中考数学复习专题：几何综合题(含答案解析)

几何综合题

1.已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ． （1）如图1，若60BAC ∠=︒

①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；

（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．

答案：

（1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；

②作DE ⊥AC 交AC 于点E .

Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.

Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33

+=

；

（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC

证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .

易证△ACH ≌△AFH .

∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.

∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.

2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图1．

②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．

（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．

C

D

B

A

图1

备用图

C D

B

A

M

答案：（1）①补全的图形如图7所示．

② ∠NCE =2∠BAM ．

（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠︒-∠．

证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．

∵ 四边形ABCD 为正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称．

∵射线AM与线段BD交于点M，

∴∠BAM=∠BCM=α．

︒-．

∴∠1=∠2=90α

∵CE⊥AM，

∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．

又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，

∴∠1=∠3．

︒-．

∴∠3=∠2=90α

∵点N与点M关于直线CE对称，

︒-∠．

∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM

（31

3. 如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；

（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M ，证明你的判断.

答案：

（1）作

PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o

，

∴30OPE ∠=o

.

∴30

DPA OPE ∠=∠=o

.

∴120EPD ∠=o

. ∵DP PE =,6DP PE +=,

∴30PDE ∠=o ,3PD PE ==.

∴cos30DF PD =⋅︒=

∴2DE DF ==

（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DM

ME

的值不变，始终为1.理由如下： 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =.

∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,

∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPM

DPM ∠=∠.

∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MK

MD =.

作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵3,60MO MOL =∠=o

，

∴sin 60

3ML MO =⋅=o

.

∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.

∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MK

ME =.

∴ME MK

MD ==,即

1DM

ME

=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立.

4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边

所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；

（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明． 答案：（1）补全的图形如图所示.

（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.

∴∠FCG=∠ACE=α.

∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.

（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=

+.

证明：作CH ⊥AG 于点H.

由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.

∴CA=CG. ∴HG =

2

1AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .

在Rt △HCG 中， .2

3

cos CG CGH CG HG =

∠⋅= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .

5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点

为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；

（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；

（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．

答案：（1）如图；

A

B

C

E