中考数学二轮复习二次根式知识点及练习题含答案(1)

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A ．2+3=5
B ．8=42
C ．32﹣2=3
D ．23⋅=6
2．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．1﹣2a
D ．2a ﹣1 3．下列运算正确的是（ ） A ．32-=﹣6
B 31182--
C 4=±2
D ．52=104．化简二次根式 22a a +-
） A 2a --B 2a --C 2a -D 2a -5．a ab 有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
6．若a b >3a b - ）
A ．ab --
B ．-ab
C ．a ab
D ．-ab 7．23a -2a a 的值是（ ）
A ．2
B ．-1
C ．3
D ．-1或3
8．给出下列化简①（2-）2=222-=（）2221214+=311142
-=，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 9．使式子
2124x x +-x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＞﹣2，且x ≠2 D ．x≥﹣2，且x ≠2
10．下面计算正确的是（ ） A ．3+3=33B 273=3 C 2?3=5 D ()222--
二、填空题
11．322+=___________．
12．已知3x x +=，且01x <<，则2691x x x =+-______． 13．观察下列等式： 第1个等式：a 1=2112
=-+， 第2个等式：a 2=3223
=-+， 第3个等式：a 3=
32+=2-3， 第4个等式：a 4=
5225
=-+， …
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n 个等式：a n =__________.
(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________
14．若x +y =5+3，xy =15-3，则x+y=_______．
15．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.
16．已知实数m 、n 、p 满足等式
33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．
17．若0xy >，则二次根式2
y x -________． 18．如果332y x x --，那么y x =_______________________．
19．4102541025-+++=_______．
201262_____．
三、解答题
21．2
-+
1 【分析】
先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【详解】
2
-+
=1)2(3+⨯
=12
1. 【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：
1S = 同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
2S =2
a b c p ++= （1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积． （2）请证明：1
2S S
【答案】（12） 证明见解析 【分析】
（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．
【详解】
解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：
S == （2）2222222
11[()]2
4a b a S c b +-=- =222222
)1(22
(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =222
2()2(2
1)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16
)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =--- ∵2
a b c p ++=
， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b c b c +++++++-+=-- =
2222
a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅ =1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =
∵10S >，20S >，
∴12S S ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．
23．计算 (1)2213113
a a a a a a +--+-+-;
(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值
(3)已知abc ＝1，求
111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值
【答案】（1）22223
a a a ----；（2）a =－3，
b ；（3）1.
【分析】
（1）先将式子进行变形得到()()113113
a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝
⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11
b ab ab b
c b abc ab a ab a ==++++++，2111
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】
解：（1）原式=
()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫-
-+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a -
-+- =()()()()3113a a a a -++-
+- =22223
a a a ----；
（20b =，
∴2a +6=0，b =0，
∴a =－3，b ；
（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++， ∴原式=
1111a ab ab a ab a ab a ++++++++ =11
a a
b ab a ++++ =1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
24．阅读下面的解答过程，然后作答：
m 和n ，使m 2+n 2=a 且
，则a
可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2
例如：∵
=
）2+
）2
=
）2
∴
请你仿照上例将下列各式化简
（1
2
【答案】（1）
2
-
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1
）∵22241(1+=+=，
1=
（
2）
∵2227-=-=，
∴==
25．先化简，再求值：222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭
x y x y x x x
xy y
，其中x y ==． 【答案】原式x y x
-
=-
，把x y =
=代入得，原式1=-. 【详解】
试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析： 222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭
x y x y x x x xy y ()()()2
22=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭ =y x x y x x y
---⋅+ x y x
-=
-
把x y =
=代入得：
原式1==-+
考点：分式的化简求值．
26．观察下列各式：
11111122=+-=
11111236=+-=
111113412
=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；
（3
【答案】（1）11
20；（211(1)
n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1111114520=+-=； 故答案为：11
20；
（2111111(1)
n n n n =+-=+++；
11(1)n n =++；
（31156
== 【点睛】
此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
27．(1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；
(2)已知
b=，求a2+b2的值．
【答案】（1）±2；（2）2．
【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．【详解】
（1）由a2+b2=6，ab=1，得a2+b2-2ab=4，
（a-b）2=4，
a-b=±2．
（2）
1
2
a===，
1
2
b===，
2
222
()22312
a b a b ab
+=+-=-=-=
⎝⎭
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
28．已知长方形的长a=b=.
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1）2）长方形的周长大.
【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
试题解析：
(1)()
11
2222
23
a b
⎛
+=⨯=⨯⨯⨯=⨯=
⎝
∴长方形的周长为 .
(2)
11
4.
23
=⨯⨯=
正方形的面积也为4. 2.
=
周长为：428.
⨯=
8.>
∴长方形的周长大于正方形的周长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
解：A A 错误；
B ==，所以B 错误；
C ．=C 错误；
D =
=D 正确．
故选D ． 2．A
解析：A
【分析】
先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可
【详解】
由数轴可知0＜a ＜1，
所以，||1a a a =+-＝1，选A ．
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小
3．B
解析：B
【分析】
分别根据负整数指数幂的运算、立方根和算术平方根的定义及二次根式的乘法法则逐一计算可得．
【详解】
A 、3311228
-==，此选项计算错误；
B 12
=-，此选项计算正确；
C 2=，此选项计算错误；
D 、
，此选项计算错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂、立方根和算术平方根及二次根式的乘法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】 2202
a a
a a a +-
∴+<∴<
-
a a ∴==•=-故选B 【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
5．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab ＞0，解得a ＞0，b ＞0，因此可知A （a ，b ）在第一象限.
故选A
6．D
解析：D
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；
【详解】
∴-a 3b≥0
∵a ＞b ，
∴a ＞0，b ＜0
=-，
a ab
故选：D．
【点睛】
此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．
7．C
解析：C
【分析】
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a2-3=2a
∴解得：a=3或a=-1
当a=-1时，该二次根式无意义，
故a=3
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.
8．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．
【详解】
①原式=2，故①正确；
②原式=2，故②正确；
③原式==
==，故④错误，
④原式
2
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.
【详解】
≠,
解：由题意得：2x-40
2
∴≠±,
x
x+≥,
又∵20
∴x≥-2.
x≠.
∴x的取值范围是：x>-2且2
故选C.
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.
10．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
【详解】
解：A A选项错误；
B==＝3，故B选项正确；
C==C选项错误；
D．2
-==，故D选项错误；
(2)2
故选B．
【点睛】
考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
二、填空题
11．+1
【分析】
先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.
【详解】
因为,
所以,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二
+1
【分析】
先将3+,
()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩
进行化简即可.
【详解】
因为(2231211+=+=+=+,
11=
==
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 12．．
【分析】
利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案是：．
【点睛】
本题考查二次根式的运 解析：12
． 【分析】
，再把它们相乘得到1x x -，再对原式进行变形凑出1x x
-的形式进行计算．
【详解】
3
=，
∴
2
2
1
239
x
x
=++==，
∴
1
7
x
x
+=，
∴
2
1
2725
x
x
=-+=-=，
∵01
x
<<，
=，
∴
1
x
x
=-=-
∴原式
=
==
=．
故答案是：
1
2
．
【点睛】
本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
13．【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=，
第3个等式：
=
1
-
【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】
解：∵第1个等式：a11
=，
第2个等式：a2
=，
第3个等式：a3
，
第4个等式：a42
=，
……
∴第n
=
=
（2）
123
(21)(32)(23)(1) n
a a a a n n
+++=-+-+-+++-
=121
n
+++
=1
-；
1
-．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题
14．8+2
【解析】
根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.
故答案为：8+2.
解析：
【解析】
根据配方法，由完全平方公式可知
x+y=2222
+=+-）2
整体代入可得原式=2-2
）
故答案为：
15．【解析】
试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，
（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第
解析：【解析】
试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4
，
（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4
， ∴(5，4)与(9，4)
故答案为
16．5
【解析】
试题解析：由题可知，
∴，
∴，
∴，
①②得，，
解方程组得，
∴．
故答案为：5.
解析：5
【解析】
试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨
--≥⎩
， ∴3m n +=，
0=， ∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩
①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，
解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩
， ∴4(1)5p m n =-=--=．
故答案为：5.
17．－
首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：∵，且有意义，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是 解析：
【分析】
首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，
∴x ==．
故答案为．
【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即
(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，b >0）． 18．【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵x －3≥0，3－x≥0，∴x=3，
∴y=﹣2，
∴．
故答案为：．
【点睛】 解析：19
【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子
【详解】
解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，
∴y =﹣2， ∴2139
y x -==． 故答案为：
19． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
19．【分析】
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二
【分析】
t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，
则244t =+
8=+
=+
8
=+
81)
=+
6
2
=
1)
∴=．
1
t
．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．20．6
【分析】
利用二次根式乘除法法则进行计算即可．
【详解】
＝
＝
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
解析：6
【分析】
==进行计算即可．
【详解】
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
三、解答题
21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。