量子力学第四章 - 4 - 2

（3）
记
m
pˆ
i
m (aˆ aˆ†) 2
aˆ
2
x
i
2
pˆ
Biblioteka Baidu
或
aˆ
2
x
1 2
d
dx
x
aˆ †
2
i
x
2
pˆ
aˆ †
2
x
1 2
d
dx
（注意）aˆ不是厄米算符 (aˆ† aˆ)
x
1 (aˆ aˆ †)
2
pˆ
i
(aˆ aˆ †)
2
aˆ
1 2
正交归一完备性 n m nm, n n Iˆ
n
5
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 9）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
则有 Nˆaˆ n (aˆNˆ aˆ) n (n 1)aˆ n
aˆ n Cn n 1 归一化条件给出 n aˆ†aˆ n n Nˆ n n
证明:
aˆ
aˆ †
aˆ †
aˆ
1 2
d
d
d
d
d
d
d
d
1 2
2
d d
d d
1
d2 d 2
2
d d
d d
1
d2 d
1
或者，利用
aˆ
2
x
i
2
pˆ
以及
[xˆ, pˆ x ] i
aˆ †
2
x
i
2
pˆ
给出上述对易关系。 4
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 9）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
6．占有数表象和算符矩阵
以粒子数算符 Nˆ的本征态矢 n（n=0,1,2,…）为基
矢构成的表象称为占有数表象。
aˆ 的矩阵元 n aˆ n n n n 1 n n, n1
0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0
a 0 0 0 3 0 0
Cn 2 n 1 n 1 Cn 2
n应为非负整数
Cn n, aˆ n n n 1
n=0态矢满足：aˆ 0 0 Nˆ 0 0 0 =0
6
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 9）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
研 究 内 容
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
Matrix representation of operators
7
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 6）
4. 态矢的构造
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
由 aˆ n n n 1 n 0 aˆ 0 0
aˆ† n n 1 n 1 n 0 aˆ† 0 1
aˆ†aˆ† 0 aˆ† 1 2 2
aˆ† 3 0 aˆ† aˆ† 2 0 2aˆ† 2 3! 3
(aˆ†)n 0 n! n
n 1 (aˆ† )n 0 n!
8
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
同样有 Nˆaˆ† n (aˆ†Nˆ +aˆ†) n (n+1)aˆ† n
aˆ† n Cn n+1 归一化条件： n aˆaˆ† n n Nˆ +1 n n+1
2
2
Cn n+1 n+1 Cn
Cn n+1,
aˆ† n n+1 n+1
aˆ† 0 1
(aˆ†)n 0 n! n
n 1 (aˆ† )n 0 n!
2
4.6 线性谐振子与占有数表象
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
哈密顿算符： Hˆ pˆ 2 1 m 2x2
2m 2
1．算符 aˆ 、 aˆ† 的引入
（１）
1/x量纲
令
x
(aˆ aˆ†) 2m
基态（真空态）的求解
由 aˆ 0 0
aˆ
2
x
1
2
d
dx
2
x
1
2
d dx
0
x
0
d0 x 0 x
2
xdx
ln0 x
2
2
x2
c
2 x2
0 x N e 2
归一化给出
9
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 9）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
3.粒子数算符
由产生/湮灭算符的对易关系出发
[aˆ, aˆ]=[aˆ†, aˆ†] 0 [aˆ, aˆ†] 1
定义算符
Nˆ aˆ†aˆ 厄密算符
有对易关系 Nˆ , aˆ aˆ†a, aˆ aˆ
Nˆ , aˆ† aˆ†a, aˆ† aˆ†
设 Nˆ 的本征方程为 Nˆ n n n
n为本征值（不一定是整数），且假设不简并
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number representation
d d
（4）
aˆ†
1 2
d d
3
4.6 线性谐振子与占有数表象（续2）
2．aˆ 、 aˆ† 的对易关系
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
[aˆ, aˆ]=[aˆ†, aˆ†] 0 [aˆ, aˆ†] 1