通俗易懂_数据包络分析(DEA)讲义

用LINDO求解，得1 0, 2 1, 3 0, 4 0, min 1，故H 2为DEA有效。
对于H3：
min 2851 1622 2753 2304 275 0 100 64 90 85 90 0 1 2 3 4 80001 65002 85003 75004 8500 0 s.t 355001 280002 330003 300004 33000 250001 180002 240003 210004 24000 j 0( j 1, 2,3, 4)
数据包络分析
数据包络分析(data envelopment analysis,DEA) 是一种对具有相同类型决策单元(decision making unit, DMU)进行绩效评价的方法。 这里相同类型是指这类决策单元具有相同性质 的投入和产出，如医院投入的是医护人员、面 积、床位数、医疗设备和药品等，产出是门诊 病人人次、住院病人人日、代培实习的医护人 员数等。
, s)
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这是一个分式规划问题，可通过下述变换，转化为 一个等价的线性规划问题。
令：t
1
v x
i 1 i
m
, wi tvi , r tur
ij0
则上述线性规划模型可改写为：
max h j0 t ur yrj0 r yrj0
r 1 r 1 s m wi xij r yrj 0, ( j 1, 2, , n) r 1 i 1 m s.t wi xij0 1 i 1 wi 0(i 1, 2, , m), r 0(r 1, 2, , s )
面积 （ m2 ） 年门诊病人 （人次） 住院病人 （人日）
8000 6500 8500 7500
35500 28000 33000 30000
25000 18000 24000 21000
试分别评价上述4所医院是否DEA有效。
解：对于H1：
min 2851 1622 2753 2304 285 0 100 64 90 85 100 0 1 2 3 4 80001 65002 85003 75004 8000 0 s.t 355001 280002 330003 300004 35500 250001 180002 240003 210004 25000 j 0( j 1, 2,3, 4)
若用vi 表示第i项投入的权值， ur 表示第r项产出的权值，
则第j决策单元的投入产出比h j的表达式为： hj
u y
r 1 m r
s
rj
v x
i 1
( j 1, 2,
, n)
i ij
通过适当选取值vi (i 1, 2, 使对j 1, 2,
, m)和ur (r 1, 2,
设对偶变量分别为1 , 2 ,
, n与，
则对偶线性规划问题可写出如下： min
xij j xij0 0, (i 1, 2, , m) j 1 n s.t yrj j yrj0 , (r 1, 2, , s) j 1 0, ( j 1, 2, , n) j
投资利税率（%） 12.22 10.97 10.87 11.29
解：对于决策单元（污水处理一厂）有：
min VD1 45901 140002 658003 235584 285625 616006 163007 4590 0 2921 2032 14083 23054 22755 8956 23497 292 0 s.t 91 202 313 354 405 226 307 9 12.221 10.972 10.873 11.294 8.915 116 157 12.22 0( j 1, 2,3, 4,5, 6, 7) j
一厂 总投资额 （万元） 年总运行成本 （万元） 日处理污水量 （万立方米/日）
二厂
三厂
四厂
五厂
六厂
七厂
4590 14000 65800 23558 28562 61600 16300 292 9 203 20 1408 31 2305 35 2275 40 8.91 895 22 11 2349 30 15
这个模型的解析表达式为： min
x111 x12 2 x211 x22 2 xm11 xm 2 2 s.t y111 y12 2 y211 y22 2 ys11 ys 2 2 1 , 2 , , n 0
1 1 x11 2 x 21 投入 m xm1 y11 y 21 ys1
2 x12 x22 xm 2 y12 y22 ys 2
n x1n x2 n xmn y1n 1 y2 n 2 产出 ysn s
n
对偶问题的经济意义十分明显： 为了评价 j0 决策单元的绩效，可用一个假想的组 合决策单元与其比较。
x 是这个假想组合决策单元的投入， y 是这个假想组合决策单元的产出。
j 1 n ij j
j 1 rj j
n
这个模型的含义是：如果 的最优值小于1，则 表明可以找到一个假想的决策单元，它可以用比 评价决策单元更少的投入，获得不少于被评价决 策单元的产出，从而表明被评价决策单元为非 DEA有效，只有 1时，才表明被评价的决策 单元DEA有效。
s
s
写成如下形式：
max h j0 y1 j0 1 y2 j0 2
ysj0 s
x11w1 x21w2 xm1wm y111 y21 2 ys1 s 0 x w x w x w y y y 0 m2 m 12 1 22 2 s2 s 12 1 22 2 s.t x1n w1 x2 n w2 xmn wm y1n 1 y2 n 2 ysn s 0 w1 x1 j w2 x2 j wm xmj 1 0 0 0 wi 0(i 1, 2, , m), r 0(r 1, 2, , s )
用LINDO求解，得1 1, 2 3 4 0, min 1，故H1为DEA有效。
对于H 2：
min 2851 1622 2753 2304 162 0 100 64 90 85 64 0 1 2 3 4 80001 65002 85003 75004 6500 0 s.t 355001 280002 330003 300004 28000 250001 180002 240003 210004 18000 j 0( j 1, 2,3, 4)
6-2 评价决策单元DEA有效性的 C 2 R 模型
DEA有效性的评价是对已有决策单元绩效的比较 评价，属相对评价。
设有n个决策单元( j 1, 2, 和相同的s项产出(r 1, 2,
, n)， , m) , s)。
每个决策单元有相同的m项投入(i 1, 2,
用xij 表示第j单元的第i项投入量， yrj 表示第j单元的第r项产出量， 其投入产出情况如下图所示：
由虚线和 B2 B4 B3形成的数据包络线称生产前沿面。 即不可能由这条包络线的左下方对应的职员数和 营业面积组成的储蓄所能完成每月10000笔的存 款业务。
处于包络线（或生产前沿生产面）上的决策单元 称为DEA有效（或Pareto有效）。 即对 B2 , B3 , B4 三个决策单元来说，为完成每月 10000笔的存款业务，如要减少职员，必须增加营 业面积，如果要减少营业面积，必须增加职员数， 不可能同时既减少职员又减少营业面积。
用LINDO求解，1 0.292422, 2 0.927192, 3 0, 4 0, min 0.9842497 1，故H3为非DEA有效。
对于H 4：
min 2851 1622 2753 2304 230 0 100 64 90 85 85 0 1 2 3 4 80001 65002 85003 75004 7500 0 s.t 355001 280002 330003 300004 30000 250001 180002 240003 210004 21000 j 0( j 1, 2,3, 4)
x1n n x1 j0 0 x2 n n x2 j0 0 xmn n xmj0 0 y1n n y1 j0 y2 n n y2 j0 ysn n ysj0
例12：有4所医院，其投入产出情况如下表所示： 投入 医 院 职员数 床位数 H1 H2 H3 H4 285 162 275 230 100 64 90 85 产出
用LINDO求解，1 0.475921, 2 0.505666, 3 0, 4 0, min 0.9458923，故H 4为非DEA有效。
例：某研究单位对天津、上海、海口等城市的7 个污水处理厂的运营情况进行DEA有效性评价分 析。选择的投入和产出指标为： 投入指标：（1）年总运行成本（万元） （2）总投资额（万元） 产出指标：（1）日处理污水量（万立方米/日） （2）投资利税率（%） 下表列举了各污水处理厂的投入产出指标数据， 试进行DEA评价。

衡量一个单位的绩效，通常是用投入产 出比这个指标，当所有投入和产出指标 均分别可折算成同一单位时（例如货币 值），容易根据投入产出比大小对要评 定的决策单元进行绩效排序。
6-1 几个基本概念
例 有4个银行储蓄所，每月完成10000笔人民币的 存款、取款业务，但其投入情况不同，见下表，试 分析这4个储蓄所的绩效。 储蓄所
职员数
营业面积（m 2）
B1
6
100
B2
3
120
B3
10
50
B4
7
70
解：为了进行分析，以职员数为横坐标，营业面 积为纵坐标将4个储蓄所的投入标记于下图中：
营业面积 120 90 60 30 0 3 6 9 12 职员数 生产可行解
B2
D
B1
B4
生产前沿面 DEA有效
B3
折线 B2 B4 B3 和折线右上方所有点组成的集合为 生产可行集。 即这些点多对应的职员数和营业面积所组成的储 蓄所均有能力完成每月10000笔的存款业务。
, s)，
, n，有h j 1，则对第j0个决策单元
的绩效评价可归结为如下优化模型：
max h j0
u y
r 1 m r
s
rj0
v x
i 1
i ij0
s ur yrj r 1 1 ( j 1, 2, , n) m s.t vi xij i 1 vi 0(i 1, 2, , m), ur 0(r 1, 2,