高考数学不等式解题方法技巧

不等式应试技巧总结

1不等式的性质：

（1 ）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 a -c >b -d ）,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘

，但不能相除； 异向不等式可以相除

，但不能相乘：若

a b

a b 0,c d 0 ,则 ac bd （右 a b 0,0 ：： c ： d ,贝U

）；

C d

（3） 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b ∙ O ,则a n ■ b n 或：a ■ n

b ； （4）若ab 0 , a b , 1 1 1 1 则 ；若 ab ：： 0 , a b ,则 a b a b

【例】（1）对于实数a,b,c 中，给出下列命题：①若a b,则ac 2 bc 2 ；②若ac 2 bc 2

,则a b ；

2 2

1 1 b a ③ 若 a ：： b ：： 0,则 a ab b ； ④ 若 a ：：： b ：：： 0,则

；

⑤ 若 a ：：：

b ：：： 0,则

a b

a b

a

b

1 1

⑥若a cb vθ,则a > b ;⑦若c >a >b >0,则 ------- >——；⑧若a >b,—> —,贝U a>O,b cθ。其中正确的

c-a c-b a b

命题是 ______ （答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知一1兰x + y 兰1 , 1兰x-yW3 ,贝U 3x — y 的取值范围是 __ （答：1兰3x — y 兰7 ）；

C

（ I >

（3）已知a>bnc ,且a+b+c=O,则—的取值范围是 ________________ （答： —2_丄Ib a I ' 2 丿

2. 不等式大小比较的常用方法 ：

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幕的代数 式） ； （ 3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 （8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

L t

、 1

十

t 十1

【例】(1)设a ■ 0且a = 1,t 0 ,比较-Iog a t 和Ioga - -的大小(答:当a 1时,

2 2

1 t +1

时取等号）；当O ：：： a ：：： 1时，-Iogat 亠log a - - （t =1时取等号））；

2 2 1 a 2

-4a 2

（2） 设a 2 , p=a ∙ , q=2 ,试比较p,q 的大小（答：P q ）；

a -2

4

（3） 比较 1+ Iog x 3与 2Iog x 2（x ■ 0且x = 1）的大小（答：当 O ：：： x ：：： 1 或 X 时，

1+ Iog x 3 > 2log x 2 ；当

4 4

1 ■■ X 时，1+ Iog x 3 V 2Iog x

2 ；当 X 时，1+ Iog x

3 = 2Iog x 2）

3 3

3.

利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这17字方

针。

1

χ2 十 3

【例】（1）下列命题中正确的是

A 、y = χ 的最小值是 2

B 、y

的最小值是 2 C 、

:若 a . b, c . d ,贝U a C . b d (若 a . b, c ：：： d ,则 1 尹ES

(C1

X yχ2+ 2

y=2-3x-4（X 0）的最大值是2-4.3 D、y=2-3x-'（X 0）的最小值是2-4、、3 （答：C ）；

X X

（2）若x+2y=1 ,则2x+4y的最小值是___________ （答: 2^2）；

（3）正数x,y满足x+2y=1 ,则1+1的最小值为______________ （答: 3 + 2血）；

______ X y

4. 常用不等式有：（I）J a~2^乏a;b33二2二（根据目标不等式左右

的运算结构选用）；a b

2 2 2

（2）a、b、c∙R, a b C - ab bc ca （当且仅当a =b =C 时，取等号）；

（3）若a>b>Om>0,贝U b <^m（糖水的浓度问题）。

, a a +m

【例】如果正数a、b满足ab=a+b+3,贝U ab的取值范围是_______________ （答: 19,邑））

5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法方、通分等手段变形判断符号或与

1

常用的放缩技巧有：—

n （比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、

配 1的大小，然后作出结论。）.

IIII -----------= <：~~2

n n（n-1） n-1 n

1 1

-- -- =<

n 1 n(n 1)

【例】(1)已知a . b . C，求证：a2b ■ b2c c2a ■ ab2 bc2 ca2；

⑵已知a, b,c R ,求证：a2b2b2c2c2a2_ abc(a b e)；

1 1

(3)已知a,b,x, y R ■,且，x ∙y ,求

证:

a b

a+b b+c c+a

⑷若a、b、C是不全相等的正数，求证：Ig Ig Ig lg a lg b lg c ；

2 2 2

(5)已知a,b,c R ,求证：a2b2 b2c2e2a2一abc(a b e)；

⑹若n N* ,求证：、.、（n 1）2 1 -（n 1）：：•、n2

1 -n ；

⑺已知|a鬥b| ,求证：|a| 7b|

|a—b|Ja| |b|

Ia b|