零输入响应和零状态响应

四．线性时不变系统概念的扩展
r(k ) (0− ) ≠， 0 常系数线性微分方程，起始状态不为0 ①常系数线性微分方程，起始状态不为0，即
则系统 i)不满足线性 i)不满足线性 {x(0 {x(0-)}≠ 0
e2 (t)
r2 (t) = rzs2 (t) + rzi (t)
{x(0 ≠ {x(0-)} 0
电感的等效电路
电容器的等效电路
iC (t ) C
+
vC (t )
−
vC (0− ) ≠ 0, t ≥ 0
1 0− 1 t 1 t vc (t ) = ∫ ic (τ )dτ = ∫−∞ ic (τ )dτ ∫0 ic (τ )dτ C C − C −∞ 1 t t ≥0 = vc (0− ) + ∫ ic (τ )dτ 0− C 电路等效为起始状态为零的电容器与电压源 vc (0− )u(t )的 串联
是一种齐次解形式， 故 rzi (t) 是一种齐次解形式，即rzi (t) =
Azikeαkt ∑
k =1
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其中， 为互不相等的n个系统特征根。 其中，α1,α2......αn 为互不相等的n个系统特征根。 ( ( rzik ) (0+ ) = rzik ) (0− ) = r(k ) (0− ) 初始条件： ③初始条件： 确定即可！ 即齐次解 rzi (t)的待定系数用r(k ) (0− ) 确定即可！
i′(0+) = 10A/s
d 2i di + +i = 0 e 当t≥0+时， (t) = 20V ，故 2 dt dt d 2i di <t<+ ∞时，(t) = 10 +10u(t)故 2 + + i = 10δ (t) ③当- ∞ e
1 di d 2i di d ② ∫ idt + L + Ri = e(t) ⇒ 2 + + i = e(t) C dt dt dt dt
e1(t)
r (t) = rzs1(t) + rzi (t) 1
e1(t) + e2 (t)
r3 (t) = rzs1(t) + rzs2 (t) + rzi (t) ≠ r (t) + r2 (t) 1
{x(0 )}0 {x(0-)}0
≠0
ii)不满足时不变特性 ii)不满足时不变特性 e1(t) →r (t) = rzs (t) + rzi (t) ⇒e1(t −t0 ) →r2 (t) = rzs (t −t0 ) + rzi (t) 1 ≠ r3 (t −t0 ) = rzs (t −t0 ) + rzi (t −t0 ) iii)不满足因果性 有零输入分量存在， 不满足因果性： iii)不满足因果性：有零输入分量存在，响应变化不 可能只发生在激励变化之后 故按第一章的定义， ②故按第一章的定义，常系数线性微分方程所描述的 系统只有在起始状态为0的条件下， 系统只有在起始状态为0的条件下，系统才是线性时不 变的，而且是因果的。 变的，而且是因果的。 ③线性时不变系统概念扩展 i)响应的可分解性 r 响应的可分解性： i)响应的可分解性：(t) = rzi (t) + rzs (t) r(k ) (0− ) = 0 ⇒ rzs (t) 对e(t)呈线性； ii)零状态线性 零状态线性： ii)零状态线性： e(t)呈线性 呈线性； iii)零输入线性 (t 零输入线性： iii)零输入线性：) = 0 ⇒ rzi (t) 对各起始状态呈线性关系。 e 对各起始状态呈线性关系。
③初始条件： 初始条件： 由于r(k ) (0 ) = 0 ，
zs (k ) zs −
k =1
( r (0+ ) − rzsk ) (0− ) = r(k ) (0+ ) − r(k ) (0− )=跳变值
故 r(k ) (0
zs
+
) =跳变值，即系数 Azsk由跳变值确定。 跳变值， 由跳变值确定。
零输入、 一、零输入、零状态响应
1．概念的引出 ①上节课：完全响应=自由响应+强迫响应， 上节课：完全响应=自由响应+强迫响应， 其中自由响应待定系数由冲激函数匹配法求出 ②本节讲另一种求法：完全响应=零输入响应+零状态响应 本节讲另一种求法：完全响应=零输入响应+ [例1]：已知电容起始电压vc(0-)，求vc(t) (t>0) 1]：已知电容起始电压v R + + + e(t) vc(0-_ vc(t) ) _
τ 1 t RC ⇒e vc ( t ) − vc ( 0− ) = ∫0− e e(τ ) dτ ⇒ RC −t −1 1 t RC(t −τ ) vc ( t ) = eRC vc ( 0− ) + ∫0− e e(τ ) dτ RC
t RC
零输入 只与起始状态有关
零状态 只与输入有关， 只与输入有关，卷积形式
i)零输入 零输入： ④ i)零输入：特征根为 − 1 ± j 3 ，故可设 1 2 2 − t 3 3 2 izi (t) = e ( Azi1 cos t + Azi2 sin t) 2 2 i′ 由 i(0− ) = 0A，(0− ) = 0A/s 可知 Azi1 = 0 Azi2 = 0，即 izi (t) = 0 ， i ii)零状态 零状态： ii)零状态：t≥0+特解p (t) = 0，故可设 −t 3 3 2 izs (t) = e ( Azs1 cos + Azs2 sin ) 2 2 由 izs (0+ ) = i(0+ ) − i(0− ) = 0 izs (0+ ) = i′(0+ ) − i′(0− ) = 10 ′ t 20 −2 3 20 可得 A = 0 A = e sin tu(t) 故 rzs (t) = zs1 zs2 2 3 3 t iii)完全响应 iii)完全响应 − 20 3
(1)自由响应： 也叫固有响应，由系统本身特性决定的， (1)自由响应： 也叫固有响应，由系统本身特性决定的， 自由响应 和外加激励形式无关。对应于齐次解。 和外加激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中 暂态响应： (2)暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内， 暂时出现的有关成分，随着时间t增加 它将消失。 增加， 暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 稳态响应： 响应分量。 响应分量。 (3)零输入响应 没有外加激励信号的作用， 零输入响应： (3)零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状 起始时刻系统储能）所产生的响应。 态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（ 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状 态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 ），由系统的外加激励信号产生的响应 态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
[例2]：已知电路图，求 2]：已知电路图， ① i(0− ), i′(0− ), i(0+ ), i′(0+ ) ； ②写出t≥0+的微分方程； 写出t≥0 的微分方程； 的微分方程， 写出③写出- ∞<t<+ ∞的微分方程，求 i(0− ), i′(0− ), i(0+ ), i′(0+ ) 的完全响应，指出零输入响应和零状态响应。 ④求t≥0+的完全响应，指出零输入响应和零状态响应。
③
e(t)
H[.] H[.] {x(0-)}
r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]
2．零输入响应的定义与待定系数确定 ①定义：没有外加激励信号作用，完全由起始状态所产生 定义：没有外加激励信号作用， 的响应， 的响应， rzi (t) = H[{x(0− )} 即
dn d 满足方程： ②满足方程：c0 n rzi (t) + ... + cn−1 rzi (t) + cnrzi (t) = 0 dt dt
3．零状态响应的定义与待定系数确定 ①定义：起始状态为0，只由激励产生的响应rzs (t) = H[e(t)] 定义：起始状态为0 ②满足方程： 满足方程：
dn d dm c0 n rzs (t) + ....... + cn−1 rzs (t) + cn rzs (t) = E0 m c(t) + ..... + Em dt dt dt n 故 rzs (t) 含特解rp (t) 即 rzs (t) = ∑Azskeαkt + rp (t) ，
C
_
t t t d 1 1 d 1 RC 1 RC 解： v ( t ) + v ( t ) = e( t ) ⇒eRC vc ( t ) + e vc ( t ) = e e( t ) c c dt RC RC dt RC RC t t τ τ t d t 1 RC d RC 1 RC RC ⇒ e vc ( t ) = e e( t ) ⇒ ∫ e e(τ ) dτ e vc (τ ) dτ = ∫0− 0− d dt τ RC RC
r(t) = rzi (t) + rzs (t) =
3
e 2 sin
2
tu(t)
二．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 即可以将原始储能看作是激励源。 电容器的等效电路
外加激励源 系统的完全响应 共同作用的结果 可以看作 起始状态等效激励源 零状态响应” 系统的完全响应 = 零输入响应 + “零状态响应 零状态响应 线性系统具有叠加性) (线性系统具有叠加性)
§ 2.4 零输入响应和零状态响应
• 主要内容
•零输入、零状态响应 零输入、 零输入 •系统起始状态与激励源等效转换 系统起始状态与激励源等效转换 •系统响应的划分 系统响应的划分 •线性时不变系统概念的扩展 线性时不变系统概念的扩展
• 重点：零输入响应与零状态响应 重点： • 难点：系统起始状态与激励源等效转换 难点：
思考题
• 1. 什么是零输入响应和零状态响应？ 什么是零输入响应和零状态响应？ • 2. 系统的响应可以划分为几类？它们分别 系统的响应可以划分为几类？ 是什么？ 是什么？
iC (t ) C
vC(0− ) −
+
vC (t )
等效电路中的 电容器的起始 状态为零
电感的等效电路
iL(t )
L
vL(t )
−
+
iL(0− ) ≠ 0 t ≥ 0 ，
1 t 1 0− 1 t iL(t ) = ∫ vL(τ )dτ = ∫ vL(τ )dτ + ∫ vL(τ )d t L −∞ L −∞ L 0− 1 t = iL(0− ) + ∫ vL(τ )dτ , (t ≥ 0) L 0− 故电路等效为起始状态为零的电感L 故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 iL(0− )u(t ) 的并联。 的并联。 v L (t )
2 + 20V 1 e(t) + 10V 1Ω R S 1F + C 1H L
i(t)
i′ ① i 解： i) (0− ) = 0A，(0− ) = 0A/ s ii)电感电流不跳变 i 电感电流不跳变： ii)电感电流不跳变：(0+ ) = i(0− ) = 0A iii)电容电压不跳变 vc 电容电压不跳变： iii)电容电压不跳变： (0+ ) = vc (0− ) = 10V di(t) L = e(0+ ) − vc (0+ ) − i(0+ )R = 20 −10 =10 ⇒ dt
+
−
i L (t )
L i L (0 − )
三．系统响应划分
自由响应＋ 自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 暂态响应 稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋ 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
dt dt 由冲激函数匹配法求出： 由冲激函数匹配法求出： i(0+ ) − i(0− ) = 0， 0+ ) − i′(0− ) = 10 i′( i(0− ) = 0A i′(0− ) = 0A/s，故i(0 ) = i(0 ) = 0A ， ， + −
i′(0+ ) = i′(0− ) +10 =10A/s