材料力学_扭转

T 2A0t
r l
rdTAM or0t/2 2 rrddr
G A
r0t /2 0
剪量2切)，胡常13克[用(r定0单律位2t，为)3GG称P(ra0为。剪2t )切3]弹性模量(切变模
2Gr02t(21(1E12t2r)02 ) 2r02t
(误差 1 ) 1200
二、切应力互等定理
整理得：
sin2 纯剪切应力状态 cos2
90o
max 0o
9
0o
max 45o 45o 0
min 45o 45o 0
3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件
四、强度条件
塑性材料：扭转屈服极限τs 脆性材料：扭转强度极限τb
u s u b
扭转许用切应力：
[ ] u
n
圆轴扭转强度条件：
l1
l2
解：轴的切应力分析 一次超静定
d1 1
d2
D
2
α
T1T2 M
变形协调条件
1212
M
G T1lp 11IG T2lp 22IM G 3d l1 2 14G 3d l2 2 2 4
1
2
M
M G
32
l1
d
4 1
l2
d
4 2
80 10 9 3 ( Nm )
32
1 0 .06 4
l1 d1
1
1
l2
d2
D
2
M
2 M
解：轴的切应力分析
M10N 43m
各轴内的最大切应力为
α
1max
M
d
3 1
/
16
16 1043 0.06 3
( Pa
)
24 .6 MPa
2 max
M
d
3 2
/
16
16 1043 ( Pa ) 0.05 342来自.3MPa螺栓的切应力分析
FS M
并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径 D1为多少？
解：计算传动轴的抗扭截面模量 Wp1D3 6(14)1D3 6[1(DD 2t)4]
663[1(6625)4]m ( 3m )27 .18106m3
16
66
计算轴内最大切应力及强度校核
ma x T W m pa x2.1 1 7 8 5 1 0 6 0P0 a5.2 5 M P []a 满足强度条件，传动轴安全
32 24
32 22
例：在前面例中的传动轴系钢制实心圆轴，其扭转许用切应力[τ]=40MPa ，切变模量 G = 80GPa，许用单位长度扭转角[θ]=0.5 o/m 。试设计轴的直径D。
解：等截面圆轴，危险截面在扭矩最大的轴段
B PB
C PC
PA A
D PD
2183
根据强度条件：
Mo
m Mo
m Mo
T
由隔离体平衡条件，横截面上的内力分量只有 矢量方向沿轴线的力偶矩。称为扭矩，用T 表 示，其符号以扭矩矢量的指向与截面的外法线 方向一致为正，反之为负。
M x0TM o
TT(x)
一般情况下，扭矩可表示为 截面位置的函数，即扭矩方 程，其图形称为扭矩图。
例：图示为一机器的传动轴,其转速n = 700r/min,主动轮A的输入功率为PA = 400 kW,
d
dA2d
实心圆截面：
IpA2dA0 D /222d 3 D 42
D
WpIRp D D4//2321D3 6
空心圆截面：
d/D
Ipd D //2 223 d3 D 4 23 d 4 23 D 4(2 1 4 )
Wp IRp 1D63(14)
D D 0t dD 0t
d
当 t/R0 <1/10 时，采用薄壁圆轴公式计算结果
求相对扭转角φAC ：
AC AB BCG T1lp 11 IG T2lp2I2
AC 8 1 01 3 0 5 1 2 3 0 4 0 1 4 1 0 1 0 4 8 0 8 1 01 3 0 0 1 2 3 0 4 0 1 2 1 0 1 0 4 8 0 0 .18 (r2 a )
解： 求最大切应力：
ф24 ф22 ф18
A MA
MB B Mc C
l1
l2
150 100
+
( Nm )
1maxW T1p1
150103 MPa 80.8MPa
2431184
16 24
2maxW Tp 22
100103 MP8 a6 .7MPa
2231184
16 22
最大切应力在 BC 段各截面周边处
从动轮B、C和D的输出功率分别为PB = PC =120kW，PD =160kW。试计算轴内（数
值）最大的扭矩。
1
2
3
解： MA 5457Nm
B
C PA A
D
MB MC 1637Nm
PB
PC
PD
MD 2183Nm
1
2
3
若改变各传动轮的位置，则有：
1637
3274 ( Nm )
2183 +
|Tmax| =3274Nm
在传动轴的扭转计算中扭力矩通常由轴所传递的功率换算得到。根据功率方程：
PM oM o P2P n
注意到扭力矩的单位用N m；功率的单位用kW 和转速的单位用r/min。有：
M o(N)mP(k2W ) n 1(r/3m 0i6n)0 95n 4P (r(k /m 9W )in)
外力确定后，任意横截面上的内力可用截面法计算。
从动轮B、C和D的输出功率分别为PB = PC =120kW，PD =160kW。试计算轴内（数
值）最大的扭矩。
解：计算扭力矩
1
2
3
B
C PA A
D
M
A
9549
400 700
5457Nm
PB
B MB
PC
1
2
T1
B
C
MB
MC
PD 3
T3 T2
D MD
2183 +
120 M B MC 9549 700 1637Nm
二、刚度条件
max[]
度/米 (o/m)
maxGTpImax180[]
精密机器的轴：
[](0.1~ 50.5)/m
一般传动轴：
[](0.5~1.0)/m
精度要求不高的轴： [](1.0~2.5)/m
例：一空心圆轴如图所示，在A、B、C 处受扭力偶作用。已知 MA=150Nm , MB=50Nm , MC=100Nm，l1 = l2= 1 m，材料的 G=80GPa，试求:(1)轴内的最大切应力τmax ;(2)C 截 面相对A截面的扭转角φAC 。
B
A
1637
3820 + C
2183 D
|Tmax| =3820Nm
B
C
D
A
1637
3274
5457
|Tmax| =5457Nm
dy
3.2
Mo
t
薄壁圆轴的扭转 切应力互等定理
Mo
t
r0
t1 r0 10
l
τ
'
τ τ
τ 纯剪切应力状态
一、横截面上的切应力
dAr A
r0
AdAr02r0t T
T
2r02t
M zdydzdx'dxdzdy0 '
切应力互等定理：微元体互垂平面上与平面交线垂直
dx
的切应力数值相等，方向为同时指向或离开交线。
3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件
Mo
Mo
dx dx
ρ
R
d
R
dA
max
一、横截面上的应力
圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形后横截面仍为
平面，形状大小不变，半径保持为直线，相邻两横
因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。
3.4 圆轴扭转时的变形 刚度条件
一、扭转变形
圆轴扭转的变形用相对扭转角度量
d T dTdx
dx GpI
GpI
T d x
l GI p Tl
GI p
弧度(rad)
单位长度扭转角：
d T
dx GIp
弧度/米 (rad/m)
3.4 圆轴扭转时的变形 刚度条件
T A d A G d d xA 2 d A G pd d x I
d T dx GI p
Ip 称为截面对形心的极惯性矩， GIp 称为杆件的抗扭刚度。
T
τ’
τ
T Ip
maxTIpRW Tp
Wp
Ip R
Wp 称为抗扭截面系数
3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件
二、极惯性矩和抗扭截面系数（模量）
maxTW mpaxD Tm 3/a1x6[]
1
1
D16T[m]ax3 164302170643
0.075m75mm
1637
3274 ( Nm )
根据刚度条件：
ma x T G m p aI1 x 8 0 GT D m 4/a 3x 2 18 0 []
1
1
D3T 2m 2G a[x1]804 322830217091408.504
第三章 扭转
Mo A
Mo
AB 受力(简)图 B
受力变形特点: 外载为垂直于杆轴线的平面内的力偶，即外力偶矩的矢 量方向沿杆件的轴线(扭力矩)。各横截面绕轴线发生相对转动，任意两横
截面相对转过的角度，称为两截面的相对扭转角，用φ表示。以扭转变
形为主的直杆称为轴，材料力学主要讨论圆轴扭转问题。
3.1 传动轴的动力传递 扭矩
2 0 .05 4
180
1043 Nm
例：图示圆轴1和圆轴2，由凸缘（视为刚体）及螺栓相连接。设左、右凸缘上的螺 栓孔存在α= 3o 的角误差，试分析安装后轴与螺栓的应力。已知轴1和轴2的直径分 别为 d1=60mm 与 d2=50mm，轴长分别为 l1=1m与 l2=2m，螺栓的直径d=15mm，并位 于直径 D=100mm 的圆周上，轴的切变模量G=80GPa。
若采用相同强度的实心轴，有： maxT W mp1axD T1m 3/a1x655.2MPa
D 131 T m 6 m aa x x31 5 6 .1 2 5 1 560 0 0 0 .05m 1 57 m 2 m
两种轴的横截面积和重量比分别为：
A 4(D 2 d 2 ) 9m 528 m A 1D 4 1 2 21 m 2 2m 2 W W 1A A129152 802.454% 5
D
M
4FS2MFS2D
F A Sd F 2 S /4 2 D M 2 2 d 1 1 0 1 0 1 2 4 0 0 ( 5 M 3 0 ) 2 P 0 .5 M 9 a
3.5 扭转专题简介
Me
1
T
max
b
h h
一、矩形截面杆的自由扭转
实验表明非圆截面杆扭转时横截面不再保持为平面，会发 生翘曲。
m
axWTp
m
[]
ax
材料纯剪切时的许用切应力与许用正应力的关系：
塑性材料
[](0.5~0.6) []
脆性材料
[](0.8~1.0) [t]
例： 某传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D =66mm，壁厚 t=5mm，使用时 最大扭矩为T =1500N.m,试校核此轴的强度。已知[τ]=60MPa。若此轴改为实心轴，
0.08m383mm
轴的直径取 D = 84mm ，可同时满足强度和刚度条件
例：图示两端固定的圆轴AB，在截面C 处受扭力矩 M0 的作用，试求两固定端的反力 偶矩。
A
C
B
解：平衡条件
M x 0 M A M B M 0
一次扭转超静定问题
M0
T 1 M A T 2 M B M 0 M A
截面间距离不变。
ta圆力且n轴，与 扭切半转应径ddx时力垂横沿直横该截半，截点面径 指面到上线向上 轴只性与任 线一 的有分截点 距切布面处 离应，上切 成应 正变 比与
T
G扭应面 矩力上G对最也应大只ddx。。分截过布横点半面轴有截到径周线切面轴垂边的应上 线 直任 的 ，各杆力一 距 指点件。点 离 向处纵处 成 与切截切 正 扭应 比 矩力 ， 对与 且 应该 与 。
a
b
变形协调条件
l
AB AC CB 0
MA
M0
由物理关系得补充方程
MB
AB G T 1a p IG T 2b p I0 M B bM A a0
A
―
MA
C
B
MB
+
求解得
(M0 MA)bMAa0
MA bl M0
MB al M0
约束反力偶确定后，轴的内力即可求出，进而可 作强度和刚度的计算。
例：图示圆轴1和圆轴2，由凸缘（视为刚体）及螺栓相连接。设左、右凸缘上的螺 栓孔存在α= 3o 的角误差，试分析安装后轴与螺栓的应力。已知轴1和轴2的直径分 别为 d1=60mm 与 d2=50mm，轴长分别为 l1=1m与 l2=2m，螺栓的直径d=15mm，并位 于直径 D=100mm 的圆周上，轴的切变模量G=80GPa。
MD
9549
160 700
2183Nm
用截面法计算各段轴内的扭矩
T1 MB 163N7m T2 MB MC 327N4m T3 MD 218N3m
根据扭矩方程画扭矩图
扭矩方程
从图上可看出，最大扭矩发生在CA段内各截面
1637
3274 ( Nm )
Tmax327N4 m
例：图示为一机器的传动轴,其转速n = 700r/min,主动轮A的输入功率为PA = 400 kW,
D
相对误差在5% 以内。
3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件
n
x
45o
t
三、斜截面上的应力 纯剪切应力状态
设斜截面的面积为 dA，由斜截面法向 n 和切向 t 的平衡方程，有：
F n 0
d A (d A co )ssin (d A si) n co s 0
F t0
d A (d A co )c so s (d A si) n sin 0