以用OB 与OA 所成的角刻画，角度从0变到π2。
故设∠AOB=θ，且θ为锐角，半圆的半径为R ，则S 矩形ABCD =AB ·DA=R sin θ·2R cos θ=R 2sin2θ所以，当θ=45°时,矩形ABCD 的面积取得最大值R 2。
3.再推广至扇形的内接矩形例2.如图，求圆心角为60°，半径为1的扇形AOB 内接矩形PQMN 面积的最大值。
分析：如图所示，矩形PQMN 内接于扇形AOB ，把M 点作为原始动点，设∠MOA =θ，则MQ =sin θ，PQ =OQ -OP =cos θ-NP tan π3cos θ-3√3sin θ，所以S 矩形PQMN =MQ ·PQ =sin θ（cos θ-3√3sin θ）=12sin2θ-3√31-cos2θ2=3√3sin （2θ+π6）-3√6所以当θ=π6时，S 矩形P QMN 取到最大值3√6。
利用单位圆解三角函数
利用单位圆解三角函数
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
而利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。
什么是单位圆？单位圆是指半径为1的圆，它的圆心在坐标系的原点上。
在单位圆上，我们可以定义三角函数的值。
以正弦函数为例，对于一个角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
这样，我们就可以把三角函数的值与角度联系起来。
利用单位圆解三角函数的好处在于，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。
例如，我们知道正弦函数的值域在[-1,1]之间，但是为什么会这样呢？如果我们画出单位圆，就可以看到，对于任意一个角度θ，sinθ的值都在-1和1之间，因为点P的纵坐标在-1和1之间。
利用单位圆解三角函数还可以帮助我们求解三角函数的值。
例如，如果要求sin(π/4)的值，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标和纵坐标都是√2/2，因此sin(π/4)=√2/2。
除了正弦函数，余弦函数、正切函数等三角函数也可以利用单位圆来解析。
例如，对于余弦函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sin(π/2-θ)，因此cosθ=sin(π/2-
θ)。
同样地，对于正切函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为1/tanθ，纵坐标为1，因此tanθ=sinθ/cosθ。
利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。
通过画出单位圆，我们可以更好地理解三角函数的性质，同时也可以帮助我们求解三角函数的值。
用单位圆解三角函数不等式
用单位圆解三角函数不等式三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们与极坐标系统有着莫大的联系，不仅在几何中有着广泛的应用，在代数学和微积分学也有着重要的作用。
此外，三角函数也会出现在许多各种类型的不等式当中，而这些不等式的解法通常会涉及到单位圆的概念。
因此，本文主要探讨的便是对于三角函数不等式如何使用单位圆来解决，也就是说，如何将单位圆概念与三角函数不等式联系起来。
首先，我们先来看看单位圆的概念，单位圆也称为圆心，是指以原点为中心，半径为1的圆，单位圆上的点可以用(x,y)的坐标来表示，其中x和y都为实数并且满足关系式x^2+y^2＝1。
之后，我们来研究三角函数的关系，其中的角的余弦、正弦和正切也称为三角函数，它们有一些关于x和y的非线性关系，我们具体来看：1．余弦函数：y = cosx2．正弦函数：y = sinx3．正切函数：y = tanx这三个函数之间的关系是这样的：cosx＝sinx/tanx我们知道，圆的半径满足关系式r^2＝x^2+y^2，当我们将这个公式代入余弦函数中，可以得出：r^2＝cos^2x＋sinx^2我们可以证明，当x=0时， r^2=1当x=π/2时， r^2=1所以，当我们让x的值从0变到π/2的时候，它总是在单位圆上面，也就是说，它的取值范围总是在-1到1之间，并且是满足三角函数的。
而三角函数也涉及到不等式，其中最常见的不等式为：|sin x |<a|cos x |<a|tan x |<a其中a可以是任意正数。
我们知道单位圆上的点满足 x^2+y^2＝1，且当x值从0到π/2时候，它的y也是在-11 之间。
因此，为了让三角函数不等式满足，我们只需要让a的取值满足a<1可。
我们可以将取值范围写为-1≤y≤1， -a＜y＜a，也就是说，只要y值在-aa 之间，就可以满足三角函数的不等式。
因此，我们可以看到，三角函数的不等式可以通过单位圆来解决，只要把圆心设置为原点，便可以确定半径为1单位圆，从而确定取值范围。
高中数学三角函数求解技巧
高中数学三角函数求解技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，对于学生来说，掌握三角函数的求解技巧是非常关键的。
本文将通过具体的例题，分析和说明高中数学中常见的三角函数求解技巧，并给出一些解题的指导建议。
一、解三角函数方程解三角函数方程是高中数学中的常见考点，常见的方程类型包括正弦函数、余弦函数和正切函数的方程。
下面我们通过具体的例题来说明解题的技巧。
例题1：解方程sin(x) = 1/2，其中x∈[0, 2π]。
解法：首先，我们需要确定sin(x) = 1/2的解在给定区间内的个数。
根据单位圆上的正弦函数值的特点，我们知道在第一象限和第二象限中，sin(x) = 1/2的解分别是π/6和5π/6。
因此，方程sin(x) = 1/2的解在给定区间内有两个。
接下来，我们需要确定这两个解的具体取值。
根据sin函数的周期性，我们知道在给定区间内，sin函数的解有无数个。
所以，我们需要找到一个特解，然后根据sin函数的周期性确定其他解。
在给定区间内，sin(x) = 1/2的特解是π/6。
根据sin函数的周期性，我们知道在给定区间内，sin(x) = 1/2的其他解是特解加上2π的整数倍。
因此，方程sin(x) =1/2的解在给定区间内是π/6 + 2πn和5π/6 + 2πn，其中n为整数。
例题2：解方程cos(2x) = sin(x)，其中x∈[0, 2π]。
解法：首先，我们可以将cos(2x)和sin(x)用sin和cos的公式进行转化。
根据sin和cos的和差化积公式，我们有cos(2x) = 2cos^2(x) - 1和sin(x) = 2sin(x)cos(x)。
将方程cos(2x) = sin(x)转化为2cos^2(x) - 1 = 2sin(x)cos(x)。
接下来，我们可以将方程转化为一个关于cos(x)的二次方程。
令t = cos(x)，则方程变为2t^2 - 1 = 2t√(1 - t^2)。
三角函数的应用与解题策略
三角函数的应用与解题策略三角函数是数学中一种重要的函数类型，广泛应用于各种实际问题的解决和数学计算中。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并阐述其在解题过程中的应用和解题策略。
一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)，其中x为角度。
1. 正弦函数sin(x)：在单位圆中，以原点为中心，长度为1的线段与x轴正半轴之间的夹角的角度值。
2. 余弦函数cos(x)：在单位圆中，以原点为中心，长度为1的线段与x轴正半轴之间的夹角的角度值的余弦值。
3. 正切函数tan(x)：在单位圆中，以原点为中心，长度为1的线段与x轴正半轴之间的夹角的角度值的正切值。
三角函数具有一些基本性质，例如周期性、奇偶性和界值性等。
这些性质决定了三角函数在解题中的灵活应用和解题策略。
二、三角函数的应用1. 几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用，例如求解三角形的面积和边长等问题。
通过三角函数，我们可以根据已知条件计算出未知角度或边长的值，从而解决几何问题。
2. 物理应用三角函数在物理学中也具有重要的应用价值。
例如，在力学中，运动学和静力学问题中，通过三角函数可以计算出物体在各种受力情况下的位移、速度、加速度等物理量的数值，从而解决实际物理问题。
3. 工程应用在工程领域中，三角函数的应用十分广泛。
例如，在测量、建筑和导航等方面，通过三角函数可以准确计算出距离、高度、角度等数值，为工程设计和实施提供量化依据。
三、三角函数的解题策略在解决与三角函数相关的问题时，我们可以采用以下解题策略：1. 规范化角度常见的角度单位有度（°）和弧度（rad）。
在解题过程中，我们需要对角度进行规范化，将其转化为统一的单位，从而方便计算和比较。
2. 利用基本三角函数性质通过运用三角函数的基本性质，例如周期性、奇偶性、界值性等，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，利用正弦函数的周期性，可以将大角度问题转化为小角度问题进行求解。
三角函数题的技巧
三角函数题的技巧三角函数题是高中数学中的重要内容，也是数学分析、物理学、工程学等学科中的基础知识。
掌握三角函数题的解题技巧，对于学生来说是至关重要的。
在本文中，我将为大家详细介绍三角函数题的解题思路和技巧。
首先，我们需要了解三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，考虑一个单位圆，对于一个圆上任意一点P(x, y)，定义其对应的三角函数sinθ = y，cosθ = x，其中θ是点P与x轴正方向之间的夹角。
只考虑θ在0到2π之间的解，我们可以得到一组三角函数值的表格。
为了简化计算，人们通常使用一些特殊角的三角函数值。
例如，我们可以通过利用等腰直角三角形性质，计算出部分特殊角的三角函数值。
第一组特殊角是 0°、30°、45°、60°、90°。
这些角的三角函数值可以由三角函数定义、单位圆和等腰直角三角形的性质得到。
例如，sin0°=0，sin30°=1/2，sin45°=1/√2，sin60°=√3/2，sin90°=1。
同样地，可以计算出这些角对应的余弦值、正切值等。
第二组特殊角是副角。
我们知道，对于一个三角函数f(θ)，如果f(θ)=f(θ+2kπ)，其中k是整数，那么θ+2kπ被称为f(θ)的副角。
例如，sin(π/6)=1/2，那么sin(π/6+2kπ)=1/2，其中k是整数。
利用这个性质，我们可以通过副角的三角函数值，得到其他角度的三角函数值。
在解三角函数题时，我们还需要注意一些重要的性质。
首先是三角函数的周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
因此，当我们需要计算某个角的三角函数值时，可以利用周期性简化计算。
其次，还需要注意三角函数的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
利用奇偶性，我们可以简化某些三角函数的计算。
中考数学三角函数解题策略
三角函数题解题策略解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。
圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例1、如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=BC=1，那么sin∠ABD的值是．评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形例2、如图2，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么CDAB等于A．sinα B．COSα C．tanα D．1tanα评注：直径所对的圆周角是直角。
由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。
三、用切线与半径的关系构造直角三角形例3、如图3，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH AC⊥于点H．若2OH=，12AB=，13BO=．求：（1）⊙O的半径；（2）sin OAC∠的值；（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。
借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。
四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例4、如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。
以BC交A B于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值。
评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.（2013武汉中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是⋂AB的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：APAC3=；（2）如图②，若2524sin=∠BPC，求PAB∠tan的值．B 第22题图①第22题图②图4例1.。
求解三角函数问题的几大思路
求解三角函数问题的几大思路
解决三角函数问题，一般有四种主要的思路：圆周定理、正切表、三角函数公式和图形化求解法。
其中，圆周定理是求解三角函数问题的最基本方法，可以用它求出所有三角函数的值，它的表达式是：sinA+sinB+sinC=4sin(A/2)cos(B/2)cos(C/2)。
因此，基于圆周定理求解三角函数问题，需要仔细检测题中提供的三角形度数，然后依据圆周定理求出每个角的正切值，再根据正切表求出对应的三角函数值。
正切表也是常用的方法，它是一张展示三角函数值的表格，可用于快速求解三角函数的值。
它主要包含半角正切，百分数正切以及一圈的角度，因此可以直接查阅正切表定位角度下的三角函数值，这是最常用的一种求解三角函数的方法。
另外，三角函数公式也可以作为解决三角函数问题的策略，它的主要做法是：先根据给出的三角形的边长，利用勾股定理求出一组角度，然后根据每个角度和正弦定理与余弦定理，求出三角函数的值。
最后，图形化求解法也是一种求解三角函数的策略，它的做法是：观察给定三角形的位置，然后分别在三角形的三个内角中对应画出正弦曲线、余弦曲线和余切曲线，最后从曲线图中选择合适的点，结合曲线的函数公式，就可以求得三角函数的值。
因此，以上四种思路是求解三角函数问题的常用方法，用户可以根据自身情况，灵活选择合适的求解方法求解三角函数。
需要指出的是，无论采取哪种求解策略，必须清楚熟悉求解过程，才能熟练解决三角函数问题。
三角函数答题技巧
在解答三角函数相关的问题时，掌握一些基本的技巧可以帮助你更快更准确地得到答案。
以下是一些三角函数答题技巧：
1. 熟悉基本公式：确保你熟悉所有基本的三角恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化积公式等。
2. 化简表达式：在解题前，先将给定的三角函数表达式化简到最简形式，这有助于简化计算。
3. 使用诱导公式：当遇到角度不是标准角度时，可以使用诱导公式将其转换为标准角度。
4. 利用图形辅助：在处理复杂问题时，可以画出一个简单的三角函数图形来辅助理解问题。
5. 注意象限和符号：在计算三角函数值时，要特别注意角度所在的象限以及三角函数的符号。
6. 识别特殊角度：对于0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度，要熟悉它们的三角函数值。
7. 使用计算器：在允许的情况下，可以使用计算器来计算复杂的三角函数值，但要注意精度。
8. 检查答案：完成计算后，要检查答案是否合理，例如，一个正弦值不可能大于1。
9. 理解题目要求：仔细阅读题目，确保理解题目的要求，不要答非所问。
10. 规范答题：在答题时，要保持解答过程的条理性和规范性，这有助于阅卷老师理解你的思路。
11. 避免常见错误：在解答过程中，要避免常见的错误，如计算失误、公式使用错误等。
通过练习和不断的复习，你可以更好地掌握这些技巧，并在考试中灵活运用。
用单位圆解决三角函数的思路
决三 角函 数。上 题 中是 解 三 角 函数 中最 常 见 的 问 题 之
求解范 围， 通 常我们在 面对这 一问题 时， 都会想到应 用数形结合的方法 ， 这样既 直观又 不容 易出错 。但 是从 另 方 面来说 ， 大多数 同学对于这 类问题 只会 想到引进 坐标 ， 实际上除 了坐标法之外 ， 还 有单位 圆这一“ 工具” 。利 用单 位 圆 自身的特性 ， 不仅 能用线段 简单的表 达 出三角函数 ， 还 可以利 用线段之 间的关 系来使 问题得到进 一步的简化 。总 之， 把三 角函数放入带有 坐标的单位 圆之 中， 很容 易看 出各 个 象 限之 间 的 正 负关 系。 三、 证明不等式 通过 图形在 单位 圆之 间的角度 关 系与线 条关 系， 以及 构成 图 形 的 面 积 关 系 ， 可相 互 转 化 求 解 三 角 函数 问题 。 例３ ： 如上图所 示 ， 已知 Ａ Ｂ与 单位 圆相 切 ， 且 垂 直 于
ｏＤ￥ ０ ｃ ∞ ０ ｃ ０ ｃ
丝 ０Ｃ ＞ ０ Ｂ
：
０ Ｂ
＝ （ 、 一） ， ） ｃ … ｏ ｓ 一
题时 ， 可以拖鱼单位 圆线条之 间的特殊性 ， 以及单位 圆在坐
标 中的 特 殊 位 置 来 解 决 问题 。
１
例 ２： 已知 Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／ ＋ｓ ｉ ｎ （ ￣＝÷ ， 且 ０＜ ＜７ ／ ＂ ， 求２ 的 ｊ
用单位 圆解决三 角函数 的思路
文／ 尹志 豪 摘要 ： 本文将通过几种不 同类型例题 的具体解析来说 现在解决三角 函数 问题 时， 单位圆所起的辅助作用， 以期为读者
解决 三角 函数 问题提供经验参考 。 关键词 ： 三角函数 单位 圆 解题思路 数形结合 ．
高中数学中的三角函数解题技巧
高中数学中的三角函数解题技巧在高中数学学习中，三角函数是一个重要的概念，它在解决各种几何和代数问题中起到了关键的作用。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的三角函数解题技巧。
一、角度与弧度的转换在解决三角函数问题时，角度与弧度之间的转换是必不可少的。
通常情况下，我们使用角度度量来表示角度，但是在计算三角函数的值时，通常使用弧度度量。
角度与弧度的转换关系可以通过以下公式得到：弧度 = 角度× (π / 180)角度 = 弧度× (180 / π)当我们给出角度时，可以通过将该角度与公式相乘得到对应的弧度值，进而计算三角函数的值。
同样地，已知弧度时也可以按照公式相除得到对应的角度值。
二、特殊角的三角函数值在解决三角函数问题时，我们常常会遇到一些特殊角，这些特殊角的三角函数值是已知的，可以直接使用而无需通过计算得到。
比如，在单位圆上，我们可以通过简单的几何推导得到以下特殊角的三角函数值：- 0度、90度、180度和270度的正弦值、余弦值和正切值分别为0、1、-1和无穷大；- 30度、45度和60度的正弦值、余弦值和正切值分别为1/2、√2/2、√3/2和√3等。
掌握这些特殊角的三角函数值能够大大简化解题过程，提高解题效率。
三、和差角公式的应用和差角公式是解决三角函数问题中常用的技巧之一。
它能够将一些复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而便于计算。
正弦函数的和差角公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB余弦函数的和差角公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB正切函数的和差角公式为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)利用和差角公式，我们可以将一个角度为A的三角函数表达式转化为一个或两个角度小于A的简单形式，然后再计算其三角函数的值。
巧用单位圆求解三角函数问题
2020年第6期(上)中学数学研究41巧用单位圆求解三角函数问题广东省中山市中山纪念中学(528454)李文东三角函数的定义来自于单位圆,利用单位圆的定义法来研究三角函数,以及单位圆中的三角函数线与单位圆的定义的联系,使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的性质,如经典的不等式:当α∈(0,π2)时,sin α<α<tan α以及两角差的余弦公式的证明都用到了单位圆.在三角函数中会经常遇到一些涉及已知三角函数值求角,求三角函数值,比较三角函数值的大小及其证明的问题,有时我们可以利用单位圆数形结合的思想去思考、分析和判断,往往能达到出奇制胜的效果,下面举例说明.一、巧用单位圆求值例1已知2sin α+cos α=−√5,则tan α=.解点A (cos α,sin α)可看作直线l :x +2y +√5=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l 的距离为d =√5√12+22=1,故直线l 与圆相切.从而tan α=k OA =−1k l=2.变式若方程sin x +2cos x =√102(−π2<x <π2)的两根为α,β,则tan α·tan β=.解点A (cos x,sin x )可看作直线l :2x +y −√102=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l的距离为d =√102√12+22=√22,故直线l 与圆相交.由题意两交点分别为图1P (cos α,sin α),Q (cos β,sin β),结合距离可知此时OP ⊥OQ .于是tan α·tan β=k OP ·k OQ =−1.评注借助单位圆,我们还可以分别求出tan α,tan β,如图1,作OM ⊥l 于点M ,记直线OM 的倾斜角为θ,则tan θ=k OM =12,于是tan α=k OP =tan (θ+π4)=1+tan θ1−tan θ=3,tan β=k OQ =tan (θ−π4)=tan θ−1tan θ+1=−13.例2已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求cos 2α+cos 2β+cos 2γ的值.解点A (cos α,sin α)、B (cos β,sin β)、C (cos γ,sin γ)均在单位圆上,由条件可知∆ABC 的重心坐标y =13(sin α+sin β+sin γ)=0,x =13(cos α+cos β+cos γ)=0,而其外心也为原点,即重心与外心重合,故∆ABC 为正三角形.于是α=β−2π3+2kπ,γ=β+2π3+2kπ,k ∈Z 从而cos 2α+cos 2β+cos 2γ=cos 2(β−2π3+2kπ)+cos 2β+cos 2(β+2π3+2kπ)=cos 2(β−2π3)+cos 2β+cos 2(β+2π3)=12(1+cos (2β−4π3)+1+cos 2β+1+cos (2β+4π3))=12(3+cos 2β−cos (2β−π3)−cos (2β+π3))=32.二、巧用单位圆证明三角恒等式例3已知cos 4αcos 2β+sin 4αsin 2β=1,求证:cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.证明由已知条件可知点A (cos 2αcos β,sin 2αsin β)在x 2+y 2=1上,记x 0=cos 2αcos β,y 0=sin 2αsin β,则x 0cos β+y 0sin β=1,又单位圆x 2+y 2=1在点A 处的切线l的方程为x 0x +y 0y =1,可见它过点B (cos β,sin β),故A,B 两点重合,于是cos 2αcos β=cos β,sin 2αsin β=sin β.因为cos 2α=cos 2β,且sin 2α=sin 2β,所以cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.例4已知锐角α,β为方程a cos x +b sin x =c (a=0,c=0)的两不等实根,求证:cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.证明由已知,点M (cos α,sin α),N (cos β,sin β)(α<β)可看作图2直线l :ax +by −c =0与单位圆x 2+y 2=1的两个交点,42中学数学研究2020年第6期(上)如图2,过原点O 作OP ⊥MN 于点P ,原点O 到直线l 的距离|OP |=c √a 2+b 2,在Rt ∆OP N 中,∠P ON =α−β2,则cos α−β2=c √a 2+b 2,于是cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.三、巧用单位圆求三角函数的最值例5求函数y =sin xcos x −2的值域.解令P (cos x,sin x ),Q (2,0),则sin x cos x −2=k P Q ,如图3,当过Q 点的直线与单位圆相切时的斜率便是函数y =sin xcos x −2的最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线图3的斜率分别为−√33、√33.结合图形可知,函数的值域是[−√33,√33].例6(2018年高考全国I 卷第16题)求函数f (x )=2sin x +sin 2x 的最值.解显然f (x )为奇函数,故只需求出f (x )的最大值即可.又f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x ),记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则2m (1+n )=t ⇒n =12·tm−1,于是原题等价于在单图4位圆m 2+n 2=1条件下求目标函数n =12·t m−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,如图4,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有−12·t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=12·t m 0−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 20√1−m 20,化简得:m 20(4m 20−3)=0,因为m 0>0,从而m 0=√32,此时t =2m 30√1−m 20=3√32,即f (x )max =3√32,利用f (x )为奇函数知f (x )min =−3√32.点评此题作为2018年高考全国卷I 的填空压轴题,一般是利用导数求最值.这里我们利用单位圆求解,此法很容易推广到如下的一般情形:求函数f (x )=sin x (a +cos x )的最大值t .(1)当a 0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=√4−a 2+a √a 2+88,最大值为(4−a 2+a √a 2+8)328√4+a 2−a √a 2+8;(2)当a <0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=−√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=−√4−a 2−a √a 2+88,最大值为(4−a 2−a √a 2+8)328√4+a 2+a √a 2+8.例7求函数f (x )=sin x +12sin 2x +25cos x 的最大值.解f (x )=sin x +sin x cos x +25cos x =(sin x +25)(1+cos x )−25记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则(m +25)(1+n )−25=t ⇒n =t +25m +25−1,于是原题等价于在单位圆m 2+n 2=1下求目标函数n =t +25m +25−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有 −t +25(m 0+25)2=−m 0√1−m 20,n 0=t +25m 0+25−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 0(m 0+25)√1−m 20,化简得:100m 30+40m 20−71m 0−20=0,即(5m 0−4)(20m 20+24m 0+5)=0,因为0<m 0 1,从而m 0=45,此时t =m 0(m 0+25)2√1−m 20−25=3825,即f (x )max =3825.评注利用单位圆思想,此法很容易推广到下面的一般情形:函数f (x )=sin x cos x +a sin x +b cos x=(sin x +b )(cos x +a )−ab,2020年第6期(上)中学数学研究43非等差等比数列常见模型问题的探究南京外国语学校仙林分校(210023)高斌摘要数列是刻画离散现象的数学模型,在学习等差等比数列的基础上,分析非等差等比数列问题,探究常见模型,通过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程,经过反思、交流,多角度解决数列通项、前n 项和、单调性和最值等问题,总结常用方法,形成模型巧解模块.培养学生观察、分析、探索、归纳的能力,体会特殊到一般,一般到特殊的思想方法,保证了高效课堂,体现了数学核心素养.关键词非等差等比数列;通项;前n 项和;单调性;最值;模型巧解教材中建立等差数列和等比数列两种特殊的数列模型,教学过程中,通过归纳法、叠(累)加法、逐差法和迭代法等基础方法推导等差数列的通项公式,通过倒序相加法和首末求和法推导等差数列的前n 项和公式,通过归纳法、叠(累)乘法和迭代法推导等比数列的通项公式,通过错位相减法、等比定理法推导等比数列的前n 项和公式,根据学生分层教学情况,还可以介绍拆项法、乘法运算公式法和方程法推导等比数列的前n 项和公式.实际上遇到更多的是非等差等比数列,对于此类问题的常见模型做一些探究和方法总结,学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义.一、对于非等差等比数列,求其通项例1(1)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+3n (n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n ;解法1由题意知:a n −a n −1=3n ,a n −1−a n −2=3n −1,···,a 2−a 1=32,叠加得:当n 2时,a n −a 1=3n+3n −1+···+32=3n +1−92所以a n =3n +1−72,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.解法2当n 2时,迭代得:a n =a n −1+3n =a n −2+3n −1+3n =···=a 1+32+33+···+3n −1+3n=3n +1−72当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.(2)已知数列{a n }中,a 1=1,na n=(n −1)a n −1(n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n .解法1由题意知:a n a n −1=n −1n ,a n −1a n −2=n −2n −1,···,a 2a 1=12,叠乘得:当n 2时,a n a 1=a n a n −1·a n −1a n −2·····a 2a 1=n −1n ·n −2n −1·····12=1n,所以a n =1n ,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法2由题意知:a n =n −1na n −1,当n 2时,迭代得:a n =n −1n a n −1=n −1n ·n −2n −1·a n −2=···=n −1n ·n −2n −1·····12·a 1=1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法3由题意知:na n =(n −1)a n −1,则a 2=12a 1=12,若将n ·a n 视为整体,则当n 2时,2·a 2,3·a 3,···,n ·a n ,···构成一个常数列,所以n ·a n =2·a 2=1,即a n =1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.的最大值为t ,这里只讨论a 0,b 0的情形.它由下面的方程组确定:−t +ab (m 0+b )2=−m 0√1−m 20,n 0=t +ab m 0+b −a,n 0=√1−m 20,化简得(2m 20+bm 0−1)2=a (1−m 20)(0<m 0<1),此时t =m 0(m 0+b )2√1−m 20−ab .从以上问题我们看到,利用单位圆求解三角函数问题有时会给我们带来意想不到的效果,在平时的教学中,我们要引领学生从不同的角度去观察问题,这样不仅能拓展学生的思维,还能取得很好的教学效果.。
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圆中的三角函数题解题策略
解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。
圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例1(成都市)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
22AC =，BC =1，那么sin ∠ABD 的值是 ．
评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例2(烟台市)如图2，已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC
相交于点P ，若∠DPB =α，那么CD
AB
等于
A ．sinα
B ．COSα
C ．tanα
D ．
1
tan α
评注：直径所对的圆周角是直角。
由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。
三、用切线与半径的关系构造直角三角形
例3(金华市) 如图4，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =． 求：（1）⊙O 的半径； （2）sin OAC ∠的值；
（3）弦AC 的长（结果保留两个有效数字）．
评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。
借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。
四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形 例4(武汉市)如图4，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
以BC 为直径作⊙O 交A B 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。
评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.
图3
A
H
C O
B
图
B
D C
E F G O
图4A
C
B D
O
图1。