动态法测定弹性模量

实验一动态法测定弹性模量

物理与电子信息学院物理学专业 09物理汉班，内蒙古呼和浩

特 010022

指导教师：哈斯朝鲁

摘要：弹性模量包括扬氏模量（E）和切变模量（G），连同泊松比（μ）共称弹性系数，这三个系数相互之间的关系由关系式μ=2G/E－1所决定。弹性模量测定方法共有三类：静态法、波传播法、动态法。本实验采用动态弯曲共振法测定弹性模量。

1.引言

弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。弹性模量测定方法主要有三类：1)静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形

变及常温下测定。该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；

2)波传播法（含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在

室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；

3)动态法（又称共振法、声频法）：包括弯曲（横向）共振、纵向共

振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定

温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。

2. 正文

【实验目的】

1. 了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；

2. 掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；

3. 掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；

4. 了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；

5. 培养综合使用知识和实验仪器的能力。

【实验仪器】

动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz)、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。

【实验原理】

对长度L 直径d 条件的细长棒，当其作微小横振动（又称弯曲振动）时，其振动方程为：

02244=∂∂+∂∂t y EI S x y ρ （13-1） 式中y 为竖直方向位移，长棒的轴线方向为x ，E 为试棒的杨氏模量，

ρ为材料密度，S 为棒横截面，I 为其截面的惯性矩，⎰=dS Sy I 2。用分

离变量法求解方程（13-1）的解，令

)()(),(t T x X t x y = （13-2） （13-2）式代入（13-1）式得224411dt T d T EI S dx X d X ρ-=，该等式两边分别是变量x 和t 的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为4K ，则 0)()(444=-x X K dx x X d （13-3） 0)()(422=+t T S EI K dt t T d ρ （13-4） 设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为： chKx c shKx c Kx c Kx c x X 4321cos sin )(+++= （13-5） t c t c t T ωωcos sin )(65+= (13-6) 式（13-2）横振动方程的通解为：

)cos sin )(cos sin (),(654321t c t c chKx c shKx c Kx c Kx c t x y ωω++++= (13-7) 式中

412

()K EI S ωρ=

（13-8）

该式通称频率公式。

实际棒的振动模式取决于边界条件。

推论证明：该式对于任意形状截面、不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件定出常数K ，代入特定截面的惯性矩，就可以得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力及力矩为零，即：

033=∂∂-=∂∂-=

x y EI x M F ； 022=∂∂-=x y EI M ；3223332200()

()()0 0 0

0()x l x x x l d X x d X x d X x d X x ,,,dx dx dx dx ========。

将通解带入边界条件得到：

1cos Kl chKl ⋅= （13-9） 可用数值解法求得本征值K 和棒长应满足：0 4730 7853 10966 14137n K L ,.,.,.,.......=

式中00=L K 的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作

L K 1，一般将1K 对应的频率叫做基频，此时棒上波形分布如图

13-1所示，而27853K L .=叫一次谐波。对应的波形分布如图13-2所示。由图可

见，试棒作基频振动时有两个节点、其位置距端面分别为L 224.0和L 776.0。而对一次谐波2K 共有三个节点、其位置距端面分别为L 132.0、L 500.0和L 868.0。实验证明：棒上振动分布确实如此。

图13-1 图13-2

将第一个本征值14730K

.l =代入频率公式（13-8），可得到自由振动时的固有频率。

基频

()14244.730EI Sl ωρ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因对圆形棒有：224⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰d S ds sy I ，整理后 2436067.1f d m l E =圆形 (13-10)

同理，对b 为宽度、h 为厚度的矩形棒有：

2

394644.0f b m h l E ⎪⎭⎫ ⎝⎛=矩形 (13-11)

也能推出上述试样切变模量与共振频率关系： 22093.5G f d ml G =圆形 (13-12) 2000.4G f bh ml G =矩形 （13-13)

式中：长度l 、直径d 、宽b 、厚h 、等几何尺寸均以米为单位，质量

m 以千克为单位，频率f 以赫兹为单位，计算出弹性模量单位为-2Nm 。

已知1122

42K EI EI K S S ωρρ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又,2πνω=

设 l K Kl Kl πβπβπβ==

=,, 则 2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=S EI l ρπβπν

容许频率为 222βρπ

νS EI l =

（13-14）

对于基频，5056.1=β，对各谐频)1(5.0>+≈n n β

棒的振动模式：将3142,c c c c ==代入式（13-5），得

)(cos )(sin )(21chKx Kx c shKx Kx c x X +++=

则

)(cos )(sin )(212chKx Kx shKx Kx c c c x X +++=

（13-15）

从附录（16）式可知