椭圆的弦中点问题解析版(供参考)

东光一中 高二 年级 数学 学科课时练
出题人： 许淑霞 出题时间：
椭圆的中点弦问题学案
学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题
掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想
体会两种方法：判别式法与点差法
学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程：
一、方法总结：
1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。

2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：
（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。

（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

3、设直线的技巧：
（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。

（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。

（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。

3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：
（1）求过中点的弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；
（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
二、题型复习：
（一）、求过中点的弦所在直线方程问题
例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,1
2
)且被点p 平分的弦所在直线方程 注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；
（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

结论：（1） 设椭圆122
22=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则
00
22y x a b k AB
•-=,22
AB op b k k a
=- （2） 设双曲线122
22=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。

（3）设抛物线px y 22
=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则
0y p
k AB =。

练习1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是
1
4)
2(82221+-=+k k k x x ，
又M 为AB 的中点，所以21
4)
2(422221=+-=+k k k x x ， 解得2
1
-=k ，
故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，
所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642
121=+y x ， 1642
22
2=+y x ，
两式相减得0)(4)(2
2212221=-+-y y x x ，
所以21)(421212121
-=++-=--y y x x x x y y ，即21
-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。

（二）过定点的弦和平行弦的中点轨迹
例2：已知椭圆12
22
=+y x ， （1） 过点()0,2P 引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。

（2） 求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。

解法一：设过点()0,2P 的直线方程为)2(-=x k y ，联立方程⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=12
)2(2
2y x x k y ，消去y ，整理得0144212222=-+-⎪⎭
⎫
⎝⎛+k x k x k ，设弦的两个端点为()11,y x A 、()22,y x B ，中
点()y x M ,，
则22212142k k x x x +=+=，x
x k 242
-=，代入)2(-=x k y 得()22
1
)2(24)2(2222--=--=
-=x x x x x x k y ，即12)1(22=+-y x 又过点()0,2P 的直线与椭圆相交，所以()()01421442222>-⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=∆k k k
解得2102≤
≤k ，即2
1
240≤-≤x x ，解得10<≤x 。

当k 不存在时，不满足题设要求，舍去。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(22=+-y x （10<≤x ）
解法二：设弦的两个端点为()11,y x A 、()22,y x B ，中点()y x M ,，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=+1
2
122222212
1y x y x
两式相减得02
2
2212
221=-+-y y x x ，整理得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ， 由题意知21x x ≠，所以
()AB k y x y y x x x x y y =-=+-+=--2221212121，又2
-=x y
k AB ，所以
y
x
x y 22-=-， 整理得12)1(22=+-y x 。

又过点()0,2P 的直线与椭圆相交，与解法一同理可得
10<≤x 。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(22=+-y x （10<≤x ） 注意：⑴当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件
0>∆，并求出x （或y ）的取值范围；⑵验证斜率不存在的情况是否符合题意。

练习1、 过椭圆
136
642
2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
则有⎩⎨⎧=+=+576
1695761692
2222121y x y x ，两式相减得0)(16)(92
2212221=-+-y y x x ， 又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ， 所以
y x x x y y 1692121=--，而)
8(0
---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。

化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）。

解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ），由281-=
x x ，2
1y
y =可得821+=x x ，y y 21=，
又因为Q 在椭圆上，所以
136642
12
1=+y x ，即136
464)4(42
2=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为
19
16)4(2
2=++y x （8-≠x ）。

练习2、已知椭圆1257522=+
x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1
=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
1
0=
x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x
y ，125
752
222=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴
212123
y x x y y -=--
32121=--=
x x y y k ∴ 3230=-y ，即2
1
0-=y
∴点M 的坐标为)2
1
,21(-。

（三）、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例3、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的
中点的横坐标为
2
1
，求椭圆的方程。

解：设椭圆的方程为122
22=+b
x a y ，则5022=-b a ┅┅①
设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=
x ，2
1
2300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又122
122
1=+b x
a y ，122
222
2=+b
x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(212212=-+--x x a y y b
∴ 2
22121b a x x y y =
-- ∴ 322=b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252=b
∴所求椭圆的方程是
125
752
2=+x y 练习3、平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线
x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程；
解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，
由此可得b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－y 2－y 1
x 2－x 1
＝1.
∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0
＝1
2，
∴a 2＝2b 2.①
又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，∴a 2－b 2＝3.② 由①②得a 2＝6，b 2＝3.
∴M 的方程为x 26＋y 2
3＝1.。