《材料力学》第六章-弯曲变形

wmax
-
Fb 9
l2 - b2 3EIl
当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
l2
x1
0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
3－
Fbx2 6l
l 2－b2
(4)求最大挠度。
令
w1 1 0
Fb 2l
x1
2
-
Fb 6l
l2
- b2
0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wmax
-
Fb 9
l2 - b2 3EIl
若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 - b2 3
解 Δd=2wmax
用积分法求解wmax
(1)列出弯矩方程式
M(x) P(l－x)
(2)建立挠曲线近似微分方程
EIw EI M Pl－x
(3)积分。 EI EIw Plx－ 1 Px2＋C
2
EIw 1 Plx2－ 1 Px3＋Cx D
2
6
当ｘ=０时，θ=０ ，w=０ 得
Ｃ=０，Ｄ=０
1 EI
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
46
(3)确定积分常数C和D
EIw ql x3－ q x4 Cx D 12 24
x=0时，w=0；x=l时，w=0代入以上两式得 C － ql3 , D 0
转角方程及挠曲线方程为
24
EI ql x2－ q x3 ql3
4 6 24
EIw ql x3－ q x4 ql3 x 12 24 24
中间铰)上，转角为零。 即θ=0，并有wmax ； (4) θmax和wmax指的是绝对值最大的转角和挠度。
2.用叠加法借助查表求弯曲变形时的注意点 (1)勿舍简就繁； (2)根据题给情况作物理量的代换，不能照搬公式； (3)当题给载荷与表中反向时，表中给出的转角、挠度均应
取相反的符号； (4)当挠曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适用范
FS传递于支座B,不引起变形。 （1）求截面B的转角
在弯矩M作用下，由表6.1（6）
B M
Ml 3EI
F1al 3EI
在F2作用下，由表6.1（8）
B F2
F2l 2 16 EI
B
B
M
B
F2
F1al 3EI
F2l 2 16 EI
也是外伸梁在截面B的转角
（b）求截面C的挠度：
C点的挠度为转角 B 引起的挠度和F1作用下的挠度之和。
第六章 弯曲变形
第六章 弯曲变形
基本要求: 1.掌握挠曲线近似微分方程； 2.会应用积分法、叠加法计算梁的变形及弯曲刚度 计算； 3.熟悉提高弯曲刚度的措施。 重点: 积分法、叠加法计算梁的变形及弯曲刚度 难点： 叠加法计算梁的变形及弯曲刚度。 课时： 4学时
第六章 弯曲变形
§6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加法求弯曲变形 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施
二、边界条件和连续性条件
1.边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的。
固定端
铰支座
2.连续性条件： （1）当弯矩方程需要分段建立时，各段的挠度、转角方 程将不同，但在相邻梁段的交接处，挠曲线应该是一条连续 光滑曲线，不应有图6.7 a和b所示的不连续和不光滑的情况。 即在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。
轴线由原来的直线变成一条光滑曲 线。这条曲线叫梁的挠曲线。
对于平面弯曲，挠曲线是一条位
θ
O
θC w
F x
于纵向对称平面内的平面曲线。
x
梁变形后，梁的任一截面的形心C沿与原轴线垂直的方向相
对于原来的位置产生了一个线位移。这个位移就叫做该点的挠
度（w），常用单位为cm或mm。
梁的任一横截面相对于原来的位置绕中性轴旋转了一个角度。
2
解：可将梁分为两段，用积分法。现用叠加法。
查表6.1（9），微分载荷dF=qdx引起的挠度为
dwC
dF x 48EI
3l 2
4x2
qx 48EI
3l 2 4x2 dx
则跨度中点C的挠度为
wC
q 48EI
b x 3l 2 4x2 dx
0
qb2 3 l 2 b2
挠曲线的斜率为：
tg dw
dx
tg
对于小变形情形，转角θ的值很小
dw 反映了挠度和转角之间的关系
dx
我们知道了挠曲线方程式， 对x求一次导数，就可以得到转 角方程式。因此，研究梁的变 形问题的关键就是建立挠曲线 方程式。
§6.2 挠曲线近似微分方程
上一章中，得出梁的 任一微段曲率公式：
从微分学知，曲线w=f(x) 上任一点处的曲率公式：
挠曲线微分方程
说明： 1. 适用范围：虎克定律使用的弹性范围 且当变形很小；可略去剪切变形的影响。 2.挠曲线近似微分方程，其结果虽然是 近似的，但对于大多数工程实际问题来说 是能够满足其精度要求的。
挠曲线近似微分方程
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w M x
EI
积分
挠曲线近似微分方程
解 (1)分段列出弯矩方程式M(x)。
支反力 AC段
FRA＝
Fb l
FRB＝
Fa l
CB段
（0≤x1≤a）
M
x1
＝
Fb l
x1
（a≤x2≤l）
M
x2
＝
Fb l
x2
wk.baidu.com
-
F
x2
-
a
（2）代人挠曲线近似微分方程式，并积CB分；
AC段
段
E
I
w1＝
Fb l
x1
EIw2
＝
Fb l
x2
-
Fx2
-
a
EI1
Fb x 12 2l
工件长度的增加，其加工精度将明显降低，甚至很难加工， 因此，卡盘夹紧法常用来加工短粗工件，对于细长工件，需 利用尾架顶尖或中间直接安装中心架等方法，以减小工件变 形，保证加工精度。
例6.2 内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可简化成在集中力F作 用下的简支梁，如图6.10所示。试讨论这一简支梁的弯曲变形。
C1
E I 2
Fbx22－ F
2l
2
x2－a2＋C2
EIw1
Fb 6l
x
1
3
C1
x1
D1
EIw2
Fbx23－ F
6l
6
x2－a3＋C2 x2＋D2
（3）确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；
边界条件: 当ｘ1=０时，w1=０； 当ｘ２=l时，w２=０ 连续条件:当ｘ1=ｘ２=ａ时，θ1=θ２ ，w1=w２
得
C1
C2
－ Fb 6l
l 2－b2
D1＝D2＝0
将其代入，得转角和挠度方程式为：
EI1
Fbx12－ Fb
2l
6l
l 2－b 2
EI2
Fbx22－ F
2l
2
x2－a
2
－
Fb 6l
l 2－b2
EIw1
Fb x13－ Fbx1
6l
6l
l 2－b2
EIw2
Fbx23－ F
6l
6
x2－a
48EI 2
几点应注意的问题：
1.θmax和wmax所在位置的判断、对称性的利用 (1)悬臂梁受同向的横向载荷作用时，或横向载荷和集中力
偶对固定端之矩具有相同符号时，θmax和wmax总出现在自由端； (2)简支梁的θmax总出现在左、右支座截面处，wmax根据求函
数极值的原理，总出现在θ=0的截面处； (3) 对称结构受对称载荷作用时，在对称截面(该截面处不装
例6.4 图示简支梁，承受均布载荷ｑ和集中力F的作用，试求梁
中点C的挠度(EI为常数)。
解 首先把作用在粱上的载荷系分解为只有均布载荷q作用 和 只有集中力P作用两种情形。
从表 6.1(10)、(8)查得：
5ql 4
wq
384 EI
(↓)
wF
- Fl 3 48EI
(↓)
总挠度为：
w
wq
wF
- 5ql 4 384 EI
围，不能随意取一个。
§6.6 提高弯曲刚度的一些措施
影响梁弯曲变形的各种因素： (1)梁的几何尺寸(惯性矩I和梁长L)， (2)材料的弹性模量, (3)梁的支承和载荷情况。
各类钢材的弹性模量E变化不大，当承载能 力主要受刚度条件限制时采用高强度优质钢是 不恰当的。
提高弯曲刚度的措施
• 一、改善结构形式—减小弯矩 • 二、选择合理的截面—增大惯性矩 • 三、超静定梁 • 四、预加反弯度
-
Fl 3 48EI
例6.5 车床主轴可简化成图示外伸梁。F1为切削力，F2为齿轮传 动力。若把外伸梁作为等截面梁，求截面B的转角和端点C的挠度。
解：设想沿截面B将外伸梁 分成两部分。AB部分为简支 梁(图c)，梁上除集中力F2外， 在截面B上还有剪力FS和弯矩
M，且FS= F1，M= F1a。剪力
以ｘl=0.5l代入w1得:
wl 2
- Fb 48EI
3l 2－4b2
例6.3 桥式起重机的大梁和建筑中的梁都可简化成简支梁，梁的 自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。
解：(1)列出弯矩方程式
M＝ qlx － qx2 22
(2)建立挠曲线近似微分方程式,积分。
EI ql x 2－ q x3 C
（2）中间铰处，挠曲线是连续而不光滑的，即铰两恻的梁， 在中间铰处挠度相等，但转角不相等。
例6.1 图(a)为车床上用三爪夹紧工件进行切削的示意图。图(b)
为其计算简图。若车刀作用于工件上的力P=360N，工件直径 d=1.5cm，长度l=7.5cm，工件材料的弹性模量E=200GPa，试 问由于工件弯曲变形而产生的最大直径误差是多少?
这个角位移叫做该截面的转角(θ) ，常用单位为rad。
挠度w和转角θ的正负号与所选的坐标系有关，在图示所选坐
标系中，规定挠度w与坐标的正向一致者为正，反之为负。转 角θ规定以逆时针转者为正，反之为负。
二、挠曲线方程和转角方程
挠度w与转角θ是坐标x的函数：
w=f(x) 挠曲线方程式
θ=f’(x) 转角方程
一、改善结构形式—减小弯矩
1.减小弯矩
皮带轮采用卸荷装置： 皮带拉力经滚动轴承 传给箱体，它对传动 轴不再引起弯矩
铸件进行人工时效时，图a比图 b的堆放方式合理。因为按前一 种方式堆放时，铸件内的弯矩 较小，弯曲变形也就小。
2.改变载荷施加方式和支座位置
• 1.改变载荷施加方式。将集中力改为分散在两处施 加或均布到全梁可提高梁的强度，并可减小变形， 提高刚度。
由于梁的挠曲线近似微分方程式是线性微分方程 式，梁截面的剪力、弯矩、转角和挠度都是载荷的线 性函数。因此可用叠加法计算梁的变形。即，由载荷 系引起的挠度曲线就等于由各载荷单独作用时所引起 的挠度曲线的迭加。
运用叠加法，可以求出载荷共同作用下的挠度和转角。 其步骤如下:
1.求出各载荷单独作用时的变形； 2.求其代数和 。
(4)确定最大挠度和转角
x=l/2时，w’=θ=0,
5ql 4
f max
w xl 2
384 EI
max
A
B
ql 3 24 EI
说明：因为梁结构对称，挠曲线在跨度中点对 称。因此，该点处出现挠度的最大值。
§6.4 用叠加法求弯曲变形
当梁上作用有各种不同的载荷时，M(x)就有比较 多的项，若继续采用积分法计算梁的变形，其计算过 程就比较繁琐，为此，在工程中常采用叠加法。
Plx－ 1
2
Px 2
Plx 2EI
2 -
x l
(5)确定最大挠度
w 1 1 Plx2－ 1 Px3 Plx2 3 - x
EI 2
6 6EI l
工作的最大挠度发生在自由端。 ｘ=l时
wmax
Pl3 3EI
360 7.53
3 20106
1.54
＝0.0102cm
64
wmax 工3PEL件I3 长度增d 至 22wL，max工件2的 直0.0径1误02差将0.增02加048c倍m。 即随着
w
1 EI
M xdx C
积分
转角方程
w
1 EI
M xdx Cx D
挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
B 引起的挠度
wC1
a B
F1a 2l 3EI
F2al 2 16 EI
F1作用下的挠度：把BC部分为悬臂梁(图d)，由表6.1（2）得
wC 2
F1a 3 3EI
wC
wC1
wC2
F1a 2 3EI
a l
F2al 2 16 EI
例6.6 在简支梁的一部分上作用均布载荷(图6.13)。试求 跨度中点的挠度。设 b l