高等数学集合及函数

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x1
1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y
中所含的元素不一定是数，可以是其它的一
些对象 ( 或事物 )。 2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之 对应，这一点很重要，它说明集合间元素的 对应关系不一定就是映射。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
x2 x3
( A B) B A ?
一般说来, (A B) B A
A (A B) B B A A B
迪卡尔集 A×B=,
A (A B) B B A A B
三、实数、区间、邻域
1. 实数集与数轴 实数集为有理数集与无理数集的并. 实数具有稠密性和连续性. aR，必 n Z，使 n a < n+1. 实数与数轴上的点一一对应.
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述上的方 便，我们常常用记号 或 X 来表示所考虑的某种对 象（元素）的全体所构 成的集合，称之为全集 。
在wen图中，用矩形表示全集。
设有集合A，B，则
A 与 B 的并：A B { x | x A 或 x B }； A 与 B 的交：A B { x | x A 且 x B }； A 与 B 的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）： A A ( 或记为 AC )。
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。
(2) 描述法： 将集合A中元素 x 所具有的特性 p ( x) 列出 来表示如下 A { x | x 具有特性 p ( x) }。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得
重复出现。（唯一，互异，无序）
。 (
O
a
。 )
b
x
(3) 半开闭区间 (a, b] = { x | a < x b } (称为左开右闭区间) [a, b) = { x | a x < b } (称为右开左闭区间)
O
[ a
。 )
b
x
(4) 无穷区间 [a, +) = { x | x a }, ( , b] = { x | x b }, (a, +) = { x | x > a }, ( , b) = { x | x < b },


正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复
合函数进行分解。 会求函数（包括分段函数）的反函数。 了解“取整函数”和“符号函数”。 能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念
二、集合的基本运算
三、映射的基本概念
四、实数、区间、邻域
一、集合的基本概念 1. 集合
U( x0 , ) = { x | | x x0 | < , x R , > 0 }
x0 x x0
o
x0
(
x0
) x0 +
x
ˆ ( x0 , ) ( 或记为U( x0 , ) ) ： 点 x0 的去心 邻域U
Û( x0 , ) = { x | 0 < | x x0 | < , x R , > 0 }
2. 绝对值、距离 任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为：
a, |a| a, a 0, a 0。
数轴上任意两点 a，b 之间的距离为 d=|ab| 。
3. 区间
(1) 闭区间 [a, b] = { x | a x b } [ a ] b
O
x
来自百度文库
(2) 开区间 (a, b) = { x | a < x < b }
康托尔将集合定义为：
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。
简言之，把考察的对象 放在一起就构成集合。 定义一个集合A，也就是规定哪些元素 属于集合A, 哪些元素不属于集合 A。 元素 x 属于集合A，记为x A；元素 x 不属于 集合A，记为 x A 或 x A 。
的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为 D( f ); A中
所有元素 x 的像 y 的全体所构成的集合称 为 f 的值域，
记为 R ( f ) 或 f ( A) ，即
D( f ) A; R ( f ) f ( A) { y | y f ( x), x A }。
注意：

x0 x x0 且 x x0
o
x0
(
x0
) x0 +
x
点 x0 的某邻域， 记为 U(x0) .
点 x0 的某去心邻域， 记为 Û (x0) .
例1
点 x0 = 3 的 = 0.1 邻域为
点 x0 = 3 的去心 = 0.1 邻域为
四、映射的基本概念
1. 映射 设 A，B 是两个非空集合，若 x A，按照某种
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f
为从 A 到 B 的一个映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f ( x)，x A。
其中， y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（1）
—— 一元微积分学
第一讲 集合与映射
授课教师：易学军
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1 教学要求.答疑安排 2相关竞赛 3书籍选购 4学科介绍.本学期内容
第一章 集合与函数
本章学习要求： 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。
( , + ) = { x | < x < + }= { x | xR } [a, +)
O
a
[
x (+)
(5) 区间长度
有限区间的长度 = 右端点值－左端点值
不论是闭区间、开区间、半开闭区间， 其长度计算均按此式进行。
所有无穷区间的长度 = +∞
4. 邻 域
点 x0 的 邻域 U ( x0 , ) ：