数值积分基本方法

2
所以该求积公式的代数精度m=3。
问题：
当给定节点 x0 x1 xn b及f ( xi )(i 0,1,, n),如何选择 a
求积系数 0 ,, An，使求积公式代数精度 A 尽量高？
二、 插值型求积公式
1. 方法： n n x xl f ( xi )l i ( x) , 已知 ( xi , f ( xi ))，求 Ln ( x) ，其中l i ( x) i 0 l 0 x i xl
从 而该公式对次数 n的代数多项式精确成立 。 故有m n。
(充 分 性 ” “ )
若m n,由lk ( x)的次数为 , 对f ( x) lk ( x) (lk ( x)为n次Lagrange插值 n
， 基函数， a ( x ) f ( x )dx a ( x )l k ( x )dx ) 有
1. Newton-Cotes 求积公式 插值型求积公式：
( x) f ( x)dx A f ( x )
b a i 0 i i
n
Ai ( x )l i ( x )dx, i 0,1,, n
a
b
若 ( x ) 1, 等距节点 x i a i
ba ba a ih， ( h ), i 0,1, , n， n n
2. 代数精度 1) 代数精度的定义 定义：若求积公式（2）对任意不高于m次的代数多项式都能 精确成立，而对 xm+1不能精确成立，则称该求积公式具有m次代 数精度。 注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多 项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm 精确成立即可。 因此有等价定义。 等价定义(1)：若(2)式中对于1，x,„,xm都精确成立，对xm+1不精 确成立，则称求积公式(2)的代数精度为m。
3. 举例 例2：求插值型求积公式 并确定其代数精度。

1
1
1 1 f ( x )dx A0 f ( ) A1 f ( ) 2 2
分析：实际上该题目是求A0，A1，并确定其代数精度。
1 1 解(1)：因为是插值型的，且x 0 , x1 2 2 1 1 1 A0 l0 ( x )dx 1 ( x )dx 1, 1 2 1 1 1 A1 l1 ( x )dx ( x )dx 1 1 1 2 1 1 1 ， 从而求积公式为： 1 f ( x )dx f ( ) f ( ) 2 2
且n=1,因而代数精度大于等于1，以下验证代数精度从m=2开始
1 1 1 对f ( x ) x , f ( ) f ( ) 2 2 2
2
2 m 1 x dx 3 ， 从 而 1。
1 2
解法(2)： 因为是插值型的, 所以代数精度大于或等于 1, 因而对x0 =1, x1该
1 f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1)]的代数精度. 3
分析：由等价定义， 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
0, k为 奇 数 1 ( 1)k 1 k 2 解： I k 1x dx k 1 k 1 , k为 偶 数 1 1 当f ( x ) 1时(k 0), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 4 1 1) 2 I 0 ; 3 3 1 1 当f ( x) x时(k 1), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 4 0 1) 0 I1; 3 3
k个
n k个
1 ( 1) n k n n (1) n k n n h 0 ( (t i ))dt (b a ) n k!(n k )! 0 ( (t i ))dt i 0 k! (n k )! i 0
(b a)C
( n) k
i k
i 百度文库k
另外，若代数精度为m，也就是对xm(2)式或(3)式精确成立。则
(3)中若f(x)是x的m次多项式，有R(f)=0,因此定义也可写成：
等价定义(2)： 若(3)式中 R[xi]=0,(i=0,1,…,m)，而R[xm+1]不为0，
则称(2)式的代数精度为m。
2) 例子 例1. 确定求积公式1
1
b b
即

b
a
( x )lk ( x )dx Ai lk ( xi ) Ak
i 0
n
0, k i (k 0,, n), l k ( x i ) 1, k i
所以其求积系数由(4)式给出。 推论1：对给定求积节点 a x0 x1 xn b ，代数精度最高的 求积公式是插值型求积公式。
当f ( x ) 1时 2 A0 A1 , 成立。 公式精确成立，即有方程组 1 1 0 A0 A1 ,当f ( x ) x时 2 2 解得A0 A1 1(此法为待定系数法 )，
把A0 A1 1带入原求积公式 再确定代数精度。
三、以下介绍常用的求积公式
第四章 数值积分
经典方法(插值型数值求积方法)
Gauss数值积分方法 复化数值求积公式
积分方程的数值求解
§1 插值型数值求积公式
一、一般求积公式及其代数精度
1. 一般求积公式 1) 提出问题： 设 ( x )是(a, b)上的权函数，( x )是a, b上具有一定光滑度的函 f 数， b (1) 求I[ f ] ( x ) f ( x )dx的数值积分 。
其中 C
( n) k
1 ( 1) n k n n 0 ( (t i ))dt, k 0,1,, n. n k! ( n k )! i 0
i k
(6)
( 因此,Newton-Cotes公式为 a f ( x )dx (b a ) C kn ) f ( x k ) b k＝0
l i
插值多项式
插值基函数
则

b
a
( x ) f ( x )dx ( x ) Ln ( x )dx ( x ) f ( x i )l i ( x )dx i 0,1,, n
b b a a i 0
n
) f ( x i ) ( x )l i ( x )dx (积分的性质
b
b
n
b
a
a
i 0
a

b
a
f ( n1) ( ( x )) ( x) ( x x 0 )( x x11)((x x nn))dx x ) x x (n 1)!
因为当 f ( x) C ( n1) [a, b] ，且 f ( x)为次数 n的多项式 , 有 f ( n1) ( x) 0， 时
则插值型求积公式称为N-C求积公式。
1) N－C求积系数及公式
系数： k A
b
b
a
x xi l k ( x )dx dx a i 0 x k x i
b n i k
( x x 0 )( x x1 )( x x k 1 )( x x k 1 )( x x n ) dx a ( x x )( x x )( x x k 0 k 1 k k 1 )( x k x k 1 )( x k x n ) x a th n t ( t 1)( t k 1)(t k 1)( t n) h dt x i a ih 0 k ( k 1) ( k k 1)(k k 1) ( k n) 1)( k k 1) (
说明：不研究一般的求积公式。 ( n1) 推论2：若 f C [a, b] ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b a
f ( n1) ( ( x )) ( x) n1 ( x )dx， ( n 1)!
(4)
其中 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
b
i 0
a
A
i 0
n
i
f ( x i ) (2)
(2) 式写成带余项的形式为 ( x) f ( x)dx Ai f ( xi ) R[ f ],
b a i 0
n
(3)
即 I[ f ] Q[ f ] R[ f ]
( x ) f ( x )dx A f ( x ) ( x) f ( x)dx A f ( x ) R[ f ],
n
(7)
2) Cotes系数特点： 首先, C( n) 可查表4-1 k
n 1 2 3 4 5 6 7 8 Ck( n )
表4-1
1 (1) 1 ( C0 C11) 2 2 1 4 ( 2) 1 ( 2) C( 2) C C 0 6 6 1 6 2 1 3 3 1 ( C( 3) C13) C( 3) C( 3) 3 2 0 8 8 8 8 7 ( 4) 16 ( 4) 2 16 ( 4) 7 ( 4) C( 4) C3 C1 C2 C0 90 45 15 45 90 4 19 25 25 25 25 19 288 96 144 144 96 288 41 9 9 34 9 9 840 35 280 105 280 25 751 3577 1323 2989 2989 1323 17280 17280 17280 17280 17280 17280 989 5888 928 10496 4540 10496 28350 28350 28350 28350 28350 28350
b a
b n i 0 i
n
i
i
a
i 0
i
或I[ f ] Q[ f ] R[ f ]
(2)和(3)都称之为数值求积公式或机械求积公式 。余项R[ f ]也称 为求积公式的截断误差（方法误差）。 3) 衡量某种方法好坏的标准： a. 代数精度 对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的。 b. 数值稳定性 或者说成灵敏度如何，也就是看舍入误差对计算结果影响的大小。 比如病态方程组，当系数矩阵中的元素有微小变化时，引起方程 组无解。这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成的。 c. 收敛性 即是截断误差的大小。
b i 0 n a
n
Ai f ( x i )
i 0
与f 无关,记为Ai
Ai ( x )l i ( x )dx, i 0,1,, n
a
b
(4)
插值型求积公式的定义 定义：对给定互异求积节点 a x0 x1 xn b ，若求积系数 Ai i 0，，n是由(4)式给出的，则称该求积公式是插值型的。 1， 此时，数值求积公式(2)称为插值型求积公式。 2. 优点 定理1： 数值求积公式(2)或(3)是插值型的当且仅当它的代数 精度 m n 。 证明：（必要性 ） “” 设求积公式（2）是插值型的，则
I ( f ) Q( f ) 0a ( x ) f ( x )dx Ai f ( xi ) ( x ) f ( x )dx a ( x )li ( x )dx f ( xi )
b n
b
n
b
i 0
a
i 0
( x ) f ( x )dx ( x ) li ( x ) f ( xi )dx ( x )[ f ( x ) Ln ( x )]dx
1
1 1 2 当f ( x ) x 时( k 2), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 2 ; 3 3 3 1 1 当f ( x ) x 3 时( k 3), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 0 1) 0 I 3 ; 3 3 1 1 2 2 4 当f ( x ) x 时( k 4), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 4。 3 3 3 5

a
2) 解决方法：
n
求积节点
与f(x)无关的常数, 称为积分系数
设f ( x)在节点a x0 x1 xn b上的函数值为 f ( xi )(i 0,1,, n)，
则有 I[ f ] Ai f ( xi ) Q[ x]。 即 ( x ) f ( x )dx