第3章 随机信号的频域分析

∞
RY (τ )dτ =∫
∞
3.2． 联合平稳信号互功率谱密度与互相关函数之间的关系
若 X (t ) ，Y (t ) 联合平稳，则 RXY (t , t + τ ) ↔ G XY (ω )
3‐ 3 / 4
∞ ⎧ ⎪ ⎪ G ω RXY (τ ) e − jωτ dτ = ( ) XY ∫ ⎪ −∞ 即⎪ ⎨ 1 ∞ ⎪ ⎪ R G XY (ω ) e jωτ dω τ = ( ) XY ⎪ ∫ −∞ ⎪ π 2 ⎩
2. 低通带限白噪声：
⎧ ⎪N 0 2 ω ≤ Ω / 2 功率谱密度：GX (ω ) = ⎪ ⎨ ⎪ ω >Ω/ 2 ⎪ ⎩0 1 ∞ ΩN 0 G X (ω ) e jωτ dω = ⋅ Sa (Ωτ / 2) 自相关函数： RX (τ ) = ∫ 2π −∞ 4π 3. 带通带限白噪声：
⎧ N ⎪ ⎪ 0 功率谱密度为G Y (ω ) = ⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0
第三章 随机信号的频域分析
3.1 随机信号功率谱密度
1. 确知信号 f (t ) ：
f (t ) 傅氏变换---Æ频域 F (ω )
时间相关函数 R (τ ) 傅氏变换--Æ功率谱 Ps (ω ) （注：能量有限信号的时间相关函数 R (τ ) = ∫ 信号能量为：
E =∫
∞
∞ −∞
x (t )x * (t + τ )dt ）
RY (τ ) = E {Y (t )Y (t + τ )} = E {X (t )X (t + τ ) cos(ω0t + ω0τ + Θ) cos(ω0t + Θ)} ⎧1 ⎫ 1 = E {X (t )X (t + τ )} E ⎪ ⎨ cos(ω0τ ) + cos(2ω0t + ω0τ + 2Θ)⎪ ⎬ ⎪ ⎪ 2 ⎪2 ⎪ ⎩ ⎭ 1 = RX (τ ) cos(ω0τ ) 2
= lim ∫
T →∞
⎛ 2T − τ ⎜ ⎜ −2T ⎜ ⎜ ⎝ 2T
2T
⎞ ⎟ ⎟ RX (τ )e − jωτ dτ ⎟ ⎟ ⎠
∞ −∞
当T → ∞ 时， τ (2T ) → 0 ，若相关函数绝对可积 ∫
PX (ω ) = ∫
∞ −∞
R (τ ) dτ < ∞ ，上式可简化为
RX (τ )e − jωτ dτ
2. 平稳随机信号：
FT (ω ) P (ω ) = lim T →∞ 2T
2
随机过程的样本函数是确知信号，故分析可以从样本函数的功率谱开始；但样本函数的 功率谱无法代表整个随机过程的功率谱，也是随机的，取统计平均。 平稳随机过程 X (t ) 也属功率型信号(功率有限)，但是由于随机性某一具体样本函数(实 现) X (t , ξ ) 并不能代表整个随机过程，因此必须对每一可能实现取统计平均，类似于确知信 号有：信号平均功率
0 T 2T T −τ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ − jωτ − jωτ + PX (ω ) = lim ⎨ R τ e d τ dt R τ e d τ dt ⎬ ( ) ( ) X X ∫ ∫ ∫ ∫ T →∞ ⎪ 2 −T −τ 0 −T ⎪ ⎪ T −2T ⎪ ⎩ ⎭ T 0 2 ⎧ ⎫ ⎛ 2T + τ ⎟ ⎞ ⎛ 2T −τ ⎟ ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ = lim ⎪ RX (τ )e − jωτ dτ + ∫ ⎜ RX (τ )e − jωτ dτ ⎪ ⎟ ⎟ ⎨ ⎬ ⎜ ⎜ ∫ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ T →∞ ⎪ −2T ⎝ 2 0 ⎝ 2 ⎪ T ⎠ T ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
ω0 −
Ω Ω ≤ ω ≤ ω0 + 2 2 else
自相关函数： RY (τ ) =
ΩN 0 ⋅ Sa (Ωτ / 2)⋅ cos ω0τ = 2RX (τ ) cos ω0τ 2π
3‐ 4 / 4
a 2π a 2π δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) 2 2
∞ −∞
1 dω = a 2 / 2 。 2π XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
X (t ) 的平均功率 S = R(0) = a 2 / 2 ，也可 S = ∫
∫
T
−T
E XT (ω ) dω
{
2
}
因此我们得到随机过程 X (t ) 的功率谱密度的定义为
PX (ω ) = lim E [| XT (ω ) |2 ] T →∞ 2T
其中 XT (ω ) 为 X (t ) 截短函数 XT (t ) 的傅氏变换。
3‐ 1 / 4
下面考察平稳随机过程功率谱密度同自相关函数的关系： 将傅氏变换定义代入上式，有
可见，Y (t ) 仍然是广义平稳随机过程。
PY (ω ) = ∫ 1 RX (τ ) cos(ω0τ )e − jωτ dτ −∞ −∞ 2 ∞ 1 1 ∞ = ∫ RX (τ )e − j (ω−ω0 )τ dτ + ∫ RX (τ )e − j (ω +ω0 )τ dτ 4 −∞ 4 −∞ 1 = [PX (ω − ω0 ) + PX (ω + ω0 )] 4
PX (ω )
例3.2 随机过程与随机相位的正弦波混频 设 X (t ) 为宽平稳过程，与随机相位正弦波 cos(ω0t + Θ) 混频
Y (t ) = X (t ) cos(ω0t + Θ)
其中 ω0 为常数， Θ 为[0,2 π ]区间均匀分布的随机变量。求 RY (τ ) 与 P Y (ω ) 。 解：
F .T . 这就意味着：平稳随机过程在其自相关函数绝对可积的条件下， RX (τ )←⎯⎯ → PX (ω ) 互
为傅里叶变换对，有 RX (τ ) =
Relations)。
1 2π
∫
∞
−∞
PX (ω ) e jωτ dω ：维纳－欣钦公式(Winener-Khinchin
3. 维纳－欣钦公式推广： 相关函数绝对可积――相应的随机过程不含有直流或周期成份； 在功率谱密度中引入 δ 函数，则可以推广到这种含直流或周期性成分的平稳随机过程中。
P = lim
1 T →∞ 2 T
∫
T
−T
2 E {XT (t )}dt = lim
1 T →∞ 2 T
∫
T
−T
RX (t , t )dt
其中 XT (t ) 为 X (t ) 的截短函数。类似地由帕塞瓦尔等式有
P = lim
1 T →∞ 2 T
∫
T
−T
2 E {XT (t )}dt =
1 1 lim T →∞ 2π 2T
−∞
f 2 (t )dt =
1 2π
∫ ∫
∞
−∞
F (ω ) dω
2
信号功率为：
P = lim 1 T →∞ 2 T
∫
T
−T
fT2 (t )dt =
1 1 lim →∞ T 2π 2T
T
−T
FT (ω ) dω
2
（ fT (t ) 是 f (t ) 截短函数）
能量谱和功率谱为：
Hale Waihona Puke E (ω ) =| FT (ω ) |2
[0, 2π ] 上的均匀分布。判断 X (t ) 是否为平稳过程，求出其自相关函数和功率谱密度。
解：根据第二章例题可知 mX (t ) = 0 ， RX (t1 , t 2 ) = 随相正弦波为宽平稳随机过程。
PX (ω ) = ∫
∞
a2 cos ω0τ = RX (τ ) 2
−∞
RX (τ )e − jωτ dτ =
RN (τ ) = FT −1 ⎡⎣GN (ω )⎤⎦ =
N0 δ (τ ) 2
2 mX = 0 ⇒ mX = 0 （直流和直流功率）
2 2 σN = R (0) − mX =
N0 δ (0) = ∞ （交流功率无穷大） 2
ρn (τ ) =
RN (τ ) ⎧ ⎪1 τ = 0 （噪声相关系数：不同时刻信号正交） =⎪ ⎨ ≠ 0 τ 0 RN (0) ⎪ ⎪ ⎩
T ⎧ 1 T ⎫ ⎪ − j ωt1 jωt 2 PX (ω ) = lim E ⎪ X t e dt X t e dt ( ) ( ) ⎨ ⎬ 1 1 2 2 T T ∫ ∫ T →∞ − − T T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2T ⎭ 1 T T = lim E {X (t1 ) X (t 2 )} e − jω(t1 −t2 )dt1dt 2 ∫ ∫ T →∞ 2 − − T T T 1 T T = lim R (τ )e − jωτ dt1dt 2 ∫ ∫ T →∞ 2 − − T T T
3.3 白噪声
定义：若平稳随机信号 N (t ) 的均值为零，功率谱密度在整个频率轴 (−∞, ∞) 上均匀分布，
满足GN (ω ) = N 0 2 , 其中 N 0 为正的实常数，则称 N (t ) 为白噪声， “白”――全频域恒定值， 类似于白光谱，白噪声功率谱密度如图：
图 3.4 白噪声功率谱密度 1. 白噪声数字特征：
图3.1 变量置换过程 则 τ ∈ [−2T , 2T ] ，t 在直线 −T −τ 和T −τ 之间 将上式的积分变量变换成 t = t 2 和 τ = t1 − t 2 ， 变化，这一二重积分变换的积分范围变换如图3.1所示。积分分成两个区域，ACD区域内，
τ ∈ [−2T , 0] ， t ∈ [−T −τ ,T ] ，在ACB 区域内, τ ∈ [0, 2T ] , t ∈ [−T ,T −τ ] 。因此
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 例3.1 设随机相位正弦波 X (t ) = a cos (ω0t + Φ ) ，其中 a ， ω0 为常数，随机变量 Φ 服从