光子晶体的理论研究数值模拟及应用
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sinθ0=n1sinθ1=n2sinθ2 ? 同时我们还知道，由于ky只是波矢k的一个分量必
然有：
? Figure2中，虚线和ω轴夹的部分代表了上不等式。
? 真实情况中只有不等式代表的这一部分是可能发 生的。
? 取出真是可能的部分我们不难发现，在每个阴影 带之间都有一部分带隙，并且这一部分带隙的一部分 形成完全带隙：这一部分无论ω如何取值，在真实情 况下都不会有对应的ky使这个光波落到阴影区域。也 就是说这个频率的光波无论如何角度入射都不可能射 到光子晶体里了。
（1）
? 通过转移矩阵可以方便的计算给光在任意多层一维光子晶 体材料中的反射和透射，因为在上述讨论中没有考虑到传 播过程中光的吸收与产生，可以验证转移矩阵的横列式为 1即：
det(T)=1
2)光子带隙
? 考虑一维无限大的光子晶体，两种电介质沿着z有交替 排列形成周期为a的结构，我们将电场写为：
----by 陈诺、曹明明、张宇檀、谢忱、任宇星
光子晶体的定义
光子晶体(Photonic Crystals, PCs)是一种（人工）周 期介质结构，由不同折射率材料周期性地交替排列而 成。
具有特殊的光学及电磁学性质。
目录
? 提出背景及发展历史 ? 理论研究 ? 数值研究 ? 光子晶体的制备 ? 实验研究 ? 性质 ? 应用
?
因此电场对z的依赖关系可以写成一个周期函数和平
面波的乘积：
? 上面的方程就是布洛赫（Bloch）定理，与之等价的表达式为：
? 将(1)带入到(3)中可得:
3）一维光子晶体的全反射
? 考虑TE光波从真空投影到一维光子晶体以z轴为法 线的表面上。设第一次电介质的折射率为n1，记入射 角为 θ0，光线在第一层和第二层的折射角分别为θ1 和θ2。因为各层电介质互相平行，所以θ1也是第二 层的入射角。因此我们有
研究现状
? 在进度上，由于制备上的难度，三维光子晶 体的研究要比二维光子晶体慢得多。
? 就目前而言，使用半导体技术去制备三维光 子晶体是不成功的，但是，科学家们利用了 其他的一些技术，已经取得了一定的进步。
? 发现各种天然光子晶体，如巴西的甲虫鳞片
理论研究
1、一维光子晶体 1）一维光子晶体的转移矩阵
? 如果把光波时间部分分离，得到空间部分便是一 个本征方程：
? 对于TE波：
? 对于TM波：
二者的求解方式是完全类似的，因此后面只讨论TE波
2）结构与数学表达、倒格子
利用倒格子空间进行傅里叶级数展开
? 1、倒格子空间实际上是k空间 ? 2、用倒格子空间的格点展开在三维空间的函数形如： ? ???? = Σ??? 1 ? 2 ? 3 ????? 1 ??1+? 2??2+? 3 ??3 ??? = Σ??? 1 ? 2 ? 3 ????????? ? 也就是说实空间的函数可以用倒空间的格点直接进行
发展历史
首次提出
? 在1887年，Lord Rayleigh在它的研究中表明在光子 晶体中存在一维光子带隙
?
Vladimir P. Bykov 首次就一维光子晶体结构的理论
做出了细致的研究，他也是首个研究了在光子晶体结
构中，光子带隙对原子与分子的自发辐射的影响的科
学家。
?
同时，Bykov 还预测了在二维与三维光子晶体结构
中可能会发生的现象。
三维光子晶体
? 三维光子晶体的概念是由Ohtaka于1979年提出的， 同时他也发展出了一套理论用于计算光子能带结构。
? 直到在1987年，Ohtaka才受到了关注。
? Yablonovitch：改变光子的态密度从而去控制嵌入到光 子晶体内部结构中的材料的自发辐射。 John： 利用光子晶体去定位和控制光子
?
如下图所示，考虑两种层状介质沿x方向周期地
交替排列，它们的厚度分别为h1和h2，相对于真空的折射
率分别为n1和n2，电介质沿x和y方向均匀，折射率是z的
函数
? 其中m=1,2,3...，电介质沿z方向的周期为a=h1+h2。
? 在某一层电介质中，电场满足亥姆霍兹方程式，有平面 波解。设角频率为ω的电磁波在yz平面传播，即波矢k只 有ky分量和kz分量，电场E垂直于yz平面且与x无关（TE 波），它沿y方向是平面波，沿z方向则由一个向前入射波 和一个往后反射波构成。第α (α =1,2)种电介质层中电 场可写成
Leabharlann Baidu
早期研究
? 1987年以后，光子晶体发展迅速 ? 由于制备的难度，仍存在很大局限性
半导体材料光子晶体
? 到1991年，Yablonvitch实现三维光子带隙，并命名 为Yablonvite
? 1996年，Thomas Krass 制备了半导体材料的光子晶体
? 将光子晶体应用于通讯尚未成熟，但二维光子晶体中 的光子晶体光纤已经在商业上被广泛应用。
?
这就是一维光子晶体的全反射。
? 但是实际上利用一维光子晶体的全反射效应制备 光纤并不常用或者说实用，在实际应用中我们通常使 用二维光子晶体制备光纤。
? 下面我们来分析二维光子晶体的能带结构和完全 带隙产生的全反射效应。
2、二维光子晶体 ---平面波展开法 1）光波本征方程
? 在课程中已经学习过，麦克斯韦方程组经过变形， 在自由电荷和电流都不存在的空间可以简化成一个波 动方程。
光子晶体的提出
? 在1987年之前，光子晶体已取得了一些进展
? 1987年，Eli Yablonovitch 和SajeevJohn发表了2篇有关光 子晶体里程碑的文章。
? 自从1987年起，具有空间周期性介质的结构的一维光 子晶体（如布拉格镜面）就开始被广泛地研究。
? 此后，二维、三维的光子晶体也逐渐受到了人们的关 注。
傅里叶级数展开
将介电常数傅里叶级数展开
? 所谓简单晶格光子晶体，即每一个光子晶体原胞 只含有一个散射体。
?
上图的模型中采用相对介电常数为????的无限长电
?
其中μ(z)=μ(z+ma)为周期性的函数，另一个函数
f(z)待定
因为不考虑光的吸收和产生所以在这样的无限长的 结构之中稳定的能量密度和能流密度的分布应当呈现出周 期性而却由于|E(y,z+ma,t|=|E(y,z,t)|因此有： |f(z+ma)|=|f(z)|
?
上式对于任意m成立的条件为：f(z)=e^(iKz)
然有：
? Figure2中，虚线和ω轴夹的部分代表了上不等式。
? 真实情况中只有不等式代表的这一部分是可能发 生的。
? 取出真是可能的部分我们不难发现，在每个阴影 带之间都有一部分带隙，并且这一部分带隙的一部分 形成完全带隙：这一部分无论ω如何取值，在真实情 况下都不会有对应的ky使这个光波落到阴影区域。也 就是说这个频率的光波无论如何角度入射都不可能射 到光子晶体里了。
（1）
? 通过转移矩阵可以方便的计算给光在任意多层一维光子晶 体材料中的反射和透射，因为在上述讨论中没有考虑到传 播过程中光的吸收与产生，可以验证转移矩阵的横列式为 1即：
det(T)=1
2)光子带隙
? 考虑一维无限大的光子晶体，两种电介质沿着z有交替 排列形成周期为a的结构，我们将电场写为：
----by 陈诺、曹明明、张宇檀、谢忱、任宇星
光子晶体的定义
光子晶体(Photonic Crystals, PCs)是一种（人工）周 期介质结构，由不同折射率材料周期性地交替排列而 成。
具有特殊的光学及电磁学性质。
目录
? 提出背景及发展历史 ? 理论研究 ? 数值研究 ? 光子晶体的制备 ? 实验研究 ? 性质 ? 应用
?
因此电场对z的依赖关系可以写成一个周期函数和平
面波的乘积：
? 上面的方程就是布洛赫（Bloch）定理，与之等价的表达式为：
? 将(1)带入到(3)中可得:
3）一维光子晶体的全反射
? 考虑TE光波从真空投影到一维光子晶体以z轴为法 线的表面上。设第一次电介质的折射率为n1，记入射 角为 θ0，光线在第一层和第二层的折射角分别为θ1 和θ2。因为各层电介质互相平行，所以θ1也是第二 层的入射角。因此我们有
研究现状
? 在进度上，由于制备上的难度，三维光子晶 体的研究要比二维光子晶体慢得多。
? 就目前而言，使用半导体技术去制备三维光 子晶体是不成功的，但是，科学家们利用了 其他的一些技术，已经取得了一定的进步。
? 发现各种天然光子晶体，如巴西的甲虫鳞片
理论研究
1、一维光子晶体 1）一维光子晶体的转移矩阵
? 如果把光波时间部分分离，得到空间部分便是一 个本征方程：
? 对于TE波：
? 对于TM波：
二者的求解方式是完全类似的，因此后面只讨论TE波
2）结构与数学表达、倒格子
利用倒格子空间进行傅里叶级数展开
? 1、倒格子空间实际上是k空间 ? 2、用倒格子空间的格点展开在三维空间的函数形如： ? ???? = Σ??? 1 ? 2 ? 3 ????? 1 ??1+? 2??2+? 3 ??3 ??? = Σ??? 1 ? 2 ? 3 ????????? ? 也就是说实空间的函数可以用倒空间的格点直接进行
发展历史
首次提出
? 在1887年，Lord Rayleigh在它的研究中表明在光子 晶体中存在一维光子带隙
?
Vladimir P. Bykov 首次就一维光子晶体结构的理论
做出了细致的研究，他也是首个研究了在光子晶体结
构中，光子带隙对原子与分子的自发辐射的影响的科
学家。
?
同时，Bykov 还预测了在二维与三维光子晶体结构
中可能会发生的现象。
三维光子晶体
? 三维光子晶体的概念是由Ohtaka于1979年提出的， 同时他也发展出了一套理论用于计算光子能带结构。
? 直到在1987年，Ohtaka才受到了关注。
? Yablonovitch：改变光子的态密度从而去控制嵌入到光 子晶体内部结构中的材料的自发辐射。 John： 利用光子晶体去定位和控制光子
?
如下图所示，考虑两种层状介质沿x方向周期地
交替排列，它们的厚度分别为h1和h2，相对于真空的折射
率分别为n1和n2，电介质沿x和y方向均匀，折射率是z的
函数
? 其中m=1,2,3...，电介质沿z方向的周期为a=h1+h2。
? 在某一层电介质中，电场满足亥姆霍兹方程式，有平面 波解。设角频率为ω的电磁波在yz平面传播，即波矢k只 有ky分量和kz分量，电场E垂直于yz平面且与x无关（TE 波），它沿y方向是平面波，沿z方向则由一个向前入射波 和一个往后反射波构成。第α (α =1,2)种电介质层中电 场可写成
Leabharlann Baidu
早期研究
? 1987年以后，光子晶体发展迅速 ? 由于制备的难度，仍存在很大局限性
半导体材料光子晶体
? 到1991年，Yablonvitch实现三维光子带隙，并命名 为Yablonvite
? 1996年，Thomas Krass 制备了半导体材料的光子晶体
? 将光子晶体应用于通讯尚未成熟，但二维光子晶体中 的光子晶体光纤已经在商业上被广泛应用。
?
这就是一维光子晶体的全反射。
? 但是实际上利用一维光子晶体的全反射效应制备 光纤并不常用或者说实用，在实际应用中我们通常使 用二维光子晶体制备光纤。
? 下面我们来分析二维光子晶体的能带结构和完全 带隙产生的全反射效应。
2、二维光子晶体 ---平面波展开法 1）光波本征方程
? 在课程中已经学习过，麦克斯韦方程组经过变形， 在自由电荷和电流都不存在的空间可以简化成一个波 动方程。
光子晶体的提出
? 在1987年之前，光子晶体已取得了一些进展
? 1987年，Eli Yablonovitch 和SajeevJohn发表了2篇有关光 子晶体里程碑的文章。
? 自从1987年起，具有空间周期性介质的结构的一维光 子晶体（如布拉格镜面）就开始被广泛地研究。
? 此后，二维、三维的光子晶体也逐渐受到了人们的关 注。
傅里叶级数展开
将介电常数傅里叶级数展开
? 所谓简单晶格光子晶体，即每一个光子晶体原胞 只含有一个散射体。
?
上图的模型中采用相对介电常数为????的无限长电
?
其中μ(z)=μ(z+ma)为周期性的函数，另一个函数
f(z)待定
因为不考虑光的吸收和产生所以在这样的无限长的 结构之中稳定的能量密度和能流密度的分布应当呈现出周 期性而却由于|E(y,z+ma,t|=|E(y,z,t)|因此有： |f(z+ma)|=|f(z)|
?
上式对于任意m成立的条件为：f(z)=e^(iKz)