应用归结原理例-讲课
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数学分析中的归结原理应用
数学分析中的归结原理应用什么是归结原理归结原理是数学分析中的一个重要概念，它是描述事物从复杂到简单的演化过程。
在数学分析中，归结原理是一种分解问题的方法，将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将它们的解合成原来问题的解。
归结原理的应用归结原理在数学分析中有广泛的应用，下面列举一些常见的例子：1.级数求和：在数学分析中，级数求和是一个常见的问题。
归结原理可以将一个级数分解为多个简单的子级数，然后分别求解这些子级数，最后将它们的和合并为原级数的和。
这样可以降低求解级数的复杂度，提高计算效率。
2.极限计算：在数学分析中，极限计算是一个重要的内容。
归结原理可以将一个复杂的极限问题分解为多个简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将它们的解合并为原问题的解。
这样可以将一个复杂的计算过程简化为多个简单的计算步骤，提高计算的准确性和效率。
3.函数求导：在数学分析中，函数求导是一个常见的问题。
归结原理可以将一个复杂的函数求导问题分解为多个简单的子问题，然后逐个求解这些子问题，最后将它们的结果合并为原函数的导数。
这样可以简化函数求导的过程，提高计算的准确性和效率。
4.微分方程求解：在数学分析中，微分方程求解是一个重要的内容。
归结原理可以将一个复杂的微分方程分解为多个简单的子方程，然后逐个解决这些子方程，最后将它们的解合并为原方程的解。
这样可以降低求解微分方程的复杂度，提高计算的准确性和效率。
5.数列递推：在数学分析中，数列递推是一个常见的问题。
归结原理可以将一个复杂的数列递推问题分解为多个简单的子问题，然后逐个求解这些子问题，最后将它们的结果合并为原数列的递推公式。
这样可以简化数列递推的过程，提高计算的准确性和效率。
通过归结原理，我们可以将复杂的数学分析问题分解为若干个简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将它们的解合并为原问题的解。
这样可以降低解决问题的复杂度，提高计算的效率和准确性。
归结原则
n →∞
x → x0
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证
必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性. 必要性应该 → x 时, f(x) 不以 A 为极限 则存在正数
ε 0 , ∀δ > 0 , 存在 xδ ∈ U + ( x0 , δ ) , 使 | f ( xδ ) − A | ≥ ε 0 .
x →+∞
是：∃ε 0 > 0, 以及 { xn } , { yn } , 虽然
xn → +∞ ，yn → +∞ ，
但是
f ( xn ) − f ( yn ) ≥ ε 0 .
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例如, 例如 对于 y = sin x , 取 ε 0 = 1 ,
π xn = 2nπ, yn = 2nπ + , 2
x1 , x2 > X , 有
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .
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任取 { x n } , xn → +∞，则存在 N，当 n > N 时,
xn > X . 又当 n, m > N 时, xn , xm > M , 故 f ( xn ) − f ( xm ) < ε .
n→ ∞
η
n
, 所以 lim xn = x0 . n→ ∞
归结原则有一个重要应用： 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 { xn }, { yn } ⊂ U ( x0 ), xn → x0 , yn → x0 , 但是
lim f ( xn ) = A ≠ B = lim f ( yn ),
n →∞ n →∞
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二、单调有界定理
定理 3.10 设 f 为定义在U + ( x0 ) 上的单调有界函数 上的单调有界函数, 则右极限 lim+ f ( x ) 存在 .
x → x0
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证
必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性. 必要性应该 → x 时, f(x) 不以 A 为极限 则存在正数
ε 0 , ∀δ > 0 , 存在 xδ ∈ U + ( x0 , δ ) , 使 | f ( xδ ) − A | ≥ ε 0 .
x →+∞
是：∃ε 0 > 0, 以及 { xn } , { yn } , 虽然
xn → +∞ ，yn → +∞ ，
但是
f ( xn ) − f ( yn ) ≥ ε 0 .
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例如, 例如 对于 y = sin x , 取 ε 0 = 1 ,
π xn = 2nπ, yn = 2nπ + , 2
x1 , x2 > X , 有
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .
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任取 { x n } , xn → +∞，则存在 N，当 n > N 时,
xn > X . 又当 n, m > N 时, xn , xm > M , 故 f ( xn ) − f ( xm ) < ε .
n→ ∞
η
n
, 所以 lim xn = x0 . n→ ∞
归结原则有一个重要应用： 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 { xn }, { yn } ⊂ U ( x0 ), xn → x0 , yn → x0 , 但是
lim f ( xn ) = A ≠ B = lim f ( yn ),
n →∞ n →∞
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二、单调有界定理
定理 3.10 设 f 为定义在U + ( x0 ) 上的单调有界函数 上的单调有界函数, 则右极限 lim+ f ( x ) 存在 .
人工智能导论课件：第四章 谓词逻辑与归结原理
5
谓词逻辑
是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法, 例：
City（北京） City（上海） Age（张三，23） (X)(Y)(Z)(father(X, Y)father(Y,
Z)gf(X, Z)
6
归结原理
归结原理是一种定理证明方法，1965年由 J.A.Robinson提出，从理论上解决了定理证明 问题。当时被认为是人工智能领域的重大突破。
例如:令E为p(x,y,f(a))
={b/x,f(x)/y},则 E= ?
E=p(b,f(x),f(a)) 此例显示了同时置换的含义. 可以看到E是
在E上的作用,也就是将E中的(i=1, ,n)同时换成相 应的ti所得到的公式.
34
ห้องสมุดไป่ตู้
置换乘法
定义 令 ={s1/y1,,sm/ym}, ={t1/x1,,tn/xn},则与的复合是
32
置换
定义: 置换是形如{t1/x1,,tn/xn}的有限集,其中xi是 互不相同的变量,ti是不等于xi的项,且xi与ti互不循环 出现. 如果ti都是不含变量的项(基项),称该置换为基置换. 若={ },则称为空置换(表示不做置换),记为.
例如:1) {a/x,g(y)/y,f(g(b))/z}是一个置换? (是, 但不是基置换).
F1F2…Fn~W为永假，可以通过证明F所 对应的子句集S=S0∪{~W}是不可满足的。
22
命题： P|=F P{F}是不可满足的。 证明: ① 若P {~F}是不可满足的，则 P|= F ② 若P|=F 则 P {~F}是不可 满足的。（反证法）
23
归结原理
基本思想 将待证明的逻辑公式的结论（F），通过 等值公式转换成附加前提，再证明该逻 辑公式是不可满足的。
谓词逻辑
是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法, 例：
City（北京） City（上海） Age（张三，23） (X)(Y)(Z)(father(X, Y)father(Y,
Z)gf(X, Z)
6
归结原理
归结原理是一种定理证明方法，1965年由 J.A.Robinson提出，从理论上解决了定理证明 问题。当时被认为是人工智能领域的重大突破。
例如:令E为p(x,y,f(a))
={b/x,f(x)/y},则 E= ?
E=p(b,f(x),f(a)) 此例显示了同时置换的含义. 可以看到E是
在E上的作用,也就是将E中的(i=1, ,n)同时换成相 应的ti所得到的公式.
34
ห้องสมุดไป่ตู้
置换乘法
定义 令 ={s1/y1,,sm/ym}, ={t1/x1,,tn/xn},则与的复合是
32
置换
定义: 置换是形如{t1/x1,,tn/xn}的有限集,其中xi是 互不相同的变量,ti是不等于xi的项,且xi与ti互不循环 出现. 如果ti都是不含变量的项(基项),称该置换为基置换. 若={ },则称为空置换(表示不做置换),记为.
例如:1) {a/x,g(y)/y,f(g(b))/z}是一个置换? (是, 但不是基置换).
F1F2…Fn~W为永假，可以通过证明F所 对应的子句集S=S0∪{~W}是不可满足的。
22
命题： P|=F P{F}是不可满足的。 证明: ① 若P {~F}是不可满足的，则 P|= F ② 若P|=F 则 P {~F}是不可 满足的。（反证法）
23
归结原理
基本思想 将待证明的逻辑公式的结论（F），通过 等值公式转换成附加前提，再证明该逻 辑公式是不可满足的。
应用归结原理例讲课教学文案
练习：“快乐学生”问题 假设：任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的；
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x,prize):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 6/19L/20u20cky(x):x幸运。
（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
12
6/19/2020
第二步：把问题用谓词公式表示出来， 并将其否定与谓词ANSWER作析取。
设Peter的父亲是u，则有：Father(u,Peter)。 将其否定与ANSWER作析取，得：
8
6/19/2020
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤：
（1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词ANSWER构成析取式。谓词ANSWER是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
4
6/19/2020
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x,prize):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 6/19L/20u20cky(x):x幸运。
（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
12
6/19/2020
第二步：把问题用谓词公式表示出来， 并将其否定与谓词ANSWER作析取。
设Peter的父亲是u，则有：Father(u,Peter)。 将其否定与ANSWER作析取，得：
8
6/19/2020
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤：
（1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词ANSWER构成析取式。谓词ANSWER是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
4
6/19/2020
函数极限的归结原理应用
函数极限的归结原理应用1. 什么是函数极限的归结原理函数极限的归结原理，也称为函数极限的替换原理，是数学分析领域的基本理论之一。
它是一种用来确定函数在某一点的极限值的方法。
归结原理的核心概念是，如果函数在某一点处的极限存在，并且在该点附近的所有邻域内，函数与另一个函数的差的绝对值可以任意小，则这两个函数具有相同的极限值。
2. 函数极限的归结原理的应用范围函数极限的归结原理在数学分析的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些应用范围的例子：•极限计算：函数极限的归结原理是计算极限值的重要工具。
通过将给定函数与一个已知函数的差化为极限较为容易计算的形式，可以简化极限计算的过程。
•导数计算：在微分学中，导数是一个函数在某一点处的变化率。
函数极限的归结原理可以用于计算导数。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数在该点的导数。
•积分计算：在积分学中，积分是计算函数面积的一种方法。
函数极限的归结原理可以用于计算积分。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数的积分。
•级数求和：在级数学中，级数是一系列数的无穷和。
函数极限的归结原理可以用于求和级数。
通过将级数拆分为两个或多个级数的差，可以简化级数的求和计算。
3. 函数极限的归结原理的实例应用为了更好地理解函数极限的归结原理的应用，以下是一些实例应用的情况。
3.1 极限计算问题描述计算函数 f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解决方法首先，我们可以将函数化简为以下形式：f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) = (x + 1)(3x + 1) / (x - 1)接下来，我们可以通过函数极限的归结原理来计算极限。
我们选择一个与函数中的 (x - 1) 相同的函数 g(x) = x - 1，并进行化简：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) / (x - 1)) * (g(x) / g(x))化简后得到：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) / ((x - 1) * g(x))在 x = 1 处，g(x) = 1 - 1 = 0，而分子 ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 2，分母 ((x - 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 0。
第3.3节--谓词逻辑的归结原理PPT课件
辖域扩展
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
辖域扩展
4）求 skolem 标准型
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
x z w ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R ( z ))
2008-2009学年第1学期
.
1515
求mgu的步骤
① 令W={F1, F2}，k=0，W0=W，σ0={ }； ② 若Wk已合一，停止，σk就是mgu；否则找不一
致集Dk； ③ 若Dk存在vk和tk，且vk不出现于tk，转④；否则
不可合一； ④ 令σk+1= σk·{tk/vk}，Wk+1=Wk{tk/vk} ⑤ k=k+1，转②。
2） 深入到量词后，得：
x yP ( a , x , y ) x ( yQ ( y , b ) R ( x ))
3）求前束范式，得：
x yP ( a , x , y ) z ( wQ ( w , b ) R ( z ))
换名
x yP ( a , x , y ) z w ( Q ( w , b ) R ( z ))
Q(a, y)∨R(b, z)
2008-2009学年第1学期
.
1919
归结式的合理性
∵{C1, C2} R ∴{C1, C2} {C1, C2, R} 但是，若R＝□，则意味着C1和C2是互否定的，{C1, C2}
是不可满足的。
归结使子句集不断增大，一旦归结出“□”，则子句集中 有互否定的单元子句存在，从而整个子句集是不可满足 的。
2008-2009学年第1学期
谓词演算与消解(归结)原理_图文
否定与全称量词、存在量词之间的关系 。 对于谓词 P, Q, 变元 X, Y有： ~彐X P(X) ＝ X ~P(X) ~ X P(X) ＝ 彐X ~P(X) 彐X P(X) ＝ 彐Y P(Y) X Q(X) ＝ Y Q(Y) X (P(X)∧Q(X) ) ＝ X P(X)∧ Y Q(Y) 彐X (P(X)∨Q(X) ) ＝ 彐X P(X)∨彐Y Q(Y)
2.savings (adequate)∧income (adequate ) => investment (stocks).
3. Savings (adequate)∧income (inadequate) => investment (combination).
4. X amountsaved (X)∧彐Y(dependents (Y)∧ greater (X, minsavings (Y))) => savings (adequate).
3.2 谓词演算
原子命题：是一个n元谓词，后跟n个项，用括号括起来
并用逗号分开。 常元符
例：
号
谓词符号
likes (george, kate). likes (X, george).
likes (george, susie). likes (X, X).
likes (george, sarah, tuesday).
谓词演算的字母表组成： （1）英文字母组合，包括大写与小写 （2）数字集合0,1,…,9 （3）下划线 如：George fires bill xxxx
3.2 谓词演算
谓词演算符号包括： 1.真值符号 true 和 false。 2.常元符号,第一个字符为小写字母的符号表达式。 3.变元符号,第一个字符为大写字母的符号表达式。 4.函词符号,第一个字符为小写字母的符号表达式, 函 词有一个元数, 指出从定义域中映射到值域中的每个元 素。
2.savings (adequate)∧income (adequate ) => investment (stocks).
3. Savings (adequate)∧income (inadequate) => investment (combination).
4. X amountsaved (X)∧彐Y(dependents (Y)∧ greater (X, minsavings (Y))) => savings (adequate).
3.2 谓词演算
原子命题：是一个n元谓词，后跟n个项，用括号括起来
并用逗号分开。 常元符
例：
号
谓词符号
likes (george, kate). likes (X, george).
likes (george, susie). likes (X, X).
likes (george, sarah, tuesday).
谓词演算的字母表组成： （1）英文字母组合，包括大写与小写 （2）数字集合0,1,…,9 （3）下划线 如：George fires bill xxxx
3.2 谓词演算
谓词演算符号包括： 1.真值符号 true 和 false。 2.常元符号,第一个字符为小写字母的符号表达式。 3.变元符号,第一个字符为大写字母的符号表达式。 4.函词符号,第一个字符为小写字母的符号表达式, 函 词有一个元数, 指出从定义域中映射到值域中的每个元 素。
最新应用归结原理例-ppt课件
（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
2
12/3/2020
应用归结原理进行定理证明-习题1
例.已知:某些病人喜欢所有的医生， 没有一个病人喜欢任意一个骗子。
证明: 任意一个医生都不是骗子。 证明: 知识表示：令
P(x)：x是病人 D(x)：x是医生 Q(x)：x是骗子 L(x, y)：x喜欢y
A1: x (P(x) y(D(y)L(x, y))) A2: x(P(x) y(Q(y) ～L(x, y))) B: x(D(x) ～Q(x)) 我们要证明B是A1和A2的逻辑结果，即公式A1A2～B是不可满足的。
定义Байду номын сангаас词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
7
12/3/2020
应用归结原理进行定理证明 -习题4
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。
定义谓词：
N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零;
E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。
定义函数f(x)：x除以2。
9
12/3/2020
（二）利用归结原理求取问题答案
第四章 归结法原理
• • • •
x(R(x) Q(x))， x(R(x) Q(x))， R(b) Q(b) {R(b), Q(b)}
计算机学院
计算机学院
21 21
(4) 构造子句集S= SA∪SB∪SC (5) 构造以下反驳： • C1 = P(c) • C2 = R(x) S(c, x) • C3 = P(y) Q(z) S(y, z) • C4 = R(b), • C5 = Q(b) • C6= Q(z) S(c, z) C1, C3 ├res C6 计算机学院 • C7= S(c, b) C2, C4 ├res C7 • C8= Q(b) C6, C7 ├res C8 • C9= □ C5, C8 ├res □ 证毕。
归结子句不唯一
计算机学院 1Leabharlann 10反驳 定义：设S是子句集合，如果子句序列C1, …, Cn满足
如下条件，则称子句序列C1,…,Cn为子句集合S的一
个反驳。 (1) 对于每个1≤k<n， • CkS，或者 • Ck是Ci和Cj的归结子句，i<k，j<k。
(2) Cn是□。
计算机学院
计算机学院
计算机学院
计算机学院
5 5
定义
子句集：子句的有限集合称为子句集.
• 子句集{{P1,1, …, P1,m}, … , {Pn,1, …, Pn,m}}，
表示公式(P1,1 … P1,m) … (Pn,1 … Pn,m)的 闭包 • 子句集合{{P(x), Q(y)}, {P(c),计算机学院 Q(z)}}表示Skolem 范式xyz((P(x)Q(y)) (P(c) Q(z)))
• yz(P(y) R(z) L(y,z)) • {P(y) R(z) L(y,z)}
人工智能 一般搜索原理---归结原理
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例8 S={p∨q, ∼p∨q, p∨ ∼ q, ∼p∨∼q}
解:选顶子句C0= p∨q (1)p∨q 归结式: (2)∼p∨q (5) q (1)(2) (3) p∨∼q (6) p (3)(5) (4) ∼p∨∼q (7) ∼q (4)(6) (8) nil (6)(7)
第八讲一般搜索原理----归结原理
1.归结推理规则 设有两子句:c1=p∨c1’ c2= ~ p∨c2’ 从中消去互补对p和~ p,所得的新子句: R(c1, c2)= c1’ ∨ c2’ 称为子句c1,c2的归结式.
第八讲一般搜索原理----归结原理
例子: 假言推理:s={p, ~ p∨q} 归结式: q 合并推理 : s={p ∨q, ~ p∨q} 归结式: q 重言式: s={p ∨q, ~ p∨ ~ q} 归结式: p ∨ ~ p q∨~q 空子句: s={p, ~ p} 归结式: nil 三段式: s={~ p ∨q, ~ q∨r} 归结式: ~ p ∨r p→r
归结反演树
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
三.归结反演求解
从归结反演中求取对某个问题的解答称反演求解. 若把归结反演过程用一棵反演树表示,答案求取需要将 一棵根部有nil的反演树变换为在根部带有可用作答案 的某一个语句的一棵证明树. 步骤:
(1)把由目标公式的否定产生的每个子句添加到目标公式否定之否 定的子句中. (2)按照反演树,执行和以前相同的归结,直到在根部得到某个子句 为止. (3)用根部的子句作为一个回答语句.
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例2 如果无论John到哪里去,Fido也就去哪里,那 么如果John在school,Fido在school吗? 解: 前提公式集 ∀(x)[AT(John,x)→AT(Fido,x)] 化为子句:∼ AT(John,x) ∨ AT(Fido,x) AT(John,school) 目标公式∃(x)AT(Fido,x) 否定目标: ∼ AT(Fido,x)
归结原则的应用老黄学高数第98讲ppt课件
极限 f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.
证：设{xn}, {yn} ⊂U⁰(x0)且 xn= 记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，
yn=x0，
则{zn}⊂U⁰(x0)且
zn=x0，
若 f(zn)不存在. 则 f(xn)≠ f(yn)，
此时 f(x)不存在.
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
练习 1、设f在U⁰(x0)内有定义. 证明： 若对任何数列{xn}⊂U⁰(x0)且 xn=x0，
极限 f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.
证：设{xn}, {yn} ⊂U⁰(x0)且
xn=
yn=x0，
记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，
则{zn}⊂U⁰(x0)且 zn=x0，∴ f(zn)存在.
∵{xn},{yn}都是{zn}的子列，
∴ f(xn) = f(yn)，原命题得证.
而除了{xn}，仍可能存在以x0为极限的数列{zn}⊂U⁰(x0), 有f(z0)≠A (z0∈{zn}⊂U⁰(x0)). 只有当{xn}=U⁰(x0)时，猜想成立.
又2nx0→+∞(n→∞)，且
f(x)=A，
由归结原则知
f(2nx0)=A (2)
消解(归结)原理讲解
如果将谓词公式G的Skolem标准型前面的全 称量词全部消去，并用逗号（，）代替合 取符号，便可得到谓词公式G的子句集。 例如在上面的例子中已求得谓词公式G的 Skolem标准型，因而G的子句集S为
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
数理逻辑-归结法原理PPT优选版
数理逻辑-归结法原理
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
计算机学院
计算机学院
2
2
计算机学院
计算机学院
3
3
Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
Q1= P Q
Q1 Ω
例题：P (Q R)├ (P Q) (P R) 分配律
σ'(q Pi)=1，其中，q Pi Ωq
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
计算机学院
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15
15
▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
计算机学院
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16
16
▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
Q1Ω Q2Ω Q3= (Q1-Q) (Q2-计Q算) 机学院
计算机学院
13
13
▪ 定理：子句集合Ω是不可满足的当且仅当存在Ω的反 驳。
▪ 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。
▪ (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
▪ (2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
▪ 证明：
Q3=□
Q3= (Q1-Q) (Q2- Q)
▪ 设Q =pq …q ，Q =pr …r 。 Q2= Q
Q2 Ω
Q4=Q 因为((Q
R)
Q4 Q)
1
ΩQ的合取范1式Q
(
R
Qn)
Q，所2 以子句集合Ω=1{Q, R Q, mQ}
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
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2
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3
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Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
Q1= P Q
Q1 Ω
例题：P (Q R)├ (P Q) (P R) 分配律
σ'(q Pi)=1，其中，q Pi Ωq
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
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▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
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▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
Q1Ω Q2Ω Q3= (Q1-Q) (Q2-计Q算) 机学院
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▪ 定理：子句集合Ω是不可满足的当且仅当存在Ω的反 驳。
▪ 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。
▪ (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
▪ (2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
▪ 证明：
Q3=□
Q3= (Q1-Q) (Q2- Q)
▪ 设Q =pq …q ，Q =pr …r 。 Q2= Q
Q2 Ω
Q4=Q 因为((Q
R)
Q4 Q)
1
ΩQ的合取范1式Q
(
R
Qn)
Q，所2 以子句集合Ω=1{Q, R Q, mQ}
谓词逻辑与归结原理优秀课件
即：对于命题公式A，若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
例：P∧Q
非重言式的可满足式
既是可满足式，又不是重言式
17
3.1 命题逻辑
等值逻辑运算
<=> 逻辑等值，等号连接的命题公式等价，≡ 基本等值算式 P80
交换律: A ∧ B <=> B ∧ A； A ∨B <=> B ∨ A ； 结合律: (A ∧ B) ∧ C<=> A ∧(B ∧ C) ；
2、3、教1、如室3果里不天有是下3偶0雨名数，男出生门和带10伞名~p女→生q
令令：令pp表表：示示p表““示天教“下室雨3里是”有偶，3数q0名表”男示，生“~p”出门，带
伞”q表示“教室里有10名女生”
p→pq∧q
5、只有不下雨，我才骑自行车上班 令p表示“天下雨”，q表示“骑自行车上班”
q →~p
(对角线不可以) 智能体有且仅有一支箭，用这支箭可以射杀怪物 某个房间中有金子，游戏的目标是智能体找到金子
4
怪物洞穴
智能体行动的关键是要 根据获得的信息推理， 从而判断哪个房间有怪 物？哪个房间有陷阱？ 哪个房间是安全的？
房间[4,2]和[2,3]有陷阱， 房间[3,4]有怪物，房间 [4,3]有金子
谓词逻辑与归结原 理
概述
本章的内容与目标
智能体如何认识事物并且进行推理 用形式化的语言描述推理过程 机器证明的一般方法—归结原理
2
概述
语言
自然语言：人们在日常生活中所使用的语言文字
半形式化语言：自然语言加特定的符号，如数学语 言(定义、定理等)
形式化语言：用精确的数学或机器可处理的公式定 义的语言 。(逻辑学语言，弗雷格Frege ，1879)
例：P∧Q
非重言式的可满足式
既是可满足式，又不是重言式
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3.1 命题逻辑
等值逻辑运算
<=> 逻辑等值，等号连接的命题公式等价，≡ 基本等值算式 P80
交换律: A ∧ B <=> B ∧ A； A ∨B <=> B ∨ A ； 结合律: (A ∧ B) ∧ C<=> A ∧(B ∧ C) ；
2、3、教1、如室3果里不天有是下3偶0雨名数，男出生门和带10伞名~p女→生q
令令：令pp表表：示示p表““示天教“下室雨3里是”有偶，3数q0名表”男示，生“~p”出门，带
伞”q表示“教室里有10名女生”
p→pq∧q
5、只有不下雨，我才骑自行车上班 令p表示“天下雨”，q表示“骑自行车上班”
q →~p
(对角线不可以) 智能体有且仅有一支箭，用这支箭可以射杀怪物 某个房间中有金子，游戏的目标是智能体找到金子
4
怪物洞穴
智能体行动的关键是要 根据获得的信息推理， 从而判断哪个房间有怪 物？哪个房间有陷阱？ 哪个房间是安全的？
房间[4,2]和[2,3]有陷阱， 房间[3,4]有怪物，房间 [4,3]有金子
谓词逻辑与归结原 理
概述
本章的内容与目标
智能体如何认识事物并且进行推理 用形式化的语言描述推理过程 机器证明的一般方法—归结原理
2
概述
语言
自然语言：人们在日常生活中所使用的语言文字
半形式化语言：自然语言加特定的符号，如数学语 言(定义、定理等)
形式化语言：用精确的数学或机器可处理的公式定 义的语言 。(逻辑学语言，弗雷格Frege ，1879)
数学分析中的归结原理及其应用
则
可用反证法推出 lim x→ x0
f (x) = A .
事实上,
倘若当 x → x0 时
f
不以 A 为极限,
则
存在 ε 0 > 0 , 对任何δ > 0 (无论多么小)总存在一点 x , 尽管 0 < x − x0 < δ , 但
有 f (x) − A ≥ ε0 .
现依次取 δ
=
δ
′,
δ′ 2
,
δ′ 3
f
(xn )
≠
A ，矛盾！
证明：(3)必要性 设 lim f (x) = A 对 ∀ε > 0, ∃M > 0 ，使得当 x > M 时，有 x→∞
f (x) − A < ε ，另一方面，设 xn → ∞(n → ∞) ，则对上述 M > 0, ∃N > 0 ，使得当
n > N 时，必有 x0
> M ，从而有
lim
x → x0
f
(x)
=
A
⇔
对任何以
x0
为极限的数列 {xn} ，
xn
≠
x0
，总有
lim
x→∞
f
(xn )
=
A
3
2）从归结原理可以得到证明 lim f (x) 不存在的方法： x → x0
(1)
∃{xn },
xn
→
x0 ,
n → ∞ ，使 lim n→∞
f (xn ) 不存在；
(2)
∃{xn '}, {xn "} xn '→ x0 ， xn "→ x0 , n → ∞ .
f
(x0 )
归结原理
2.6 利用归结原理求取问题的答案
求解答案的基本思想和定理证明类似。其求解步骤如下： （1）把前提条件用谓词公式表示出来，并且化为相应 的子句集S。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，其中含 有欲求解的变元。 （3）另设一个特殊的一元谓词ANSWER，其变元和求 解问题公式中的变元相同。 （4）把求解公式和ANSWER谓词“或”起来构成析取 式，把此析取式化成子句集后并入条件子句集S中形成新子 句集S'。 （5）对S'用归结原理进行归结。 （6）若归结的结果是ANSWER，则其已实例化的变元 就是问题的答案。
o
o
定义2-32 子句C1和C2的归结式是下列 定义 二元归结式之一： （1）C1与C2的二元归结式 （2）C1与C2的因子的二元归结式 （3）C1的因子与C2的二元归结式 （4）C1的因子与C2的因子的二元归结式
例如，有两个子句 C1=P(x)∨P(f(y))∨R(g(y)) C2= ～ P(f(g(a)))∨Q(b)) （1）子句C1中有可合一的文字 {P(x) ,P(f(y))} ， 它们的最一般合一是σ1={f(y)/x} C1的因子是C1σ1 =P(f(y))∨R(g(y)) , C （2）又由于P(f(y))和～ P(f(g(a)))是可合一的文字，它们的最 一般合一是θ={g(a)/y} 所以C1σ1和C2有二元归结式R(g(g(a))) ∨ Q(b) 它就是C1和C2的归结式。
程序常用的方法是水平浸透法，它的做法如下： （a）把S0中的子句排序； （b）在S0中顺序地考虑两个子句的归结式：即第一个子句和其 后各子句归结，然后第二个子句和其后各子句归结，第三个子 句再和其后各子句归结，…，直至倒数第二个子句和最后一个 子句归结，得到子句集S1： S1={C12 | C1∈S0，C2∈S0} 检查S1中是否有空子句，如有空子句，则归结结束，否则继 续步骤（c）； （c）将S1并入S0得S0∪S1。再顺序地考虑子句集S0∪S1和S1 的归结式，即一个子句来自子句集S0∪S1，另一个子句来自 S1，得到子句集S2： S2={C12 | C1∈S0∨S1，C2∈S1} 检查S2中是否有空子句，如无空子句则还要重复上述过程…
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应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活” 练习 激动人心的生活”问题 激动人心的生活 假设： 假设： 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 定义谓词： 定义谓词： Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； 贫穷； 聪明； 快乐； 贫穷 聪明 快乐 Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。 看书； 过着激动人心的生活。 看书 过着激动人心的生活
5
12/19/2011
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： 练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； ：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； ：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以 是整数。 是整数。 ：偶数除以2是整数 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 定义谓词： 定义谓词： N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零 是自然数； 是整数； 大于等于零; ： 是自然数 ： 是整数 大于等于零 E(x)：x是偶数 是偶数; O(x)：x是奇数。 是奇数。 ： 是偶数 ： 是奇数 定义函数f(x)：x除以 。 除以2。 定义函数 ： 除以
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12/19/2011
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤： 利用归结原理求取问题答案的步骤： （1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， ）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S 设该子句集的名字为 1。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 并 ）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 与一谓词ANSWER构成析取式 。 谓词 构成析取式。 与一谓词 构成析取式 谓词ANSWER是一个专为求 是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 解问题而设置的谓词 ，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 （3）把（2）中的析取式化为子句集，并把该子句集与 1合并构成 ） ）中的析取式化为子句集，并把该子句集与S 子句集S。 子句集 。
应用归结原理的习题
在谓词逻辑中，对子句进行归结推理时，要注意以下几个问题： 在谓词逻辑中，对子句进行归结推理时，要注意以下几个问题： 中具有相同的变元时， （1）若被归结的子句 1 和C2中具有相同的变元时，需要将其中一 ）若被归结的子句C 个子句的变元更名，否则可能无法合一，从而没有办法进行归结。 个子句的变元更名，否则可能无法合一，从而没有办法进行归结。 （ 2）在求归结式时 ， 不能同时消去两个互补文字对 ， 消去两个互 ） 在求归结式时，不能同时消去两个互补文字对， 补文字对所得的结果不是两个亲本子句的逻辑推论。 补文字对所得的结果不是两个亲本子句的逻辑推论。 （ 3）如果在参加归结的子句内含有可合一的文字 ， 则在进行归结 ） 如果在参加归结的子句内含有可合一的文字， 之前，应对这些文字进行合一，以实现这些子句内部的化简。 之前，应对这些文字进行合一，以实现这些子句内部的化简。
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12/19/2011
利用归结原理求取问题答案-习题 利用归结原理求取问题答案 习题1 习题
任何兄弟都有同一个父亲， 例. 任何兄弟都有同一个父亲， John和Peter是兄弟，且John的父亲是 和 是兄弟， 的父亲是David， 是兄弟 的父亲是 ， 的父亲是谁？ 问:Peter的父亲是谁？ 的父亲是谁 解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来， 句集，那么要先定义谓词。 句集，那么要先定义谓词。 （1） 定义谓词： ） 定义谓词： 表示x是 的父亲 的父亲。 设Father(x,y)表示 是y的父亲。 表示 Brother(x,y)表示 和y是兄弟。 表示x和 是兄弟 是兄弟。 表示
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12/19/2011
第三步：将上述公式 化为子句集 并将 化为子句集S 并将S 合并到S。 第三步：将上述公式G化为子句集 2,并将 1和S2合并到 。 S2 ={～Father(u,Peter)∨ANSWER(u)} ～ ∨ S= S1∪S2 中各子句列出如下： 将S中各子句列出如下： 中各子句列出如下 （1）～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y)。 ） ∨ ∨ 。 （2）Brother(John,Peter)。 ） 。 （3）Father(David,John)。 ） 。 （4）～Father(u,Peter)∨ANSWER(u)。 ） ∨
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12/19/2011
应用归结原理进行定理证明-习题1
例.已知:某些病人喜欢所有的医生， 没有一个病人喜欢任意一个骗子。 证明: 任意一个医生都不是骗子。 证明: 知识表示：令 P(x)：x是病人 D(x)：x是医生 Q(x)：x是骗子 L(x, y)：x喜欢y A1: ∃x (P(x) ∧ ∀y(D(y)→L(x, y))) A2: ∀x(P(x) →∀y(Q(y) →～L(x, y))) B: ∀x(D(x) →～Q(x)) 我们要证明B是A1和A2的逻辑结果，即公式A1∧A2∧～B是不可满足的。
3
12/19/2011
A1=∃x (P(x) ∧ ∀y(～D(y) ∨ L(x, y))) =∃x ∀y (P(x) ∧ (～D(y) ∨ L(x, y))) ---→ ∀y (P(a) ∧ (～D(y) ∨ L(a, y))) A2=∀x(P(x) →∀y(～Q(y) ∨～L(x, y))) =∀x(～P(x) ∨∀y(～Q(y) ∨～L(x, y))) =∀x∀y (～P(x) ∨～Q(y) ∨～L(x, y)) ～B=～(∀x(D(x) →～Q(x))) =∃x (D(x) ∧Q(x)) ---→ D(b) ∧Q(b) 因此，公式A1∧A2∧～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)∨L(a,y),～P(x)∨～Q(y)∨～L(x, y),D(b),Q(b)｝
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12/19/2011
（一）应用归结原理进行定理证明
应用归结原理进行定理证明的步骤： 应用归结原理进行定理证明的步骤： 设要被证明的定理可用谓词公式表示为如下的形式： A1∧A2∧…∧An→B (1)首先否定结论B，并将否定后的公式～B与前提公式集组成如下形 式的谓词公式： G= A1∧A2∧…∧An∧～B (2) 求谓词公式G的子句集S。 (3) 应用归结原理，证明子句集S的不可满足性。
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12/19/2011
S不可满足的归结演绎序列为： (1) P(a) (2) ～D(y) ∨ L(a, y) D(y) (3) ～P(x) ∨ ∨～Q(y) ∨ ∨～L(x, y) (4) D(b) (5) Q(b) (6) L(a, b) 由(2)、(4) mgu:{b/y} (7) ～Q(y) ∨ ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x} (8) ～L(a, b) 由(5)、(7) mgu:{b/y} (9) 由(6)、(8)
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12/19/2011
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： 练习： (1)马科斯 马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； 是男人； 马科斯是庞贝人 马科斯是庞贝人； 马科斯 是男人 (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒 所有庞贝人都是罗马人； 恺撒 恺撒(Caesar)是一位统治者； 是一位统治者； 所有庞贝人都是罗马人 是一位统治者 (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； 所有罗马人忠于或仇恨恺撒； 每个人都忠于某个人 每个人都忠于某个人； 所有罗马人忠于或仇恨恺撒 (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 男人们只想暗杀他们不忠于的统治者； 马科斯试图暗杀恺撒 马科斯试图暗杀恺撒。 男人们只想暗杀他们不忠于的统治者 证明：马科斯仇恨恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。 定义谓词： 定义谓词： Man(x)：x是男人； 是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人； 是庞贝人； ： 是男人 ： 是庞贝人 Roman(x):x是罗马人 是罗马人; Ruler(x):x是统治者 是统治者; 是罗马人 是统治者 Loyalto(x,y):x忠于 忠于y; Hate(x,y):x仇恨 仇恨y; 忠于 仇恨 Tryassassinate(x,y):x试图暗杀 。 试图暗杀y。 试图暗杀
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12/19/2011
第二步：把问题用谓词公式表示出来， 第二步：把问题用谓词公式表示出来， 并将其否定与谓词ANSWER作析取。 作析取。 并将其否定与谓词 作析取 的父亲是u，则有： 设Peter的父亲是 ，则有：Father(u,Peter)。 的父亲是 。 将其否定与ANSWER作析取，得： 将其否定与 作析取， 作析取 G：～ ：～Father(u,Peter)∨ANSWER(u) ：～ ∨
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12/19/2011
（2） 将已知事实用谓词公式表示出来。 ） 将已知事实用谓词公式表示出来。 F1 ：任何兄弟都有同一个父亲。 任何兄弟都有同一个父亲。 ∀x∀y∀z (Brother(x,y)∧Father(z,x)→Father(z,y)) ∀ ∀ ∧ F2：John和Peter是兄弟。 是兄弟。 和 是兄弟 Brother(John,Peter) F3： John的父亲是 的父亲是David。 的父亲是 。 Father(David, John) （3） 将它们化成子句集得： ） 将它们化成子句集得： S1={～Brother(x,y)∨～Brother(John,Peter), Father(David,John)}