高级微观经济学部分作业参考答案(官方发布)

x y 。强单调性得证。
2）严格单调 ⇒ 弱单调，设
x y 。单调得证。
， x << y 由严格单调性知 x y ，则显然
单调 ⇒ 严格单调，设
w = tx + (1 − t ) y y ，若
， x << y ，由单调性知 x y ，由严格凸， ，则 w = tx + (1 − t ) y ~y 与严格凸定义矛盾，所以
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高级微观经济学作业
得存在实数 r > 0 使得开球 B ( x, r ) 至少有一个点与 R − X 相交，表明 x 是集合 R − X
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的附贴点。③显然，①与②矛盾，假设 X ≠ clX 不成立， X 是闭集是 X = clX 的充分 条件。 再证充分条件：假定 X = clX ，要证 X 是闭集。④假定 X 是开集，根据证明（2）有 结论 X = int X ；又已知 X = clX ，可得 int X = clX ；根据定义， int X 是 X 的全体 内点的集合， clX 是 X 的全体附贴点的集合，显然 int X = clX 不符合上述定义，因此 假设 X 是开集不成立；因此， X 是闭集是 X = clX 的必要条件。 综合③④，得 X 是闭集当且仅当 X = clX ，证毕。 （ 4 ）要证 int X 是包含在 X 中的最大开集。假定存在开集 S ，满足 int X ⊆ S ⊆ X 且
2 2 , ) 是 clX 1 和 clX 2 的交点。因此 clX 1 和 clX 2 的并集 clX 连通。 2 2
④a = (
2 2 , ) 是 X 的附贴点，但不是 clX 的内点。因为对于任意实数 r > 0 ，总有开球 2 2
B ( a, r ) ∩ X ≠ ∅ ， 所 以 a 是 X 的 附 贴 点 。 又 因 为 对 于 任 意 实 数 r > 0 ， 不 存 在 B(a, r ) ⊆ clX ，因此 a 不是 clX 的内点。
y z 成立，则根据弱凸性，w = t y +(1− t ) z z x，所以 w x，当 z y 时情
况相同，所以 [ X ]+ 是凸集。必要性得证。
+
充 要 性 ， 即 欲 证 ： 任 意 给 定 x , y ∈ X , x y ， 任 意 给 定 t ∈ (0,1) ， 记
高级微观经济学作业
高级微观经济学（2010 年秋季） 第二次作业
一、 设 X ⊆ Rl 。 证 明： (1)intX⊆X⊆clX； (2) X 是开集当且仅当 X=intX； (3)X 是闭集当且仅当 X=clX；(4)intX 是包含在 X 中的最大开集；(5)clX 是包含
X 的最小闭集。
证明： （1）要证 int X ⊆ X ⊆ clX 。①已知 X ⊆ R 。设 x ∈ int X ，因为 int X 是集合 X 的内点
⑤ X 不 是 凸 集 。 理 由 ： 在 X 中 取 两 点 (0, 0) 和 (1,1) ， 点 (0, 0) 和 (1,1) 的 连 线 过 点
a=(
2 2 , ) ；已知 a ∉ X ，换言之， (0, 0) 和 (1,1) 的连线不全在 X 上，因此， X 不是 2 2
凸集。 ⑥ X 不是紧集。根据紧集的定义， X 是紧集当且仅当 X 是有界闭集。从示意图中易得， X 有界但不是闭集，因此 X 不是紧集。 ⑦ clX 是紧集。 clX 包含 X 的边界，因此 clX 是闭集；同时， clX 的上界为 (2, 2) ，下界 为 (−1, −1) ；满足 clX 是有界闭集，所以 clX 是紧集。
2
{
}
X 2 = x ∈ R 2 : (a << x << b)}是开集； X = X1 ∪ X 2 ；
而任意两个开集的并仍是开集， 因此， X 是开集。 ② X 不是连通集。 因为 X 满足 X = X1 ∪ X 2 ， X1 ≠ ∅ ， X 2 ≠ ∅ ， X1 ∩ X 2 = ∅ ，不符合 X 连通的充分必 要条件；所以， X 不是连通集。直观地从示意图看， X 1 与 X 2 都是开集，唯一可能的交点
满足 clX = = clX 1 ∪ clX 2 ， clX 1 ≠ ∅ ， clX 2 ≠ ∅ ， clX ( 1 ∩ clX 2
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clX 连通的充分必要条件，所以 clX 连通。直观地从示意图看， clX 1 和 clX 2 包含 X 1 和 X 2
的边界，因此， a = (
{
2 2 2 2 ，其中 a = ( , ) ， b = (2, 2) ；等价于 x1 + x2 < 1 或 2 2
2 < x1 < 2 2 ，为直观表达， 2 < x2 < 2 2
做示意图如下，阴影部分为 X 所在区域。 ① X 是开集。 因为 X 1 = x ∈ R : x < 1 是开集；
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先证必要条件：假定 X 是闭集，要证 X = clX 。假定 X ≠ clX ，结合证明（1）的结论
X ⊆ clX ，可知至少存在一个 x ∉∅ 满足 x ∈ clX 且 x ∉ X ；①根据定义，clX 是 X 的
全体附贴点的集合，所以 x 是 X 的附贴点。②由 X ⊆ R 且 x ∉ X ，得 x ∈ R − X ，易
(3)求 X 的闭包 clX。闭包 clX 是连通集吗？请直观地说明。
(4)
a=(
2 2 , ) 2 2 是 X 的附贴点吗？是 clX 的内点吗？为什么？
(5)X 是凸集吗？为什么？
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(6)X 是紧集吗？为什么？ (7)clX 是紧集吗？为什么？
解： 对 ∀x ∈ X ， 设 x = ( x1 , x2 ) 。 根据题意， 已知 X = x ∈ R 2 : ( x < 1) ∨ ( a << x << b)}
盾！矛盾的结果说明，w y 不能成立。可见，只有 w y 成立。充要性得证。 二、设消费集合 X ⊆ R l ， (∀x ∈ X )(∀y ∈ R l )(( y >> x) ⇒ ( y ∈ X )) 。 是 X 上严 格单调的连续偏好关系。证明： 是单调的。 证明：设 ，x ，所以 xn ≤ yn ， ∀z ∈ R l ， z >> x ，则 z ∈ X ，由严格
{
a=(
2 2 , ) 既不属于 X 1 ，也不属于 X 2 ，因此 X 1 与 X 2 不存在公共部分， X 不连通。 2 2
③ clX =
{x ∈ R
2
: ( x ≤ 1) ∨ (a ≤ x ≤ b) ， 其 中 a=(
}
2 2 b = (2, 2) 。 说明： 因为 clX , )， 2 2
2 2 , ) ≠ ∅ ，符合 2 2
X ⊆ clS ⊆ clX 。②对于 ∀x ∈ clX ，存在实数 r > 0 满足开球 B ( x, r ) ∩ X ≠ ∅ ；又因
为 X ⊆ S ，所以 B ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ 也成立，表明 x ∈ clS 。换言之， clX 中的所有元素 ，即 clX ⊆ clS 。 ③综合①②， 即满足 X ⊆ S ⊆ clX 且 都包含在 clS 中 = S clS = clX ，
三、证明：对于严格凸偏好来说，强单调性等价于单调性，严格单调性等价 于弱单调性。 1)强单调 ⇒ 单调，设 ， x ≤ y ，若 x < y ，由强单调性 x y ，当 x=y，
，所以 x y ，单调性得证。 单调性 ⇒ 强单调，
w = tx + (1 − t ) y y ，若
， x < y , 由 单 调 性 ， xy ， 由 严 格 凸 ， ，则 w = tx + (1 − t ) y ~y 与严格凸定义矛盾，所以
S ≠ clX 的闭集 S 不存在；所以， clX 是包含 X 的最小闭集。证毕。
二、已知 X = x ∈ R 2 : ( x < 1) ∨ (a << x << b)} ，其中 (1)X 是开集吗？为什么？ (2)X 是连通集吗？请给出直观地说明。
{
a=(
2 2 , ) 2 2 及 b 凸集， 是 X 上的偏好关系。证明： 弱凸当且仅当对任何
z∈X，集合 Q(z)={x∈X:xz}是凸集。
证明：必要性，设 弱凸且 x ∈ X ，任意给定 y，z ∈ [ X ]+ 及 t ∈ (0,1) ，并令 w
+
= t y +(1− t )z， 的完全性蕴含着 y z 或 z y 成立。根据 的弱凸性，若是
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的全部，所以对 int X 中的 ∀x 有 x 是 X 的内点，即 x ∈ X ；换言之， int X 包含的所有 元素都在集合 X 中，所以 int X ⊆ X 。 ②设 x ∈ X ，则存在实数 r > 0 使开球 B ( x, r ) 至少包含 X 的一个点，可得 x 为 X 的附 贴点。又因为 clX 是集合 X 的附贴点的全体，所以 x ∈ clX ；换言之， X 包含的所有 元素都在集合 clX 中，所以 X ⊆ clX 。 综合①②，得 int X ⊆ X ⊆ clX ，证毕。 （2）要证 X 是开集当且仅当 X = int X。已知 X ⊆ R 。
int X ≠ S ；须证明一定存在 x ∉∅ 使得 x ∈ S 且 x ∉ int X 。对于 ∀x ∈ S ， S 是开集，
因此存在实数 r > 0 使开球 B ( x, r ) 满足 B ( x, r ) ⊆ S ；已知 int X ⊆ S ⊆ X ，进一步得
B( x, r ) ⊆ S ⊆ X ，因此 x 是 X 的内点；而 int X 是 X 的内点的全体，因此 x ∈ int X 。
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先证必要条件：假定 X 是开集，要证 X = int X 。假定 X ≠ int X ，①集合证明（1） 的结论 int X ⊆ X ，可知至少存在一个 x ∉∅ 满足 x ∈ X 且 x ∉ int X 。② X 是开集， 则对于 ∀x ∈ X 存在实数 r > 0 使开球 B ( x, r ) ⊆ X ，即 x 是集合 X 的内点；而 int X 是 集合 X 的内点的全部，所以 x ∈ int X 。③显然，①与②矛盾，假设 X ≠ int X 不成立，
w = t x + (1 − t ) y ，都有 w y 。事实上，假若 w y ，则 x y w ，从而
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+ + x, y ∈ [ w ]+ + ，而 [ w ] + 是凸集，因此 w = t x + (1 − t ) y ∈ [ w ] + ，即 w w ，出现矛
X 是开集是 X = int X 的充分条件。
再证充分条件：假定 X = int X ，要证 X 是开集。④假定 X 是闭集，已知 int X 是全体 内 点 的 集 合 ， 因 此 存 在 x ∈ X − int X 且 x ∉∅ 。 ⑤ 根 据 假 定 ， X = int X ， 则 对 ⑥显然， ④与⑤矛盾，X 是开集是 X = int X 的必要条件。 ∀x ∈ X − int X 必有 x ∈∅ 。 综合③⑥，得 X 是开集当且仅当 X = int X ，证毕。 （3）要证 X 是闭集当且仅当 X = cl X。已知 X ⊆ R 。
单调性 x y ，令 y (0) = z ， y ( n ) =
y ( n −1) + y (2n − 1) y + z (n) lim y lim y， = = ， 2n 2
x << y ( n ) ， x y ( n ) 。由连续性可知 y = lim y ( n ) x ，单调性得证。
换言之， S 中的所有元素 x 也都包含在 int X 中，即满足 int X ⊆ S ⊆ X 且 int X ≠ S 的 集合 S 不存在；所以， int X 是包含在 X 中的最大开集。证毕。 （ 5） 要证 clX 是包含 X 的最小闭集。 假定存在闭集 S ， 满 足 X ⊆ S ⊆ clX 且 S ≠ clX 。 ①因为 S 是闭集，根据证明（ 3 ）有结论 S = clS ；又已知 X ⊆ S ⊆ clX ，所以得到