人教版 九年级数学 解一元二次方程讲义 (含解析)

第2讲解一元二次方程
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。

知识梳理
讲解用时：25分钟
特殊的一元二次方程的解法
特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：
（1）解一元二次方程——直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方
的方法解一元二次方程。

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；
①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；
①方法是根据平方根的意义开平方．
课堂精讲精练
【例题1】
已知一元二次方程mx 2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（ ）。

A ．n=0 B ．mn 同号 C ．n 是m 的整数倍 D ．mn 异号
【答案】D
【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，
∵mx 2+n=0，则mx 2=﹣n ，∴x 2=m
n
-
， ①x 2≥0，m≠0，①mn 异号，故选：D ． 讲解用时：2分钟
解题思路：由mx 2+n=0移项得mx 2=﹣n ，再两边同时除以m ，可得x 2=m
n
-，再根据偶次幂的非负性可得mn 异号。

教学建议：熟记直接开平方法的使用条件。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：海原县校级期中 年份：2017秋
【练习1】
对于方程（ax+b ）2=c ，下列叙述正确的是（ ）。

A ．不论c 为何值，方程均有实数根 B ．方程的根是a
b
c x -=
C ．当c≥0时，方程可化为：ax+b=c 或ax+b=﹣c
D ．当c=0时，x=a
b
【答案】C
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，
当c ＜0，方程没有实数解；当c≥0时，方程有实数根，则ax+b=±c ，解得
a b c x -=
1，a b c x --=2，当c=0时，解得x 1=x 2=﹣a
b
，故选：C.
讲解用时：5分钟
解题思路：讨论：当c＜0或c≥0，利用平方根的定义可判断方程的根的情况，若有根，则可利用直接开平方法解方程，从而可对各选项进行判断。

教学建议：：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：南岗区校级月考年份：2017 【例题2】
如下表，方程1、方程2、方程3…是按照一定的规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中的空白处．
方程方程的解
序
号
1x2+2x﹣3=0x1=1x2=﹣3
2x2+4x﹣12=0x1=2x2=﹣6
3x2+6x﹣27=0x1=x2=
…………
（1）请写出这列方程中第m个方程，并写出它的解；
（2）用你探究的规律解方程x2﹣8x﹣20=0．
【答案】x1=3，x2=﹣9；（1）x1=m，x2=﹣3m；（2）x1=10，x2=﹣2
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，
∵x2+6x﹣27=0，则（x﹣3）（x+9）=0，所以，x1=3，x2=﹣9；
（1）第m个方程为：x2+2mx﹣3•m2=0，方程的解是x1=m，x2=﹣3m；
（2）①x2﹣8x﹣20=0可化为（x﹣10）（x+2）=0，①方程的解是x1=10，x2=﹣2．讲解用时：8分钟
解题思路：利用因式分解法将方程3变形为（x﹣3）（x+9）=0，进而求解即可；（1）观察图表，一次项系数为从2开始的连续偶数，常数项是从1开始的连续自然数的平方的3倍的相反数，然后写方程，再根据方程的第一个解是连续自然数，第二个解是3的倍数的相反数写出即可；（2）利用因式分解法将方程3变形为（x﹣10）（x+2）=0，进而求解即可。

教学建议：熟练使用因式分解，理解一元二次方程的解与一次项系数和常数项的关系是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：龙口市期中 年份：2018春
【练习2】
已知直角三角形的两条边长恰好是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，则此直角三角形的斜边长是 。

【答案】5或29
【解析】本题考查了分解因式法解一元二次方程以及勾股定理，
①x 2﹣7x+10=（x ﹣2）（x ﹣5）=0，解得：x 1=2，x 2=5， 当方程的一根为斜边长时，此直角三角形的斜边长为5；
当方程的两根为直角边长时，此直角三角形的斜边长为295222=+， 故答案为：5或29． 讲解用时：5分钟
解题思路：利用分解因式法解一元二次方程可得出三角形的两条边长，当其中一边长为斜边长时，则此直角三角形的斜边长为方程较大的根；当两边均为直角边长时，利用勾股定理可求出此直角三角形的斜边长。

教学建议：注意分类讨论。

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：余杭区期末 年份：2017春
【例题3】
把方程x 2﹣2x ﹣3=0化为（x+h ）2
=k 的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，
k 为常数，那么本题中h+k 的值是 。

【答案】3
【解析】本题考查了配方法解方程，
移项，得x 2﹣2x=3， 配方，x 2﹣2x+1=4， 则（x ﹣1）2=4，
故h=﹣1，k=4，则h+k=﹣1+4=3．
讲解用时：3分钟
解题思路：首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可，则h和k即可求得，进而求值。

教学建议：熟记配方法的推导过程。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：绍兴期末年份：2017秋【练习3】
若方程2x2+8x﹣32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是。

【答案】第二象限
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法以及一次函数图像和性质，
由于x2+4x=16，则x2+4x+4=20，
①（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，
直线解析式为y=2x﹣20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
讲解用时：5分钟
解题思路：利用配方法得到（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，则直线解析式为y=2x﹣20，然后根据一次函数的性质解决问题。

教学建议：先用配方法确定参数的值，再由直线解析式确定图像特征。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：和平区校级月考年份：2017秋
【例题4】
用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0的解是（）。

A．x1=1+6，x2=1-6B．x1=2+6，x2=2-6
C．x1=1+5，x2=1-5D．x1=2+5，x2=2-5
【答案】A
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，
①=（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）=24，x=
1
224
2⨯±=1±6， 所以x 1=1+6，x 2=1-6，故选：A 讲解用时：3分钟
解题思路：先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程。

教学建议：牢记一元二次方程的求根公式。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：惠安县校级期中 年份：2017
【练习4】
在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=a 2﹣ab ，根据这个法则，下列结论中正确的是 。

（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①
*
=2﹣
；
①若a+b=0，则a*b=b*a ；
①（x+2）*（x+1）=0是一元二次方程； ①方程（x+3）*1=1的根是x 1=
，x 2=
【答案】①①①
【解析】本题考查一元二次方程的求解与应用以及实数的运算等知识，
*
=（
）2﹣
×
=2﹣
，①正确；
若a+b=0，则a=﹣b ，①a*b=a 2﹣ab=b 2﹣ba=b*a ，①正确； （x+2）*（x+1）=（x+2）2﹣（x+2）（x+1）=x+2，①错误； ①（x+3）*1=（x+3）2﹣（x+3）=x 2+5x+6，
①（x+3）*1=1即为方程x 2+5x+6=1，化简得x 2+5x+5=0， 解得x 1=
，x 2=
，①正确．
故答案为：①①①. 讲解用时：8分钟
解题思路：根据运算法则为a*b=a 2﹣ab ，一一判断即可。

教学建议：利用新的定义解决问题，根据运算法则为a*b=a 2﹣ab ，一一判断即可。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：开福区校级期中年份：2018
【例题5】
按要求解下列方程：
（1）4x2+4x﹣3=0 （用配方法解）；
（2）0.3y2+y=0.8 （用公式法解）
【答案】（1）x1=，x2=﹣；（2）y1=，y2=﹣4
【解析】本题考查了解一元二次方程的解法，
（1）4x2+4x+1=4，则（2x+1）2=4，
∴2x+1=±2，则x1=，x2=﹣；
（2）移项得0.3y2+y﹣0.8=0，
∵b2﹣4ac=12﹣4×0.3×（﹣0.8）=1.96，
∴y==，①y1=，y2=﹣4．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）利用配方得到（2x+1）2=4，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，再计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程。

教学建议：熟记不同方法的求解过程。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：惠民县期末年份：201
【练习5】
解下列方程：
（1）x2+4x+3=0；
（2）3x2+10x+5=0
【答案】（1）x1=﹣1，x2=﹣3；（2）x1=，x2=
【解析】本题考查了解一元二次方程的解法，
（1）因式分解，得（x+1）（x+3）=0，
于是得x+1=0或x+3=0，解得x1=﹣1，x2=﹣3；
（2）a=3，b=10，c=5，①=b 2﹣4ac=100﹣4×3×5=40＞0， 则x==
，
x 1=
，x 2=
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据公式法，可得答案。

教学建议：熟记不同方法的求解过程。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：新疆期末 年份：2018
【例题6】 已知方程x 2﹣3x+1=0，
（1）求x x 1
+
的值； （2）求x x 1
-的值；
（3）若a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根，求2a 2﹣6a+2017的值．
【答案】（1）3；（2）±5；（3）2015
【解析】本题考查了一元二次方程的解的意义、等式的性质以及完全平方公式，
（1）①x 2﹣3x+1=0，
①x≠0，方程两边同时除以x ，得x ﹣3+=0，①x
x 1
+=3； （2）①（x x 1-）2=（x x 1+）2﹣4=9﹣4=5，①x x 1
-=±；
（3）①a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根， ①a 2﹣3a+1=0，①a 2﹣3a=﹣1，
①2a 2﹣6a+2017=2（a 2﹣3a ）+2017=﹣2+2017=2015． 讲解用时：8分钟
解题思路：（1）由x 2﹣3x+1=0，可知x≠0，将方程两边同时除以x ，得到x ﹣3+x
1
=0，即可求出x x 1+
=3；（2）利用完全平方公式得出（x x 1-）2=（x x 1+）2﹣4=9﹣4=5，那么x
x 1
-=±5；（3）将x=a 代入方程x 2﹣3x+1=0，整理得出a 2﹣3a=
﹣1，那么2a 2﹣6a+2017=2（a 2﹣3a ）+2017=2015．
教学建议：利用整体思想处理，灵活使用公式求解。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：洪泽县期末 年份：2016秋
【练习6】
阅读下列材料：
（1）关于x 的方程x 2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以
x 1得：013=+-x x ，即31=+x x ，21)1(222++=+x x x x ，7232)1(12222=-=-+=+x x x
x （2）a 3+b 3=（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）；a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x 2﹣4x+1=0（x≠0），则x x 1+
= ，221x x += ，441x
x += ； （2）2x 2﹣7x+2=0（x≠0），求331x
x +的值。

【答案】（1）4，14，194；（2）8259 【解析】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，
（1）①x 2﹣4x+1=0，①x
x 1+
=4， ①（x x 1+）2=16，①2212x
x ++=16， ①221x x +=14，①（221x
x +）2=196， ①441x x ++2=196，①441x x +=194． （2）①2x 2﹣7x+2=0， ①x x 1+=27，221x
x +=441， ①331x x +=（x x 1+）（2211x x +-）=27×（441﹣1）=8259 讲解用时：10分钟
解题思路：（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决；（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可。

教学建议：利用整体思想处理，灵活使用公式求解。

难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：郴州模拟 年份：2018
【例题7】
关于x 的一元二次方程x （x ﹣2）=x ﹣2①与一元一次方程2x+1=2a ﹣x①．
（1）若方程①的一个根是方程①的根，求a 的值；
（2）若方程①的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a 的取值范围。

【答案】（1）2或27；（2）2≤a≤27
【解析】本题考查了一元二次方程的解的定义，
解方程①，得x 1=1，x 2=2，
解方程①，得x=
312-a ． 当3
12-a =1时，a=2； 当312-a =2时，a=2
7． 综上所述，a 的值是2或
2
7； （2）由题可知，1≤312-a ≤2，解得2≤a≤27． 讲解用时：8分钟
解题思路：（1）通过解方程①、①分别得到x 的值；然后列出关于a 的方程，解该方程即可；（2）根据题意列出关于a 的不等式，解不等式即可。

教学建议：（2）中求出根的表达式，再根据题意列出不等式求解。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：大庆模拟 年份：2018
【练习7】
设关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣1）x ﹣2=0与x 2﹣（a+3）x+3=0有公共根x 0，求a 的值。

【答案】 a=1或a=12
7 【解析】本题考查一元二次方程的解法，
根据题意可知：x 02+（2a ﹣1）x 0﹣2=0，①
x 02﹣（a+3）x 0+3=0，①
①×2得：2x 02﹣（2a+6）x 0+6=0，①
①+①得：3x 02﹣7x 0+4=0
解得：x 0=1或x 0=34，
当x 0=1时，①1+（2a ﹣1）﹣2=0，解得：a=1；
当x 0=34时，①916+34（2a ﹣1）﹣2=0，解得：a=127，
综上所述，a=1或a=
12
7 讲解用时：8分钟
解题思路：根据一元二次方程的解法即可求出答案。

教学建议：正确理解一元二次方程的解的概念，通过设置中间量x 0求解。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：昌江区校级期中 年份：2017秋 【例题8】
阅读题：一元二次方程ax 2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x 1和x 2，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根恰是原方程二根的3倍。

数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y ，则y=3x ，得3
y x =代入原方程得0)3
()3(2=++c y b y a 变形得ay 2+3by+9c=0此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法，解答：
（1）已知方程x 2+x ﹣2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为 ；
（2）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数。

【答案】（1）y 2﹣y ﹣2=0；（2）cy 2+by+a=0（c≠0）
【解析】本题考查了一元二次方程的解，
（1）设所求方程的根为y ，则y=﹣x ，则x=﹣y ．
把x=﹣y 代入已知方程x 2+x ﹣2=0，得 （﹣y ）2+（﹣y ）﹣2=0．
化简得：y 2﹣y ﹣2=0，故答案是：y 2﹣y ﹣2=0．
（2）设所求方程的根为y ，则y=x
1，所以x=y 1， 把x=y 1代入已知方程ax 2+bx+c=0（a≠0）得a （y 1）2+b•y
1+c=0， 去分母，得 a+by+cy 2=0．
若c=0，则ax 2+bx=0，于是方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意． ①c≠0，故所求的方程为：cy 2+by+a=0（c≠0）．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）设所求方程的根为y ，则y=﹣x ，则x=﹣y ．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；（2）设所求方程的根为y ，则y=
x
1，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可。

教学建议：解题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法即可。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：安陆市校级月考 年份：2015秋 【练习8】
已知方程（m ﹣1）x 2﹣（m 2+2）x+（m 2+2m ）=0，（n ﹣1）x 2﹣（n 2+2）x+（n 2+2n ）=0（其中m ，n 都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求m n •n m 的值。

【答案】256
【解析】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题， 将一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣（m 2+2）x+（m 2+2m ）=0分解因式解得
[（m -1）x -（m+2）]（x ﹣m ）=0，①或x=m （m≠1），
将一元二次方程（n ﹣1）x 2﹣（n 2+2）x+（n 2+2n ）=0分解因式解得
[（n ﹣1）x -（n+2）]（x ﹣n ）=0，①或x=n （n≠1），
①方程（m -1）x 2-（m 2+2）x+（m 2+2m ）=0，（n -1）x 2-（n 2+2）x+（n 2+2n ）=0有一个公共根，且m ，n 都是正整数，m≠n≠1，
①解得mn=m+n+2，
由奇偶性可知，m，n都为偶数，
①m≠n≠1，①m=2，n=4或n=2，m=4，①m n•n m=24•42=16×16=256.
讲解用时：15分钟
解题思路：由于一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）=0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）=0有一个公共根，求出这两个方程的根，根据条件列关于m，n的方程，解m，n即可求出m n•n m的值。

教学建议：通过因式分解法表示出两个方程的两个根，然后再根据条件列关于m，n的方程，解m，n即可。

难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：芜湖县校级月考年份：2013秋
课后作业
【作业1】
定义运算“①”：对于任意实数a，b，都有a①b=a2+b，如：2①4=22+4=8．若（x ﹣1）①3=7，则实数x的值是。

【答案】3或﹣1
【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，
依题意得：（x﹣1）2+3=7，整理，得（x﹣1）2=4，
直接开平方，得x﹣1=±2，解得x1=3，x2=﹣1．
讲解用时：4分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：洪洞县期末年份：2016春【作业2】
已知①ABC中，AB=8，AC=6，BC的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则①ABC的面积为。

【答案】24或8
【解析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质，
①x2﹣16x+60=0，①（x﹣6）（x﹣10）=0，解得：x1=6，x2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AC=BC=6，AB=8，CD是高，
①AD=4，CD==2，
①S①ABC=AB•CD=×8×2=8；
当x=10时，如图①，AC=6，BC=10，AB=8，
①AC2+AB2=BC2，①①ABC是直角三角形，①A=90°，
S①ABC=AB•AC=×8×6=24，
①该三角形的面积是：24或8．
讲解用时：8分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：南召县期末年份：2018
【作业3】
在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．
上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0或x﹣3=0
①x=0或x=3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程9x2﹣4=0
（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；
类比上面的思路，解决下列问题：
（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集。

【答案】（1）x1=﹣，x2=；（2），a1=3，a2=﹣1；（3）a＞3或a＜﹣1
【解析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，
（1）9x2﹣4=0，则（3x+2）（3x﹣2）=0，
①3x+2=0，3x﹣2=0，x1=﹣，x2=；
（2）a2﹣2a﹣3=0，则（a﹣3）（a+1）=0，
①a﹣3=0，a+1=0，a1=3，a2=﹣1；
（3）a2﹣2a﹣3＞0，
则（a﹣3）（a+1）＞0，即或，解得：a＞3或a＜﹣1，
即原不等式的解集为a＞3或a＜﹣1．
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：槐荫区期末年份：2017秋
【作业4】
解方程：
（1）（2x﹣1）2=9
（2）x2+3x﹣4=0（用配方法）
（3）3x2+5（2x+1）=0（用公式法）
（4）7x（5x+2）=6（5x+2）
【答案】（1）x1=2，x2=﹣1；（2）x1=1，x2=﹣4；
（3）x1=，x2=；（4）x1=﹣，x2=
【解析】本题考查一元二次方程的解法，
（1）（2x﹣1）=±3，①x1=2，x2=﹣1
（2）x2﹣3x=4，①x2﹣3x+（）2=4+（）2，
①（x﹣）2=，①x﹣=±
①x1=1，x2=﹣4
（3）3x2+10x+5=0，①a=3，b=10，c=5，①①=100﹣60=40＞0，
①x=，①x1=，x2=．
（4）（5x+2）（7x﹣6）=0，①5x+2=0或7x﹣6=0，x1=﹣，x2=
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：蓬溪县期末年份：2017秋。