应力波基础-第二章 一维杆中应力波初等理论(转)汇编
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2
子弹 气枪
测速仪
入射杆
光学应 变测量
应变片 试样
透射杆 应变片
εi, εr
εt
吸收杆 吸收装置
超动态应 变仪
示波器
计算机
应变片：固定物质点处的应变 测速仪：有物质经过某固定空间位置处记录时间 光学应变测量系统：记录固定空间区域介质的变形
3
描述介质运动的两种方法
物质坐标法 对象为质点，描述每个质点自始至终的运动过程， Lagrange法 研究质点的运动轨迹
12
控制方程
P(X)
假定：等截面
连续条件
dX
X X+dX
均质
P(X+dX)
细长杆
X 物质坐标
U单值连续，导数互换顺序
2u 2u X t tX
（2.11a）
u v t
（2.11b）
u
X
（2.11c）
v
X t
v 记作： X
t （2.11）
13
控制方程
P(X)
假定：等截面
dX
X X+dX
（随体法或跟踪法）
空间坐标法 对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质 Euler法： 点运动随时间的变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法）
研究 研究 … 研究
t=0
… t=T
…
? 研究 ?
t=0 t=T
4
Lagrange法（物质坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R
t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
随质点X观察物理量对时间的变化率。随体微商
空间微商：在固定的空间位置x上物理量随时间的变化率
p X(t) p
x
X
p (x(t),t) (x(t),t) X
物质微商 d (x,t) x (x,t) v
dt X
x t t X
t x x t
（2.4）
物质微商 （绝对微商）= 空间微商 (局部微商)：
15
物质坐标描述杆中纵波的控制方程
Hale Waihona Puke Baidu
P(X)
假定：等截面
控制方程
连续方程 vX t
dX
X X+dX
均质
P(X+dX)
细长杆
（2.16）
11
物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0 P(X)
A0
dX X X+dX
P(X+dX)
X 物质坐标
两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截 面只有均匀分布的轴向应力（只受纵向拉或压作用）。 u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t)
（2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷 的某一应变率范围内具有平均意义下的唯一的动态应力 应变关系. σ(ε)
物质波速 C dX （2.6）
dt W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
空间波速 c dx （2.7）
dt W
x
空间坐标中的随波微商：
d c （2.8）
dt W t x x t
物质坐标中的随波微商：
d C （2.9）
dt W t X
X t
当 x(X ,t) c v (1 )C （2.10）
dX
X X+dX
均质
P(X+dX)
细长杆
X 物质坐标
本构方程
应变率无关假定: ( ) （2.13）
一般 ( ) 是连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
vX t
0vt X
C2 1 d 0 d
vt C 2 X
（2.14）
t 0C 2vX （2.15）
波动方程
utt C 2uXX 0 （2.16）
+ 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物理量变化
空间微商（Euler微商）
对任一物理量： (x,t)
(x, t) （2.5）
t x
t x
10
随波微商
C
t0时刻
L氏
X
t时刻 v
X
X+C C
C
（E氏）
随波微商：随着波阵面观 察物理量随时间的变化率
c
波速的描述也与坐标选择有关 设t时刻波阵面传到质点X处:
应力波基础
教材：王礼立《应力波基础》第二版。国防工业出版社，2005.
1
第二章：一维杆中应力波初等理论
•§2.1物质坐标描述的一维杆中纵波控制方程 •§2.2波动方程求解法：特征线法 •§2.3半无限长杆中波传播问题：解析；图示 •§2.4空间坐标描述的控制方程 •§2.5强间断和弱间断，冲击波和连续波 •§2.6 波阵面上的守恒条件
拉格朗日坐标（物质坐标）：质点在参考构形（初始构形）中
的空间位置坐标。
对于不同的质点，其物质坐标的值不同，所以物质坐标可以用来标记某一质点。
质点A: X
身份证号码
质点A的运动轨迹：x x( X ,t) X U ( X ,t) 运动的L氏描述
拉格朗日坐标法（物质坐标法）： F F(X ,t)
F
F(X
X X (x,t) x U (x,t) 运动的E氏描述
欧拉坐标法（空间坐标法）：F F(x,t)
6
物质坐标法和空间坐标法的互换
x x(X ,t) X U (X ,t)运动的L氏描述 X X (x,t)运动的E氏描述
物质坐标法
空间坐标法
F ( X ,t) F ( X (x,t),t)
,t)
对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R
t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
若运动单值连续，则x x(X ,t)存在逆变换:
反映参数在各物质点上的分布
反映参数的空间分布
适合描述质点的运动变形特性
适合描述某流体元的运动变形特性
在固体力学中常用
流体力学最常用的解析方法
8
t V=4m/s
坐标
加速度
80us
运动过程中各物理量 发生变化：
x,U,v,a,σ,ε
物理问题
数学问题
位移
速度
应力
应变
9
物质微商和空间微商
物质微商：质点的物理量在运动中随时间的变化率，即跟
f (x,t)
F(X ,t)
f (x( X ,t),t) f (x,t)
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选 择，则根据研究问题的方便
7
物质坐标法和空间坐标法的比较
拉格朗日坐标法 F F ( X , t)
欧拉坐标法 F F (x,t)
分别描述各质点自始至终的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
均质
P(X+dX)
细长杆
X 物质坐标
动力学条件：运动方程或动量守恒方程
取微元dX考察，由牛二定律：
(0 A0dX )vt P X dX ,t P X ,t
P X dX ,t P(X ,t) P(X ,t) dX
X
P / A0
0vt X
（2.12）
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控制方程
P(X)
假定：等截面
子弹 气枪
测速仪
入射杆
光学应 变测量
应变片 试样
透射杆 应变片
εi, εr
εt
吸收杆 吸收装置
超动态应 变仪
示波器
计算机
应变片：固定物质点处的应变 测速仪：有物质经过某固定空间位置处记录时间 光学应变测量系统：记录固定空间区域介质的变形
3
描述介质运动的两种方法
物质坐标法 对象为质点，描述每个质点自始至终的运动过程， Lagrange法 研究质点的运动轨迹
12
控制方程
P(X)
假定：等截面
连续条件
dX
X X+dX
均质
P(X+dX)
细长杆
X 物质坐标
U单值连续，导数互换顺序
2u 2u X t tX
（2.11a）
u v t
（2.11b）
u
X
（2.11c）
v
X t
v 记作： X
t （2.11）
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控制方程
P(X)
假定：等截面
dX
X X+dX
（随体法或跟踪法）
空间坐标法 对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质 Euler法： 点运动随时间的变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法）
研究 研究 … 研究
t=0
… t=T
…
? 研究 ?
t=0 t=T
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Lagrange法（物质坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R
t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
随质点X观察物理量对时间的变化率。随体微商
空间微商：在固定的空间位置x上物理量随时间的变化率
p X(t) p
x
X
p (x(t),t) (x(t),t) X
物质微商 d (x,t) x (x,t) v
dt X
x t t X
t x x t
（2.4）
物质微商 （绝对微商）= 空间微商 (局部微商)：
15
物质坐标描述杆中纵波的控制方程
Hale Waihona Puke Baidu
P(X)
假定：等截面
控制方程
连续方程 vX t
dX
X X+dX
均质
P(X+dX)
细长杆
（2.16）
11
物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0 P(X)
A0
dX X X+dX
P(X+dX)
X 物质坐标
两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截 面只有均匀分布的轴向应力（只受纵向拉或压作用）。 u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t)
（2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷 的某一应变率范围内具有平均意义下的唯一的动态应力 应变关系. σ(ε)
物质波速 C dX （2.6）
dt W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
空间波速 c dx （2.7）
dt W
x
空间坐标中的随波微商：
d c （2.8）
dt W t x x t
物质坐标中的随波微商：
d C （2.9）
dt W t X
X t
当 x(X ,t) c v (1 )C （2.10）
dX
X X+dX
均质
P(X+dX)
细长杆
X 物质坐标
本构方程
应变率无关假定: ( ) （2.13）
一般 ( ) 是连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
vX t
0vt X
C2 1 d 0 d
vt C 2 X
（2.14）
t 0C 2vX （2.15）
波动方程
utt C 2uXX 0 （2.16）
+ 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物理量变化
空间微商（Euler微商）
对任一物理量： (x,t)
(x, t) （2.5）
t x
t x
10
随波微商
C
t0时刻
L氏
X
t时刻 v
X
X+C C
C
（E氏）
随波微商：随着波阵面观 察物理量随时间的变化率
c
波速的描述也与坐标选择有关 设t时刻波阵面传到质点X处:
应力波基础
教材：王礼立《应力波基础》第二版。国防工业出版社，2005.
1
第二章：一维杆中应力波初等理论
•§2.1物质坐标描述的一维杆中纵波控制方程 •§2.2波动方程求解法：特征线法 •§2.3半无限长杆中波传播问题：解析；图示 •§2.4空间坐标描述的控制方程 •§2.5强间断和弱间断，冲击波和连续波 •§2.6 波阵面上的守恒条件
拉格朗日坐标（物质坐标）：质点在参考构形（初始构形）中
的空间位置坐标。
对于不同的质点，其物质坐标的值不同，所以物质坐标可以用来标记某一质点。
质点A: X
身份证号码
质点A的运动轨迹：x x( X ,t) X U ( X ,t) 运动的L氏描述
拉格朗日坐标法（物质坐标法）： F F(X ,t)
F
F(X
X X (x,t) x U (x,t) 运动的E氏描述
欧拉坐标法（空间坐标法）：F F(x,t)
6
物质坐标法和空间坐标法的互换
x x(X ,t) X U (X ,t)运动的L氏描述 X X (x,t)运动的E氏描述
物质坐标法
空间坐标法
F ( X ,t) F ( X (x,t),t)
,t)
对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R
t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
若运动单值连续，则x x(X ,t)存在逆变换:
反映参数在各物质点上的分布
反映参数的空间分布
适合描述质点的运动变形特性
适合描述某流体元的运动变形特性
在固体力学中常用
流体力学最常用的解析方法
8
t V=4m/s
坐标
加速度
80us
运动过程中各物理量 发生变化：
x,U,v,a,σ,ε
物理问题
数学问题
位移
速度
应力
应变
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物质微商和空间微商
物质微商：质点的物理量在运动中随时间的变化率，即跟
f (x,t)
F(X ,t)
f (x( X ,t),t) f (x,t)
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选 择，则根据研究问题的方便
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物质坐标法和空间坐标法的比较
拉格朗日坐标法 F F ( X , t)
欧拉坐标法 F F (x,t)
分别描述各质点自始至终的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
均质
P(X+dX)
细长杆
X 物质坐标
动力学条件：运动方程或动量守恒方程
取微元dX考察，由牛二定律：
(0 A0dX )vt P X dX ,t P X ,t
P X dX ,t P(X ,t) P(X ,t) dX
X
P / A0
0vt X
（2.12）
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控制方程
P(X)
假定：等截面