数值分析chap1

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打印稿(不需要计算过程) 打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院和专业 课间交给任课老师（结课之前） 课间交给任课老师（结课之前） 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑： 答疑：课间 周一下午2:00 4:00中心教学楼816 2:00— 00中心教学楼 周一下午2:00—4:00中心教学楼816 • 建议或问题：管理系统， 建议或问题：管理系统， 或发邮件xlma@ 或发邮件xlma@
例：2=1.41421356237310......
x* =1.414213做为 2的近似值，有几位有效数字？ 1 * * 解： e( x )|= | x − x |= 0.0000005623⋯< ×10−5 | 2
准确到小数点后第 5 位， 6位有效数字 有 1 * ε 例 若 = 2376490,且 = ×104，x*有几 有 数 ？ ： x 位 效 字 2 解： x*准 到104位 x*有3位 效 字 确 ， 有 数 ,
第一章
§1
误差
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 截断误差
b
b−a [ f (a ) + f (b)] = I1 I = ∫ f ( x)dx≈ a 2 (b − a )3 (2) R = I − I1 = − f ( ξ ), ξ ∈ (a , b) 12
1 定理 .1 : x* = ±0.a1a2 ......an ... ×10m (a1 ≠ 0)
1 x 有 位有效数字 εr ( x ) = n ⇒ ×10−n+1 2a1
* *
反之
1 εr ( x ) = n ×10−n+1 ⇒ x*至少有 位有效数字 2(a1 + 1)
*
1 1 1 m−n ≤ ×10−n+1 ×10 × * ≤ x 0.a1 ⋯an ×10m 2a1 2 1 1 −n+1 ∗ m ×10 ×0.(a + 1) ×10 ≤ ×10−n+m ε = εr | x | ≤ 1 2(a1 + 1) 2
绝对误差限ε =
1 ×10−3 2
−3
0.5×10 相对误差限εr = 1.414
≈ 0.035%
2.2
∗
有效数字
x∗做 x的 似 ， 绝 误 限 为 近 值 其 对 差 为
x某 位 数 的 个 位 一 上 字 半 单
1 |x − x | ≤ ×10n 2
*
说 就 x准 到 位 从 左 第 位 零 字 确 该 ， x 边 一 非 数
* n * * 1 * 2 * n * i
特别地， 特别地，和、差、积、商的误差公式为： 商的误差公式为： e( x ± x )= e( x ) ± e( x ) 1 2 1 2 x1 x2 er ( x1 ± x2 ) = x ± x er ( x1 ) ± x ± x er ( x2 ) 1 2 1 2
ε = |x*|εr
ε( x) 0.02 上例，εr ( x) = * = = 0.002 x 10 ε( y) 0.05 εr ( y) = * = = 0.0016 < 0.002 y 30
例：
2 ≈ 1.414
(1.41421356237310......)
是经过四舍五入得到的近似值， 是经过四舍五入得到的近似值，则
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关 还和该量的大小有关. 为了更好地反映测量值的精度，引入
e( x**) e( x ) e( x* ) * ( x**) = ≈ 相对误差er ( x ): er ( x ) = er * * x x
相对误差限εr : | er ( x* )|≤ εr
两种误差限的关系： ε = ε 两种误差限的关系 r |x*|
εr =
ε
说明：有效数字位数越多相对误差限越小
0.1% 例： 为使 20 近似值的相对误差限小于 的 要取几位有效数字？
解: （用绝对误差限和有效数字的关系） 用绝对误差限和有效数字的关系） 要使绝对误差限满足
ε = εr × | x | < 20 ×10−3 = 0.4⋯×10−2
需要准确到小数点后第三 位，
取四位有效数字. 取四位有效数字
注：也可以用相对误差限和有效数字的关系
x 0.3 ， 例：已知 的相对误差限是 %
*
至少有几位有效数字？ 问x*至少有几位有效数字？
解1：相对误差限和有效数字的关系 ：
设x = 0.a1 ⋯an ×10
*
*
m
1 εr ( x ) = n ×10−n+1 ⇒ x*至少有 位有效数字 2(a1 + 1)
1 上述各近似值的绝对误差限： × 10−3 2
宽为10m，长的误 例：测得会议室的长为30m宽为 测得会议室的长为 宽为 ， 差不超过5cm, 宽的误差不超过 宽的误差不超过2cm, 如何表示？ 如何表示？ 差不超过
y(长) = 30 ±0.05(m) x(宽 = 10 ± 0.02(m) )
哪一个精度高？ 哪一个精度高？
四舍五入的原则： 四舍五入的原则： 1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位 2. 舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位 舍入部分刚好是末位数的半个单位， 凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数 分别取三位小数 0.714, 0.776, 0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位. 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
1 0 为使 .3%≤ ×10−n+1 2(a1 + 1)
取最小值
a1 = 9
得n = 2 有两位有效数字 ，
x 0.3 ， 例：已知 的相对误差限是 %
*
至少有几位有效数字？ 问x*至少有几位有效数字？
用绝对误差限和有效数字的关系） 解2: （用绝对误差限和有效数字的关系）
设x = 0.a1 ⋯an ×10
* *
*
*
注: 绝对误差限不唯一
例：
毫 刻 的 尺 量 长 为 如 出 用 米 度 米 测 一 度 x， 读 的 长 是 * = 765mm, 其绝对误差限为0.5mm 度 x
准确值x：764.5 mm ≤ x ≤ 765.5 mm
x ∈ [764.5 mm, 765.5 mm].
x = 765 ± 0.5( mm)
* ∗ 1 ∗ 2 ∗ n
∂f ( x , x ,...,x ) * e( xi ) ≈∑ ∂xi i=1
n * 1 * 2 * n
x e( y ) ∂f ( x , x ,..., x ) * er ( y ) = * = ∑ e (x ) * * r i y f ( x1 ,..., xn ) ∂xi i=1
§3 数值计算中误差的传播 3.1 基本运算中的误差传播
处可微， ( 设y = f ( x1 , x2 ..., xn ), f在点 x , x ,...x )处可微， xi 为xi的近似值，则 的近似值，
* * * e( y* ) = f ( x1 , x2 ...,xn ) − f ( x1 , x2 ,...,xn )
* m
ε = εr | x* | =0.3% | x* | 取最大值 ×
< 0.3%×1×10 < 0.5×10 有两位有效数字
m−2 − m
问题：假定运算中数据都精确到两位小数， 问题：假定运算中数据都精确到两位小数，
y = 1.21× 3.65 − 9.81
*
的绝对误差限是多少？ 的绝对误差限是多少？ y = f ( x1 , x2 , x3 ) 设y = x1 x2 − x3， 1 * * * 知|e( x1 )|=| e( x2 )|=| e( x3 )|≤ ×10-2 ,求|e( y* )| 2 * * e( x1 ) = x1 − x1 = ∆x1 = dx1
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩 (20%)+ (80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 实验作业：下列1 2.课本或其它参考书的数值实验题 2.课本或其它参考书的数值实验题 至少6 （至少6道） 作业中包含下列内容 (1)题目 课本外的说明出处） 题目（ (1)题目（课本外的说明出处） (2)程序 程序(matlab) (2)程序(matlab) (3)计算结果及分析 (3)计算结果及分析
∗
∗
绝对误差限 ⇔ 有效数字
1 ε= ×10n ⇔准确到 n位 ⇔ 确定几位有效数字 10 2
x = ±0.a1a2 ...an ...⋯×10 1 ε= ×10m−n 2
对绝 绝对 差误 误差 对对 绝绝 差差 误误
∗
m
⇔ 有n位有效数字
问题：有效数字的位数和精确度的关系？ 问题：有效数字的位数和精确度的关系？ 考虑相对误差限与有效数字的关系？ 考虑相对误差限与有效数字的关系？
* * * * * * e( y* ) = f ( x1 , x2 , x3 ) − f ( x1 , x2 , x3 ) ≈ df ( x1 , x2 , x3 )
= =
f ∂f ** ** ** ∂∂f * * * * * * ∂f * ∂f ∂f * * * * ( x11,,x22,,x33))dx11 ) + (( x1 , x, , x3dx2x2 ) + ( x1(,x12,,x23,)x3 )e( x3 ) x1 , x2 2 x3 ))e( + x* x* dx3 * ( x x x e( x* + x2 ∂x1 ∂∂x2 ∂x3 x3 ∂ ∂x1
它们分别是2,3,7
有效数字另一等价定义
将 ∗表 成 范 式 x∗ = ±0.a1a2 ...an ...⋯×10m x 示 规 形 ：
a 0 其中m为整数， i为 ⋯9, a1 ≠ 0,
x 为 近 值 n 有 数 当 仅 则 做 x的 似 有 位 效 字 且 当
1 −n x − x ≤ ×10m−n 2
∗
∗
到该位的所有数字均称为 效数字. 有
1 1. x = 0.005800 ± ×10−6 表示近似值 例如 2 x* = 0.005800 准确到小数点后第 6 位，
x*有 4 位 效 字 有 数
2. 若x = 1452.046具有7位有效数字，
*
则其准确到小数点后第 3 位， 1 ε = ×10−3 绝对误差限： 2
《数值分析》 数值分析》
• 教材 丁丽娟，程杞元， 丁丽娟，程杞元， 数值计算方法》 《数值计算方法》，理工大学出版社 • 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大, 清华大学,哈工大,西安交大等
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) (20%)+考试成绩 • 实验作业：下列1和2选择一个 实验作业：下列1 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 1.自选题(结合专业) 自选题 (1)实际问题 (1)实际问题 (2)数学模型 (2)数学模型 例如，解常微分方程组，数据拟合等) (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3)计算方法 (3)计算方法 (4)程序 程序(matlab) (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析 (5)计算结果及分析
如何学习? 如何学习? • 听课 • 做课后习题(掌握算法) 做课后习题(掌握算法) • 实验作业(实际应用) 实验作业(实际应用)
问题：数值计算方法是做什么用的？ 问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型数值 分析来自+ − × ÷
计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论
近似解
主要内容 • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 插值法(第五章) 数据拟合(第六章) 函数逼近 数据拟合(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章) 常微分方程数值解法(第九章)
机器字长有限 —— 舍入误差
绝对误差、 §2 绝对误差、相对误差和有效数字 2.1 绝对误差与相对误差
x 设x*为准确值 的一个近似值 绝对误差e( x* ): e( x* ) = x - x*
绝对误差限ε : e( x ) = x - x £ ε
* : 可以表示为 x − ε ≤ x ≤ x + ε 或 x = x ± ε