材料力学第四章弯曲内力

F=qa
q
Cx
M
A
aFFsAy
2a
B
FBy
2.分段列剪力方程和弯矩方程
CA段:
Fy 0
Fs( x) qa
Mx 0
M( x) qax
(0 x a) (0 x a)
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F=qa
q
C AB段 :
xA a FAy
M
F2sa
弯曲内力/弯曲的概念和实例
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如： T形梁 工形梁 矩形梁 圆截面梁
材料力学
弯曲内力/弯曲的概念和实例
F
q
概 念 图 解
梁弯曲后的轴线
M 横截面对称轴 轴线
纵向对称面
纵向对称面：通过梁轴线和截面对称轴的平面。
平面对称弯曲：梁所受外力和弯曲后的轴线都在纵向
材料力学
P=2KN
A
FM
E
1m
1m
C
2m FBy
B
D
Fs
1m 1m
FAy
（4）求B右截面上的内力
Fy 0
MB右 0
材料力学
FSB右=4KN M= － 5KNm
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8KN .m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
B
1m 1m
FAy
2m FBy 1m
F D
1m
（5） B左右截面内力的关系
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
以控思控制考制截：截面面指为外分力界规线律，发将生梁变进化行的分截段面，
各例段如一单集般独中情列力况剪、下力集梁方中横程力截和偶面弯的上矩作的方用剪程点力。、和分弯布矩 随载截荷面的的起位点置和而终变点化对，应在的解横题截的面时。候，如 何对梁进行分段？
FBy
FSB右 FSB左 FBy
FS
M
FS
M
M B右 M B左 FBy 0
M 材料力学
B左
B左 B右 B
弯曲内力/剪力和弯矩
FBy FS
M
FS
M 结论
B左 B右 B
在集中力作用处的截面两侧，剪 力有突变，而弯矩没有变化。
材料力学
练习三：一外伸梁受力如图，分析D左截面和D 右截面上内力的相互关系。
弯曲内力/剪力和弯矩
2.求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
q
M
Fy 0
A
FAy
a
C Fs FS q 2a FAy 0
Fs qa
MC 0
M（ 逆 ） 2qa a（ 逆 ） M（1 顺 ） FAy 2a（ 顺 ） 0
M 2qa2
对称面上。
二. 弯曲实例 杠 铃 横 杠
材料力学
起 重 机 横 梁
材料力学
材料力学
弯曲内力/受弯杆件的简化
§4.2 受弯杆件的简化
材料力学
一.受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为
了便于分析计算，应对受弯杆件进行必要的简化， 抽象出计算简图。
1.构件本身的简化 2.载荷的简化 3.支座的简化
F M0
C a/2 D A a
q
B 2a
材料力学
结论
在集中力偶作用处的截面两侧，弯 矩有突变，而剪力没有变化。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
完成课本118页例4.1
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§4.4 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一个约束，两个自由度
材料力学
（3）固定端
材料力学
XA A MA YA 三个约束，无自由度
弯曲内力/受弯杆件的简化
二.静定梁的基本形式
静定梁： 支座反力可由静力平衡方程完全求出。
静定梁分类：
简支梁
外伸梁
悬臂梁
材料力学
弯曲内力/受弯杆件的简化
（a）简支梁
（b）外伸梁
（c）悬臂梁
材料力学
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
材料力学
二. 弯曲内力的计算练习
练习一：简支梁受力如图，试求C截面（跨中截 面）上的内力。
M1 2qa2
q
M2 2qa2
A
B
C
a
a
4a
材料力学
A F Ay
M1 2qa2
q
C a
4a
M2 2qa2
B
a
FBy
1.根据平衡条件求支座反力
材料力学
MA 0 MB 0
FBy 3qa FAy qa
的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯
矩图。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
1.根据平衡条件求支座反力
F=qa
q
C
A
a FAy
B
2a
FBy
材料力学
MA 0 MB 0
FBy

1 qa 2
5
FAy

qa 2
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
(4) 列平衡
F(y) 0 FS ( x) P 0 FS ( x) P (a x 2a)
Mo 0 M( x)(逆) m(顺) P(x a)(逆) 0
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
Fs qa
M2 2qa2
B
a
FBy
MC 0
M（ 顺 ） 2qa a（ 顺 ） M（2 顺 ） FBy 2a（ 逆 ） 0
M 2qa2
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩 2、求指定横截面上的剪力和弯矩
M0 8KN .m
A E
P=2KN
q=2K（N/m2）求C截面上的内力
M
F
C
B
D
1m
1m
Fs
2m
FBy
1m
1m
FAy
Fy 0
FSC(↓) + q×1(↓) －FAy(↑) =0
FSC=1KN
MC 0
M(逆) +q×1×0.5 (逆) +Mo(逆) -FAy×2 (顺) =0
一.剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩 随截面的位置而变化。（如图）
M0 8KN .m
A E
q=2KN/m
B
P=2KN
F D
1m
3m
1m 1m
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数， 即
FS=FS(x) M=M(x)
称为剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力/剪力和弯矩
总结：截面法求内力的注意事项
1.切一刀： 按指定截面和指定要求切； 2.取一段： 取简单的一段； 3.加内力： 内力（必须）为正方向； 4.列平衡： 平衡方程中的正负号。
材料力学
练习二： 一外伸梁受力如图所示，试求 （1）C截面上的内力；
（2）B左和B右截面上的内力；
（3）分析B左和B右截面上内力的相互关系。
利用控制截面分段
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
练习：利用控制截面法将梁进行分段
M0 8KN .m
A E
1m
F Ay
q=2KN/m
B
3m
FBy
1m
P=2KN
F D
1m
5个控制截面，将梁分为４段．
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图
用图示的方法表示剪力和弯矩沿轴线的变化情况。
材料力学
1.构件本身的简化
通常取梁的轴线代替梁。
材料力学
2.载荷的简化
通常将载荷简 化为集中载荷 和均布载荷。
F1
F2
材料力学
桥面板作用在钢梁的力
均布载荷（设载荷为F，长度为L）：
q=F/L
q为单位长度内的载荷，称为载荷集度。
材料力学
3.支座的简化 （1）固定铰支座
两个约束，一个自由度
（2）可动铰支座
为使同一位置处两侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号，根据梁 的变形来规定内力的符号。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
剪力FS 符号规定：
Fs
Fs
规定产生顺时针转动效果的剪力为正，反之为负。 概括为“左上右下，剪力为正”。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
弯矩M 符号规定：
压 拉
使梁弯曲呈下凸的弯矩为正，反之则为负。 概括为“左顺时针右逆时针，弯矩为正”。
第四章 弯曲内力
弯曲内力/弯曲的概念和实例
§4.1 弯曲的概念和实例
材料力学
弯曲内力/弯曲的概念和实例
一. 弯曲的概念
Me
F2
q
F5
F1
F3
F4 F6
轴线
弯曲：杆件受到垂直于杆轴线的外力即横向力或 受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线 由直线弯成曲线。
以弯曲为主要变形的杆件称之为梁。
材料力学
m=Pa
P
A
B
C
a
a
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
1.列出梁的剪力方程和弯矩方程 不同截面上的内力是不同的，因此，先利
用控制截面法将梁进行分段．
m=Pa
P
A
B
C
a
a
材料力学
求AB段的剪力和弯矩： y m=Pa P
(1) 切一刀 (2) 取一段
m=Pa
o
A
M
x
B
C x
a
a
x
(3) 加内力
材料力学
M= － 3KNm
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8KN .m
q=2KN/m
P=2KN
A
MF
E百度文库
1m
1m
C
B
D
2m
FBy
Fs
1m
1m
FAy
（3）求B左截面上的内力
Fy 0
MB左 0
材料力学
FSB左=－3KN M= － 5KNm
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8KN .m
q=2KN/m
M0 8KN .m
q=2KN/m
A
E
C
B
1m 1m
2m
1m
材料力学
P=2KN
F D
1m
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8KN .m
q=2KN/m
A
E
C
B
FBy
FAy 1m
1m
2m
1m
P=2KN
F D
1m
1.根据平衡条件求支座反力
MA 0
FBy 7KN
MB 0
材料力学
FAy 3KN
剪力 Fs——使截面不产生移动 弯矩M ——使截面不产生转动
Fs Fb L
Mo 0
FAy x（顺） M（逆） 0 A
Fb
F Ay
M FAy x L x
m
oM
x
Fs
m
注：弯曲时横截面上的内力 既包括剪力又包括弯矩。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
思考： 如截取m-m截面右段梁， 则内力方向有何改变？
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
B
C
a
a
(0 x a)
Fs
BC段：
x
FS ( x) P (a x 2a)
-P
Fs 图
M Pa
M 2Pa - Px (a x 2a)
材料力学
M图
x
3.求FSmax和Mmax m=Pa P
FS max P
A
B
C
a
a
（在BC段的各横截面上）Fs
M Pa max M
（在AB段的各横截面上）
材料力学
x
-P
Fs 图
Pa
M图
x
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
注意：
1. 在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。
B
FBy
Fy 0 FS ( x) q( x a) FAy qa 0
FS(x) 5 qa qx
(a x 3a)
Mx 0
2
M( x)(逆) q( x a) (x - a) (逆) FAy(x a)(顺) qax(逆) 0
2
M(x) qax 5 qa( x a) 1 q( x a)2 (a x 3a)
材料力学
2
2
F=qa
C
A
a
q 2a
3 qa 2
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
Fs
(4) 列平衡
F(y) 0 FS ( x) 0 (0 x a)
Mo 0 M( x（) 逆） m（顺） 0
材料力学
M Pa
(0 x a)
求BC段的剪力和弯矩：
y m=Pa
P
(1) 切一刀
m=Pa P
(2) 取一段
x (3) 加内力
A
oM
Fs
xB
C x
a
a
2. 剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，F S(x)应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。
3. 若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。
材料力学
练习二：外伸简支梁受力如图所示。试列出梁