数学八年级-轴对称最短路径问题

三角形

第3节多边形及其内角和

【知识梳理】

路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。

典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)

作法：

(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；

(2)连接AB′，与直线l 交于点C.

则点C 即为所求．

证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接A C′，BC ′，B ′C ′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′.

∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′，

AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′.

在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′，

∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.

预备知识：

在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+

【诊断自测】

1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）

A． B．C．D．

2、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）

A．“两点之间，线段最短”

B．“轴对称的性质”

C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”

D．以上答案都不正确

3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）

A．B． C．D．

【考点突破】

例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．

答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．

解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．

作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．

故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．

例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.

（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；

（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.

答案：见解析

解析：

（1）∵M与P关于OA对称

∴OA垂直平分MP.

∴EM=EP.

又∵N与P关于OB对称

∴OB垂直平分PN.

∴FP=FN.

∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).

（2）连接OM，ON，OP，

∵OA垂直平分MP，

∴OM=OP.

又∵OB垂直平分PN，

∴ON=OP.

∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).

∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.

∴∠MON=2∠AOB=70°

∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.

例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）

A．2B． C．20 D．2

答案：A

解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，

∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，

∴∠N′OM′=90°，

∴在Rt△M′ON′中，

M′N′==2．

故选：A．

例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

答案：D

解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C=50°，

∴∠DAB=130°，

∴∠HAA′=50°，

∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，

∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF=50°，

∴∠EAF=130°﹣50°=80°，

故选：D．

例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）