(文章)圆中的三角函数题解题策略

圆中的三角函数题解题策略

解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：

一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

例1(成都市)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，

22AC =，BC =1，那么sin ∠ABD 的值是 ．

评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。

二、用直径与所对圆周角构造直角三角形

例2(烟台市)如图2，已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC

相交于点P ，若∠DPB =α，那么CD

AB

等于

A ．sinα

B ．COSα

C ．tanα

D ．

1

tan α

评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。

三、用切线与半径的关系构造直角三角形

例3(金华市) 如图4，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =． 求：（1）⊙O 的半径； （2）sin OAC ∠的值；

（3）弦AC 的长（结果保留两个有效数字）．

评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。

四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形 例4(武汉市)如图4，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以BC 为直径作⊙O 交A B 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 (1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。

评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.

图3

A

H

C O

B

图

B

D C

E F G O

图4A

C

B D

O

图1