复化求积公式

补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 I 到T8

1
0
sin x dx. ，计算 x
解 我们先对整个区间[0,1]使用梯形公式。对于函数
sin x f x x
它在 x 0的值定义为 f 0 1 , 而 f 1 =0.8414709，据梯形公式计
算得
T1
1 [ f ( 0) f (1)] 0.9207355 2
误差估计 每个子区间上的误差估计式为
将每个子区间的误差相加得
h 5 ( ) ba (4) 2 Rj f ( j ), h , xj j x 1 j 90 n 2
h5 I ( f ) Sn ( f ) 90 25

j 1
n
f (4) ( j )
h4 b a n (4) f ( j ) 5 90 2 n j 1 (b a ) h 5 90 2
0
1/4
2/4
3/4
1
sin x 例4.14 对于函数 f ( x ) x 试用数据表，应用复化Simpson求积公 1 sin x 式计算积分 I( f ) dx 0 x 解：将区间[0,1] 4 等分, h=1/4, 应用复化 Simpson求积公式计算,
3 3 h S 4 f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x j ) f (b ) j 6 j 1 j 1 2
ba h n
1 h n 1 Tn f ( x 1 ) k 2 2 k 0 2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出 Tn 基础上再计算 T2 n 时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
5/8 0.9361556
0.9088516
0.9460832
7/8 0.8771925 1 0.8414709
比较上面例题分别用复化梯形公式和复化 Simpson公式得到的两个结果T8和S4,它们都在只提供 相同的9个点上的函数值上进行的，工作量基本相同, 然而精度却差别很大. 同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
0.9456909
（2）误差估计
每个子区间上的误差估计式为
h3 R[ f ] f ( k ) 12
将n个子区间的误差相加得
h h R[ f ] [ f ( k )] (b a ) 12 12 k 1
n 3 2
k ( xk 1, xk )
f (
1 xk h 2

x
1 k 2
xk 1
xk
xk 1 xk f ( x) dx [ f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )] k 6 2
4
xk
x k 1
4
4
4
4

b
a
x f ( x)dx k 1 f ( x)dx k 0 x k f xk 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) k 0 2
xk xk 1

b a
f ( x)dx
k 1
h f ( x)dx [ f ( xk 1 ) f ( xk )] k 1 2
n
n1 h f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
=Tn
称 Tn为复化梯形公式
(4.3.1)
m 1
n 1
xk 1 xk 6
称Sn为复化 Simpson公式
n 1 n 1 h ba [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b)], h k 6 n k 0 k 1 2
= Sn
(4.3.Βιβλιοθήκη Baidu)
复化Simpson积分公式的几何意义
上面介绍的步长变化的计算方案，虽然提供了估计误差 与选取步长的简便方法，但是还没有考虑到避免在同一节点 上重复计算函数值的问题，故有进一步改进的余地。
先看复化梯形公式, 计算Tn时，需计算n+1个点 （它们是积分区间[a,b]的n等分的分点）上的函数值, 当Tn不
满足精度要求时，根据上面提供的方案，就应将各小区间分半，
注意到在2n分点 xk a k
n 1 n 1 ba T2 n f (a) 2 f ( xk ) 2 f ( xk 1 ) f (b) 4n k 1 k 0 2 n 1 1 h h n f (a) 2 f ( xk ) f (b) f ( xk 1 ) 2 2 k 1 2 k 0 2
lim
h 0
R[ f ] C p h
且C 0，
RTn 1 (b a) f ( ) lim 2 12 n h
n 1 h Tn f (a) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
（4）复化梯形的递推化（变步长梯形公式）
1/4
2/4
3/4
1
x 0
f (x) 1
1/8 0.9973978 2/8 0.9896158 3/8 0.9767267 4/8 0.9588510
k f f (1) 8
5/8 0.9361556
6/8 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709
0
sin x 例4.14 对于函数 f ( x ) x 试用数据表应用复化梯形法计算积分 1 sin x I( f ) dx 0 x
解 将区间[0,1]划分为n=8等分,h=1/8, 应 用复化梯形法求得
7 h T8 f (a ) 2 f ( x k ) f (b) 2 k 1 7 1 f (0) 2 8 2 k 1
32 f ( x
k 0
n 1
k
3 4
) 14 f ( xk ) 7 f (b)]
然后用梯形公式的递推化公式
T2
1 1 1 T1 f ( ) 0.9397933 2 2 2
1 1 1 3 T4 T2 f f 0.9445135 2 4 4 4
1 1 T8 T4 f 2 8
1 8
1 复化梯形求积公式
（1） 复化梯形求积公式的构造
h 将积分区间[a,b]划分为n等份， ba , xk a k h n ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：

xk x k 1
f ( x )dx
n
x k x k 1 [ f ( x k 1 ) f ( x k )] , k 1, ... , n 2
计算出新近似值T2n 。若仍用复化梯形公式计算T2n ，就需求出 2n+1个点（[a,b]的2n等分点）上的函数值。
n 1 h Tn f (a) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
而实际上，在这2n+1个分点中，包含有n+1个n分点，对应 的函数值在计算Tn时已算出，现重新来计算这些点上的函数值 ，显然是极不合理的。 为避免这种重复计算，我们来分析新近似值T2n与原有近 似值Tn之间的关系。由复化梯形公式知：
4

j 1
n
f (4) ( j ) n
由闭区间上连续函数的介值性质可知在[a,b]上至少存在一点， 使 n 1 f (4) ( ) f (4) ( j ) n j 1
b a 4 (4) I ( f ) Sn ( f ) h f ( ), a b 2880
4.3 复化求积公式
4.3. 1 复化梯形求积公式
4.3.2复化Simpson求积公式 4.3.3复化Cotes求积公式
4.3.4 收敛性 4.3.5误差的事后估计与步长的自动选择
由上面Newton-Cotes公式易见，当n 较大时不稳定． 因此，在实际应用中，为避免高次求积公式，往往采取复 化求积的方法，即：先将积分区间分成几个小区间，并在 每个小区间上利用低阶Newton-Cotes公式计算积分近似值 。然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由 此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复 化求积公式。 典型的复化求积公式包括复化梯形求积公式和复化 辛普生求积公式.
h2 RTn (b a) f ( ) 12
(4.3.2)
（3）收敛性
从复化梯形求积公式的余项可知,与相应的NewtonCotes求积公式相比,复化求积公式一般不能提高代数精 度,但它们均具有收敛性. 定义 若一个积分公式的误差满足 则称该公式是 p 阶收敛的。 显然，复化梯形公式是2 阶收敛的；
k 1
n
k
)
n
由于f ( x) C 2 [a, b], 且 1 n min f ( k ) f ( k ) max f ( k ) 1 k n 1 k n n k 1 由中值定理知, (a, b), 使得 1 n f ( ) f ( k ) n k 1
(4.3.5)
可见,当f(x)有四阶导数时,复化Simpson公式具有4阶收敛.
3.
复化Cotes求积公式（n 等分, 在宽度为h的区间 上运用Cotes 公式）
f ( x ) dx Cn

b
a
n 1 n 1 h [7 f ( a ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) k k 90 k 0 k 0 4 4
x 0
f (x) 1
1/8 0.9973978 2/8 0.9896158 3/8 0.9767267 4/8 0.9588510

1 f (0) 4 24 k 1
4
2k 1 f 2 8 k 1
3
2k f f ( 1 ) 6/8 8
h h h S n ( f ) [ f ( a) 4 f ( a ) 2 f ( x2 ) 4 f ( x2 ) 6 2 2 h 2 f ( xn 1 ) 4 f ( xn 1 ) f (b)] 2

b a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x j ) f (b)] j 6 j 0 j 1 2
2 n 1 h2n T2n [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)], 2 k 1
ba h2n 2n
ba （k=1,2,……2n-1)中， 2n 当k取偶数时，xk 即为n分点，k为奇数时，xk 才是新增加的分 点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
3 f 8
5 f 8
7 f 0.9456909 8
与例4.14直接计算T8的结果一致。
2
复化Simpson求积公式
将积分区间[a,b]划分为n等份， h=(b-a)/n, 在每个子区间 上用 Simpson公式可 得
x
k 1 2
n 1 h Tn f (a) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
复化梯形公式积分法的 几何意义是曲边梯形面积近 似地用许多小的细条梯形来 代替．（如右图）
从图中可以看出，n 越大，则h 越小，实际面积与近似面 积的差，即求积误差也就越小．
这与分段插值相类似，问题所不同的是分段插值函数是不 光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不 光滑的问题．