线性规划——作图与求解

线性规划——作图与求解

一、基础知识

1、相关术语：

（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组

（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y

（3）可行域：所有可行解组成的集合

（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式

（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：

① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方 ③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限

所在区域含在y x ≤表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或

(),0F x y <）

边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示

3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）

① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b

=-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。

② 分式——与斜率相关（分式）：例如y b z x a

-=

-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 连线的斜率。

③ 含平方和——与距离相关：例如()()22z x a y b =-+-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 距离的平方。

（3）根据z 的意义寻找最优解，以及z 的范围（或最值）

4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。

例如：若变量,x y 满足约束条件003212

28x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则34z x y =+的最大值等于_____

作出可行域如图所示，直线3212x y +=的斜

率

132k =-，直线28x y +=的斜率212k =-，目标函数的斜率34k =-，所以21k k k <<，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在()2,3A 取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比28x y +=还要平，则会发现最优解在()0,4B 处取得，以及若平移的直线比3212x y +=还要陡，则会发现最优解在()4,0C 处取得，都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。

（1）在斜率符号相同的情况下：k 越大，则直线越“陡”

（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确

（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）

（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。

二、典型例题：

例1：若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩

，则2z x y =-的最小值等于（ ）

A. 52-

B. 2-

C. 32

- D. 2 思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为

一个封闭的三角形区域，目标函数化为：

2y x z =-，则z 的最小值即为动直线纵截距的

最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过

平移可发现在A 点处，纵截距最大。且20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2z x y =-的最小值()min 152122

z =⋅--=- 答案：A

例2：设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数2z x y =+的最小值为

（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，

目标函数122

z y x =-+，通过平移可得最优解为()20:1,11x y A A y +-=⎧⇒⎨=⎩

，所以min 3z = 答案：B

例3：若变量,x y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩

，则22z x y =+的最大值为（ ）

A.

B. 7

C. 9

D.

10 思路：目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平

方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出

可

行域，观察可得最远的点为()1,3A -，所以2

m a x 10z OA ==

答案：

D