FFT算法

第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导

(1) 时域抽样：

目的：解决信号的离散化问题。

效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断：

原因：工程上无法处理时间无限信号。

方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。

结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓：

目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。

方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。

表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。

(4)

1。

图1 DFT 推导过程示意图

(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑

∞

-∞=-=π--δ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡=

k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~

010/2

(i)

)(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S

NT k T k kf f =

==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。

(ii) )(~

f H 是周期函数，周期为s

s T NT N T N Nf 1

00=

==

，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。

2 DFT 及IDFT 的定义

(1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为

N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1

0/2-=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛==∆

-=π-∑N k NT

k H e

nT h nT h DFT s N n N

nk j s s N (2) IDFT 定义：设⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛s NT k

H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为：

())1,...,1,0(,11

0/21

-==⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∆-=π--∑

N k nT h e NT

k

H N

NT k

H DFT s N k N nk j s s

N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们

互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，

或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-=

(i) 用途：

(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk

N W -。

(b) 核函数的正交性可以表示为：()

)(*

1

0r n N W W kr

N N k kn N

-δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10

-==⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∑

-=N k W nT h NT

k

H N n nk N s s

(d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1

)(1

0-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=

∑

-=-N n W NT

k H N

nT h N k nk N s s

(ii) 性质：周期性和对称性：

(a) 12==π-j N

N

e W (b) 12

/-==π-j N N

e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+

(d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/

(e) )(1Z m W m

N ∈∀=

(f) ),(/2/2Z n m W e e

W n

N N n j m N m n j m n m N ∈∀===π-π- 3 离散谱的性质

(1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=∆

为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质：

(i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。

(ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都

具有共轭对称性。即*k k H H =-；*

k k N H H =-；*2

2

k

N

k

N

H H =±

(iii) 幅度对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都

具有幅度对称性。即k k H H -=；k k N H H =-；k

N

k

N

H H 2

2=±

(3) 改写： (i) 简记)(s nT h 为)(n h

(ii) 简记⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛s NT k H 为)(k H (iii) DFT 对简记为：)()(k H n h D FT

⇔或)()(k H n h ⇔

(iv) ()[])1,,1,0(,)()(1

-===∑-=∆

N k W n h n h DFT k H N n nk

N

(v)

[]())1,,1,0(,1

)()(10

1

-==

=∑-=--∆

N n W k H N

k H DFT n h N k nk

N

4 DFT 总结

(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要

求该序列具有周期性。

(2) 由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H H k H S k ∈⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛==∆

是离散的周期函数，周期为s s s f T NT N T N Nf ===

=1/00、离散间隔为00

1

1f T N f NT s s ===。离散谱关于变元k 的周期为N 。

(3) 如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散

的周期函数，周期为0

01

f T NT s =

=(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为0

01

/Nf N T N NT T s s =

=

=(对应离散谱周期的倒数)。 (4) 经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为S

NT T f 1

100=

=。 (5) 实序列的离散谱关于原点和

2

N

(如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~

12

-N

范围获得，从低频到高频。 (6) 在时域和频域N ~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。 5 DFT 性质

(1) 线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑

∑==⇔⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡M m m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()(

(2) 奇偶虚实性：

(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。 (ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性：

奇⇔奇；偶⇔偶；实偶⇔实偶；实奇⇔虚奇；

实 ⇔(实偶) + j(实奇)；实 ⇔(实偶)·EXP(实奇)。 (3) 反褶和共轭性：