高等桥梁结构理论大作业
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由上式可得： v(i,1) v(i 1, 2) Pi 由以上可知方程迭代求解未知量为：每种荷载作用下的吊杆的坐标值 ( xi , yi ) ，每 段缆绳的 ci 、 li 值，左塔顶的水平力 H 和竖向力 V ,塔顶预偏量 yp 。 相应的方程个数为： A、 yi ck , (i 1, 2,3,..., n)
C
θ1
2
R
(X 3,Y 3)
索鞍滑动面 与塔中心位置一致
利用以上 8 个方程,加上约束条件 x1 x3 x2 ，y3 min y1 , y2 解出 8 个未知数
x1、y1、x2、y2、x3、y3、S1、S 2 ，然后根据悬链线索伸长量公式，得到左右跨主缆理
论顶点到索鞍左右切点的假想长度在受力状态下的伸长量（m）为：
每个索鞍对各跨主缆无应力长度产生的影响为：
S边索鞍 = ( S1 dS1 R1 ) S中索鞍 = ( S 2 dS 2 R 2 )
主缆无应力长度为： S S0中 +2S0边 +2S边索鞍 +2S中索鞍 1.3 施工阶段计算 假定主跨共 10 个吊杆(x1=50m, x2=150m,· · · ·)，每个吊杆力 15000kN，加劲梁分
G、每一段索 ci 与 xi 的关系 1.4 计算吊杆点的成桥坐标和安装坐标（近似不计吊杆重） 。 取成桥时中跨塔顶位置为坐标原点， 向下为 y 轴正向。 从跨中向两端对称安装施工。 成桥坐标的 y 坐标计算，根据第一小题程序中的计算所得的各索段成桥的高差 ci 累加 即可，横坐标题目已给出。 空缆状态下所有吊杆点的安装坐标， 在空缆线形完全确定的情况下， 根据各索段累 加无应力长度分别相等这一方程，解出的水平长度 li 再减去空缆状态塔顶预偏值 YP， 即为该吊杆的空缆安装横坐标。再根据悬链线方程可以得到相应的纵坐标。
在不同的施工阶段下， 各段主缆的坐标各不相同， 但各段索的自重和无应力长度均 不变。因为，
2 x dy |xi x sh( i i i ) ，设一段索的 i 端的竖向力为 v(i,1) ， j 端的竖向力 dx li
为 v(i, 2) ，则：
dy |x 0 Hsh( i ) ， dx i dy v(i, 2) H |x l Hsh(2 i i ) dx i dy dy H |xi1 l H |x 0 Pi 1 dx dx i v(i,1) H
工 况 空 缆 挂 1＃梁后 挂 2＃梁后 挂 3 梁后 挂 4 梁后 挂 5 梁后 成 桥 0.00 100.00 (250, )
＃ ＃ ＃
塔顶预偏 量/m
主跨跨中 垂度/m
边跨跨中 垂度/m
主缆水平 力/kN
主缆最大 拉力/kN
3#索夹坐标 /m
6、总结和体会。
一、理论推导
1.1 成桥状态主缆水平力、缆的最大应力和缆的总长度，边跨缆的跨中垂度。 局部坐标系下，满足边界条件的索曲线方程为：
1 2 3
空缆时 Pi=0 吊装加劲梁，施加二期恒载之前 Pi=15000KN 施加二期恒载之后 Pi=21000KN
1、悬挂空缆时，缆的主、边跨跨中垂度，缆的水平力和塔顶预偏量 设空缆时的水平力 H1，和塔顶预偏 YP 为未知数，由未知数以及悬链线方程完全可 以求出空缆状态下的中跨与边跨无应力长度，建立如下方程： ①SS0’－SS0=0 ②SM0’－SM0=0 用 matlab 程序中的 fsolve 函数可以迭代解出得到空缆状态下的 H1 及 YP。 缆的垂度由方程 f y ( L / 2) C / 2 解出。 2、加劲梁分五段安装（每段 2 个吊杆） ，试计算每段梁安装后预偏量的回顶值，并 计算和绘出届时索形。 计算原理：同工况下，各段主缆的坐标各不相同，但是根据质量守恒和无应力尺寸
c
1
11
i
0
②主跨任意点通过给定点，即跨中满足矢跨比为 1/10； ③由于主塔塔顶无偏位，边跨水平力等于主跨水平力； ④各局部坐标原点满足力平衡条件：
H dyi 1 dxi 1
xi 1 li 1
H
dyi dxi
xi 0
Pi 1
用 matlab 程序中的 fsolve 函数可以迭代解出得到成桥状态下的 H0 及 V0。 缆的最大应力为塔顶支座处的应力，其计算公式为:
左跨向左为正、 右跨向右为正。 现设主缆与索鞍接触的左切点和右切点分别为 ( x1 , y1 ) 和
( x2 , y2 ) ，圆心坐标为 ( x3 , y3 ) 。 ( x0 , y0 ) 与 ( x1 , y1 ) 之间主缆有应力长度为 S1 ， ( x0 , y0 ) 与 ( x2 , y2 ) 之间的主缆有应力长度为 S 2 。 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 于是，( x3 , y3 ) 表征了索鞍的位置，
不变原理，各段索的自重和无应力长度均不变，仍然采用分段悬链线理论进行计算。 根据分段悬链线理论，第 i 段索的悬链线方程为：
2 x H [ch i ch( i i i )] q li i ci i arcsh( ) i li sh i qli i 2H yi ( x)
a(i+1)=asinh(V(i+1,1)/H0); b(i+1)=q*l(i+1)/2/H0; c(i+1)=H0/q*(cosh(a(i+1))-cosh(2*b(i+1)-a(i+1))); V(i+1,2)=-H0*sinh(2*b(i+1)-a(i+1)); end y(1)=sum(c); %目标函数 1，ci 之和为 0 %下一个节点左边的竖向力
二、Matlab 程序
2.1 子函数 ①【qiujieHV.m】
%----------------------------------------------------------------------% function y =qiujieHV(HV) global a; global b; global c; q=53; Pi=21000; l=[50 100 100 100 100 100 100 100 100 100 50]; a=zeros(11,1); b=zeros(11,1); c=zeros(11,1); V=zeros(11,2); H0=HV(1); V0=HV(2); a(1)=asinh(V0/H0); b(1)=q*l(1)/2/H0; c(1)=H0/q*(cosh(a(1))-cosh(2*b(1)-a(1))); V(1,:)=[V0 -H0*sinh(2*b(1)-a(1))]; for i=1:10; V(i+1,1)=V(i,2)-Pi; %节点右边以及左边的竖向力 %设水平力为未知数 %设塔顶竖向力为未知数 % ‘a’表示‘α’ % ‘b’表示‘β’ %索的长度向量
yi ( xi )
其中
H [ch i ch(2 i xi / li i )] q
i sh 1[ i
qli 2H
i ci / li ] i shi
本桥中吊索将主跨主缆划分为 11 段，每一段的主缆曲线方程由上式确定，除此之 外还应满足力平衡方程和变形相容方程： ①
k 1 i i
B、 xi lk , (i 1, 2,3,..., n) 。
k 1
C、 | ci C || yn C |
i 1 n
n
D、 | li lM 2 yp |
i 1 ' E、 | S 0 i S 0 i | , (i 1, 2,3,..., n) ' F、 | S 0 S S 0 S |
2 Tmax H (1 sh 2 α 1 ) ， max 1
Tmax A
边跨缆的跨中垂度为:
f y ( LS / 2) C 2 / 2
1.2 缆的无应力下料长度（计入鞍座长度修正） 索鞍处主缆修正： 由于前面的计算都是根据索鞍的理论顶点计算而得， 而实际上索 鞍的位置会影响到主缆的线形，进而对主缆无应力长度产生影响。 其理论推导如下： 已知鞍座理论顶点为 ( x0 , y0 ) ，鞍座半径为 R，并且在成桥线形中已经计算出主缆左 右跨的水平力和竖向力，分别为 H1 、 V1 和 H 2 、 V2 ，竖向分力以向下为正，水平分力
dS1 V1 V12 H12 1 2 2 2 2 2 V V H ( V q S ) ( V q S ) H H ln 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 E1 A1q 1 V1 q1S1 (V1 q1S1 ) H1
y(2)=100-sum(c(1:5))-H0/q*(cosh(a(6))-cosh(2*b(6)*0.5-a(6))); %目标函数 2，经过跨中定点
表征了主缆在索鞍上的实际位置状况。其各个参数之间关系如下：
x1 x0
H1 [ln(V1 q1S1 (V1 q1S1 ) 2 H12 ) ln(V1 V12 H12 )] q1
1 y1 y0 [ (V1 q1S1 ) 2 H12 V12 H12 q H x2 x0 2 [ln(V2 q2 S 2 (V2 q2 S 2 ) 2 H 2 2 ) ln(V2 V2 2 H 2 2 ) q2 1 y2 y0 [ (V2 q2 S 2 ) 2 H 2 2 V2 2 H 2 2 ] q
五段安装（每段 2 个吊杆） ，试计算每段梁安装后预偏量的回顶值，并计算和绘出届时 索形。 施工阶段示意图如下：
从跨中依次向两边施工，每次施工时有两个吊杆，施工阶段为： 第一阶段：悬挂空缆时； 第二阶段：吊装 1#号梁时； 第三阶段：吊装 2#号梁时; 第四阶段：吊装 3#号梁时； 第五阶段：吊装 4#号梁时； 第六阶段：吊装 5#号梁时； 第七阶段：铺设二期恒载。 吊杆力分为三种情况：
(X 0,Y 0) O
理论顶点
根据鞍座上各点的几何关系，可得：
S1 (X 1,Y 1)
θ
ຫໍສະໝຸດ BaiduS2
(X 2,Y 2)
R ( x1 x3 ) ( y1 y3 )
2 2
2
R 2 ( x2 x3 ) 2 ( y2 y3 ) 2 ( y1 y3 )(V1 q1S1 ) H1 ( x3 x1 ) ( y3 y2 )(V2 q2 S 2 ) H 2 ( x3 x2 )
悬索桥设计
悬索桥设计题目： 一双塔单跨悬索桥跨径 l=1000m，矢跨比 n=1/10，边跨 l1 ＝350m，
C=105m，两条缆的钢丝总面积为 A=0.65m2，缆的弹性模量 E=1.95×105MPa，
每延米缆的重量为 53kN，鞍座半径为 R=6m.加劲梁及吊索等的合计每延米 恒重为 150kN，二期恒载 60kN/m。 试用分段悬链线法计算： 1、 成桥状态主缆水平力、 缆的最大应力和缆的总长度， 边跨缆的跨中垂度。 2、缆的无应力下料长度（鞍座长度修正） 。 3、假定主跨共 10 个吊杆(x1=50m, x2=150m,· · · ·)，每个吊杆力 15000kN， 加劲梁分五段安装 （每段 2 个吊杆） ， 试计算每段梁安装后预偏量的回顶值， 并计算和绘出届时索形。 4、计算吊杆点的成桥坐标和安装坐标（近似不计吊杆重） 。 5、将计算结果填入下表： 各工况参数计算表
dS 2
V2 V2 2 H 2 2 1 2 2 2 2 2 V2 V2 H 2 (V2 q2 S 2 ) (V2 q2 S 2 ) H 2 H 2 ln 2 2 2 E2 A2 q 2 V2 q2 S 2 (V2 q2 S 2 ) H 2
C
θ1
2
R
(X 3,Y 3)
索鞍滑动面 与塔中心位置一致
利用以上 8 个方程,加上约束条件 x1 x3 x2 ，y3 min y1 , y2 解出 8 个未知数
x1、y1、x2、y2、x3、y3、S1、S 2 ，然后根据悬链线索伸长量公式，得到左右跨主缆理
论顶点到索鞍左右切点的假想长度在受力状态下的伸长量（m）为：
每个索鞍对各跨主缆无应力长度产生的影响为：
S边索鞍 = ( S1 dS1 R1 ) S中索鞍 = ( S 2 dS 2 R 2 )
主缆无应力长度为： S S0中 +2S0边 +2S边索鞍 +2S中索鞍 1.3 施工阶段计算 假定主跨共 10 个吊杆(x1=50m, x2=150m,· · · ·)，每个吊杆力 15000kN，加劲梁分
G、每一段索 ci 与 xi 的关系 1.4 计算吊杆点的成桥坐标和安装坐标（近似不计吊杆重） 。 取成桥时中跨塔顶位置为坐标原点， 向下为 y 轴正向。 从跨中向两端对称安装施工。 成桥坐标的 y 坐标计算，根据第一小题程序中的计算所得的各索段成桥的高差 ci 累加 即可，横坐标题目已给出。 空缆状态下所有吊杆点的安装坐标， 在空缆线形完全确定的情况下， 根据各索段累 加无应力长度分别相等这一方程，解出的水平长度 li 再减去空缆状态塔顶预偏值 YP， 即为该吊杆的空缆安装横坐标。再根据悬链线方程可以得到相应的纵坐标。
在不同的施工阶段下， 各段主缆的坐标各不相同， 但各段索的自重和无应力长度均 不变。因为，
2 x dy |xi x sh( i i i ) ，设一段索的 i 端的竖向力为 v(i,1) ， j 端的竖向力 dx li
为 v(i, 2) ，则：
dy |x 0 Hsh( i ) ， dx i dy v(i, 2) H |x l Hsh(2 i i ) dx i dy dy H |xi1 l H |x 0 Pi 1 dx dx i v(i,1) H
工 况 空 缆 挂 1＃梁后 挂 2＃梁后 挂 3 梁后 挂 4 梁后 挂 5 梁后 成 桥 0.00 100.00 (250, )
＃ ＃ ＃
塔顶预偏 量/m
主跨跨中 垂度/m
边跨跨中 垂度/m
主缆水平 力/kN
主缆最大 拉力/kN
3#索夹坐标 /m
6、总结和体会。
一、理论推导
1.1 成桥状态主缆水平力、缆的最大应力和缆的总长度，边跨缆的跨中垂度。 局部坐标系下，满足边界条件的索曲线方程为：
1 2 3
空缆时 Pi=0 吊装加劲梁，施加二期恒载之前 Pi=15000KN 施加二期恒载之后 Pi=21000KN
1、悬挂空缆时，缆的主、边跨跨中垂度，缆的水平力和塔顶预偏量 设空缆时的水平力 H1，和塔顶预偏 YP 为未知数，由未知数以及悬链线方程完全可 以求出空缆状态下的中跨与边跨无应力长度，建立如下方程： ①SS0’－SS0=0 ②SM0’－SM0=0 用 matlab 程序中的 fsolve 函数可以迭代解出得到空缆状态下的 H1 及 YP。 缆的垂度由方程 f y ( L / 2) C / 2 解出。 2、加劲梁分五段安装（每段 2 个吊杆） ，试计算每段梁安装后预偏量的回顶值，并 计算和绘出届时索形。 计算原理：同工况下，各段主缆的坐标各不相同，但是根据质量守恒和无应力尺寸
c
1
11
i
0
②主跨任意点通过给定点，即跨中满足矢跨比为 1/10； ③由于主塔塔顶无偏位，边跨水平力等于主跨水平力； ④各局部坐标原点满足力平衡条件：
H dyi 1 dxi 1
xi 1 li 1
H
dyi dxi
xi 0
Pi 1
用 matlab 程序中的 fsolve 函数可以迭代解出得到成桥状态下的 H0 及 V0。 缆的最大应力为塔顶支座处的应力，其计算公式为:
左跨向左为正、 右跨向右为正。 现设主缆与索鞍接触的左切点和右切点分别为 ( x1 , y1 ) 和
( x2 , y2 ) ，圆心坐标为 ( x3 , y3 ) 。 ( x0 , y0 ) 与 ( x1 , y1 ) 之间主缆有应力长度为 S1 ， ( x0 , y0 ) 与 ( x2 , y2 ) 之间的主缆有应力长度为 S 2 。 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 于是，( x3 , y3 ) 表征了索鞍的位置，
不变原理，各段索的自重和无应力长度均不变，仍然采用分段悬链线理论进行计算。 根据分段悬链线理论，第 i 段索的悬链线方程为：
2 x H [ch i ch( i i i )] q li i ci i arcsh( ) i li sh i qli i 2H yi ( x)
a(i+1)=asinh(V(i+1,1)/H0); b(i+1)=q*l(i+1)/2/H0; c(i+1)=H0/q*(cosh(a(i+1))-cosh(2*b(i+1)-a(i+1))); V(i+1,2)=-H0*sinh(2*b(i+1)-a(i+1)); end y(1)=sum(c); %目标函数 1，ci 之和为 0 %下一个节点左边的竖向力
二、Matlab 程序
2.1 子函数 ①【qiujieHV.m】
%----------------------------------------------------------------------% function y =qiujieHV(HV) global a; global b; global c; q=53; Pi=21000; l=[50 100 100 100 100 100 100 100 100 100 50]; a=zeros(11,1); b=zeros(11,1); c=zeros(11,1); V=zeros(11,2); H0=HV(1); V0=HV(2); a(1)=asinh(V0/H0); b(1)=q*l(1)/2/H0; c(1)=H0/q*(cosh(a(1))-cosh(2*b(1)-a(1))); V(1,:)=[V0 -H0*sinh(2*b(1)-a(1))]; for i=1:10; V(i+1,1)=V(i,2)-Pi; %节点右边以及左边的竖向力 %设水平力为未知数 %设塔顶竖向力为未知数 % ‘a’表示‘α’ % ‘b’表示‘β’ %索的长度向量
yi ( xi )
其中
H [ch i ch(2 i xi / li i )] q
i sh 1[ i
qli 2H
i ci / li ] i shi
本桥中吊索将主跨主缆划分为 11 段，每一段的主缆曲线方程由上式确定，除此之 外还应满足力平衡方程和变形相容方程： ①
k 1 i i
B、 xi lk , (i 1, 2,3,..., n) 。
k 1
C、 | ci C || yn C |
i 1 n
n
D、 | li lM 2 yp |
i 1 ' E、 | S 0 i S 0 i | , (i 1, 2,3,..., n) ' F、 | S 0 S S 0 S |
2 Tmax H (1 sh 2 α 1 ) ， max 1
Tmax A
边跨缆的跨中垂度为:
f y ( LS / 2) C 2 / 2
1.2 缆的无应力下料长度（计入鞍座长度修正） 索鞍处主缆修正： 由于前面的计算都是根据索鞍的理论顶点计算而得， 而实际上索 鞍的位置会影响到主缆的线形，进而对主缆无应力长度产生影响。 其理论推导如下： 已知鞍座理论顶点为 ( x0 , y0 ) ，鞍座半径为 R，并且在成桥线形中已经计算出主缆左 右跨的水平力和竖向力，分别为 H1 、 V1 和 H 2 、 V2 ，竖向分力以向下为正，水平分力
dS1 V1 V12 H12 1 2 2 2 2 2 V V H ( V q S ) ( V q S ) H H ln 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 E1 A1q 1 V1 q1S1 (V1 q1S1 ) H1
y(2)=100-sum(c(1:5))-H0/q*(cosh(a(6))-cosh(2*b(6)*0.5-a(6))); %目标函数 2，经过跨中定点
表征了主缆在索鞍上的实际位置状况。其各个参数之间关系如下：
x1 x0
H1 [ln(V1 q1S1 (V1 q1S1 ) 2 H12 ) ln(V1 V12 H12 )] q1
1 y1 y0 [ (V1 q1S1 ) 2 H12 V12 H12 q H x2 x0 2 [ln(V2 q2 S 2 (V2 q2 S 2 ) 2 H 2 2 ) ln(V2 V2 2 H 2 2 ) q2 1 y2 y0 [ (V2 q2 S 2 ) 2 H 2 2 V2 2 H 2 2 ] q
五段安装（每段 2 个吊杆） ，试计算每段梁安装后预偏量的回顶值，并计算和绘出届时 索形。 施工阶段示意图如下：
从跨中依次向两边施工，每次施工时有两个吊杆，施工阶段为： 第一阶段：悬挂空缆时； 第二阶段：吊装 1#号梁时； 第三阶段：吊装 2#号梁时; 第四阶段：吊装 3#号梁时； 第五阶段：吊装 4#号梁时； 第六阶段：吊装 5#号梁时； 第七阶段：铺设二期恒载。 吊杆力分为三种情况：
(X 0,Y 0) O
理论顶点
根据鞍座上各点的几何关系，可得：
S1 (X 1,Y 1)
θ
ຫໍສະໝຸດ BaiduS2
(X 2,Y 2)
R ( x1 x3 ) ( y1 y3 )
2 2
2
R 2 ( x2 x3 ) 2 ( y2 y3 ) 2 ( y1 y3 )(V1 q1S1 ) H1 ( x3 x1 ) ( y3 y2 )(V2 q2 S 2 ) H 2 ( x3 x2 )
悬索桥设计
悬索桥设计题目： 一双塔单跨悬索桥跨径 l=1000m，矢跨比 n=1/10，边跨 l1 ＝350m，
C=105m，两条缆的钢丝总面积为 A=0.65m2，缆的弹性模量 E=1.95×105MPa，
每延米缆的重量为 53kN，鞍座半径为 R=6m.加劲梁及吊索等的合计每延米 恒重为 150kN，二期恒载 60kN/m。 试用分段悬链线法计算： 1、 成桥状态主缆水平力、 缆的最大应力和缆的总长度， 边跨缆的跨中垂度。 2、缆的无应力下料长度（鞍座长度修正） 。 3、假定主跨共 10 个吊杆(x1=50m, x2=150m,· · · ·)，每个吊杆力 15000kN， 加劲梁分五段安装 （每段 2 个吊杆） ， 试计算每段梁安装后预偏量的回顶值， 并计算和绘出届时索形。 4、计算吊杆点的成桥坐标和安装坐标（近似不计吊杆重） 。 5、将计算结果填入下表： 各工况参数计算表
dS 2
V2 V2 2 H 2 2 1 2 2 2 2 2 V2 V2 H 2 (V2 q2 S 2 ) (V2 q2 S 2 ) H 2 H 2 ln 2 2 2 E2 A2 q 2 V2 q2 S 2 (V2 q2 S 2 ) H 2