第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析

例 1 若对任意的x ，y 有

y

P

x Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线，则

⎰

+C

y Q x P d d = ．

解：由格林公式将

y x y

P

x Q y y x Q x y x P D

C

d d )(

d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰

其中D 为C l 围成的平面区域，及条件

y

P

x Q ∂∂≡∂∂知，应该填写：0 例2．_______d d =+-⎰y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．

解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π⋅21，由格林公式得：⎰⎰⎰+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2

例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）．

A ．在域D 内恒有

y Q x P ∂∂=∂∂ B ．在域D 内恒有y

P

x Q ∂∂=∂∂

C ．在

D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+⎰'l y Q x P

D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+⎰'l y Q x P

解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则

⎰+l

y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y

P

x Q ∈∂∂=∂∂⇔

),(,。 所以选择：B

例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．

A ．⎰+C y x x yx d d 332

B ．⎰-

C y x x y d d

C ．⎰-C y x x xy d d 22

D ．⎰+C y y x yx d d 332

解：因为选项A 中，23323)(,3)3(x x

x x Q x y yx y P =∂∂=∂∂=∂∂=

∂∂，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A

例5 设积分路径⎩

⎨

⎧==)()

(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t ，那么第二类曲线积分计算公式⎰+l y y x Q x y x P d ),(d ),(=（ ）．

A ．⎰'+'β

αψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([

B ．⎰'+β

αϕψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([

C ．⎰'+β

αψψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([

D ．⎰+β

αψϕψϕt t t Q t t P d ))](),(())(),(([

解：因为积分曲线的路径由参数方程⎩⎨

⎧==)

()

(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t 给出，

把参数方程代入曲线积分中，得：⎰'+'β

αψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([

所以正确选择：A

例6 计算⎰-++-l x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆⎩

⎨

⎧==t y t

x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径．

解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成

⎰-++-l

x x

y x y x x y y d )cos e (d )3sin e

(2

其中x y Q x y y P x x -=+-=cos e ,3sin e 2，由格林公式

原式=⎰-++-l x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D

d d ][

y x y

P

x Q =⎰⎰---D

x x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [(

=⎰⎰D

y x d d 2=232

12⋅⋅⋅π=π6

例7．计算⎰-+-l x x

y y x y y d )2

1

cos e (d )2sin e (2，其中

l 是上半圆周

x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．

解： 2

1

cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x

，由格林公式得

⎰-+-l

x

x

y y x y y d )21cos e (d )2sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D

d d ][y x y P x Q =⎰⎰--D

x x y x y y y d d )]cos e (cos e [=⎰⎰D

y x y d d

=⎰⎰θ

π

θθcos 20

2

20d d sin r r =⎰20

3d cos sin 38

π

θθθ

=3

2)cos (3

22

4=

-πθ 例8 计算⎰-l x y x y xy d d 22，其中1:22=+y x l 逆时针方向．