第20届全国希望杯数学邀请赛高一数学第二试试题及参考答案(第1类)

第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试（第1类）

一、选择题（每题4分，40分）

1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ）

A ．()h x 的最大值是M+N

B ．()h x 的最小值是m ＋n

C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+

D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集

2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．不确定的

4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ）

A ．S ≠⊂T

B ．T ≠

⊂S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）

A ．9

B ．6

C ．18

D ．16

6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ）

A ．方程没有整数根

B ．方程有两个相等的整数根

C ．方程有两个不相等的整数根

D ．不能判定方程整数根的情况

7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22

x y x x =-的值域是（ ） A

．( B

．( C

． D

． 8、已知e

tan ）

A

．<< B

．sin << C

．sin < D ．

<<9、()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）

A ．()f x 的图像关于x ＝2对称

B ．()f x 的图像关于点(4,0)-对称

C ．()f x 的周期为4

D ．()f x 的周期为8

10、某航空公司经营A,B,C,D 四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下： A,B 区间：2000元；A,C 区间：1600元；A,D 区间：2500元；B,C 之间：1200元；C,D 区间：900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D 区间机票价格为（ ）

A ．1200元

B ．1500元

C ．1600元

D ．2000元

二、填空题（每题4分，共40分）

11、如图1，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B —C —D —A 的

顺序运动，得到以点P 运动的路程x 为

自变量，△ABP 的面积y 为函数的图像，

如图2，则梯形ABCD 的面积为 。

12、锐角△ABC 的三个内角的度数成等

比数列，且B ＝2A ，则其中最小角的值等于 。

13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等，则当前n 项和最小时，n ＝ 。

14、已知等比数列｛a n ｝中，a 3＝2，当此数列的前5项和取得最小值时，前5项依次为 。

15、已知3432

()23,(())4474f x x x f g x x x x x =--=+--，则()g x 的各项系数（包括常数项）的和等于 。 16、设O 为△ABC 内一点,则OA BC OB CA OC AB ⋅+⋅+⋅ = 。

17、The number 2009 has the following properties:

①It is divisible by 7 ;②When divisible by 8, it has a remainder of 1;③When divisible by 9, it has a remainder of 2。The 3－digit number with the above properties is 。

18

4=，则23x y +的取值范围是 。

19、2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different positive mumber of apples 。How many children are there at the most ？Answer ：

20、设集合A ＝｛1，2，3，…，n ｝，则集合A 的所有非空子集中元素和的和等于 。

三、解答题 每题都要写出推算过程

21、本题10分

图1

已知关于x 的不等式250ax x a

-<-的解集为M ，若2及－1有且恰有一个不在M 中，求实数a 的取值范围。

22、本题满分15分

向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1

（1）当|a ＋tb|取得最小值时，求t 的值；

（2）当|a ＋tb|取得最小值时，证明：b ⊥（a ＋tb ）

23、本题满分15分

数列｛a n ｝是各项均为正数的等差数列，前n 项的和为S n 。数列｛b n ｝是等比数列，且满足111b a ==，33b S ＝144，{}n a b 的公比＝16，求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式。

参考答案

DBCAD ACCCB

11、104

12

、37

13、8或9

14、2，－2，2，－2，2

15、0或2

16、0

17、497

18、[9,17]

19、62

20、2(1)2n n n -+⋅

21、当2,1M M ∈-∉时，有2

50

450a 1

1a a a a -⎧<⎪⎪-⎨--⎪≥⎪-⎩或＝

解得a 的范围为5

5][1,)(4,)2∞+∞ （－，－

当2,1M M ∉-∈时，有250a 45

1a a a a -⎧≥⎪⎪-⎨--⎪<⎪-⎩或

＝4

解得a 的范围为φ

综上所述：a 的范围为55][1,)(4,)2

∞+∞ （－，－

22、（1）22||1a tb t t +=++ ，∴当t ＝12-时，||a tb +

最小