第一部分预备知识教学课件
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(2) 等价关系是最重要的一类关系，可通过等价 类对集合中的元素进行划分(分类)。
4. 格、软代数、布尔代数
(1) 引入这些概念是为了在结构意义下讨论普通集及 模糊集、模糊关系。这些概念之间的关系是： 布尔代数→软代数→格。
(2) 掌握格的偏序集及代数系统描述法，及两者之间 的联系。
(3) (P(X),,,c)是布尔代(F数 (X， ),,,c)(因而 (F(XX),,,c))是软代,但 数不是布尔代数
第一章 预备知识
1. 集合 2. 映射与代数系统 3. 关系 4. 格、软代数、布尔代数
3. 关系
(1)关系本质上是特殊的集合，因而关系有并、 (2) 交、余运算，其运算性质与集合相同；关 (3) 系有特征函数(特征关系)，从而在有限论域 (4) 上有矩阵表示等。同时关系有自己特殊的 (5) 运算逆与合成。
2. 从A到B的映f射 为满射的充要条 对件 任是 意：
集合 X及映射 ,：BX, 只要 f f 则有 .
证明（：必要性） 假设 f是从 A到B的满射，若对任X及 意映 集合
射,：BX, 有 f f.
由f于 是满射 b ， B,a故 A使f得 (a)b,而
(f)a ()(f)a ()， 即 (f(a))(f(a)， ) 亦 即 (b)(b).
( A B ) C c [A ( B c ) ( B A c ) C ] c
( A B c C c ) ( B A c C c ) (AB)cC [ A c ( B c ) ( B B c ) ( A c A ) ( B A ) C ] ( A c B c C ) ( B B c C ) ( A c A C ) ( A B C ) (A c B c C ) (A B C )
证明： ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
即.
4.若代 (L, 数 , ,c)满 系 :足
( 1 ) ;
(2 ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
•已知模糊集，求并、交、余； •已知模糊集，求截集与强截集； •已知截集(强截集), 求模糊集；
•掌握两类模糊模式识别方法； •记住并能熟练应用一些典型的贴近度 公式(格，海明距离).
1 .如 A B 果 A B c,A B (A B ) (B A ), 证(A 明 B ) C ： A (B C ).
•模糊集A在本质上是个从X到[0,1]的映射;
•模糊集只有属于程度,没有属于不属于的概念; •特殊情形：
XX1X2模糊;关 X系 R模糊量
2. 模糊集运算(并、交、余)
(F(X),,,c)是软代数，而不代是数 .布尔
3.截集与强截集
•截集与强截集是普通集； •截集与强截集所展示的性质往往是衡量一个 概念模糊化是否合理的重要依据； •任意的截集或强截集是否相等与模糊集是否 相等是等价的；
结合：令 x() y()
由吸收律： x
y ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( ) 于 是 x y .
类似得：cxcy.
x 1 x ( c) x(x) (cx)
(y) (cy) (c ) y 1 y y
第二章 模糊集基础
1.模糊集概念
原因是矛盾律与在排模中糊律情况下不。再成
1. 从A到B的映f射 为单射的充要条 对件 任是 意：
集合 X及映射 ,：XA, 只要 f f 则有 .
证Leabharlann Baidu（：必要性） 假设f是从A到B的单射，则对任意集合X及映
射,：X A, 只要f f 有x X时， ( f )(x) ( f )(x)，即f ((x)) f ( (x)).
•掌握截集与强截集的一些基本性质；
4. 分解定理
A [ 0 ,1 ]A [ 0 ,1 ]A • [ 0 ,1 ]H ()
分解定理是联系模糊集与普通集的重要桥梁；
由分解定理可得：
A(x)
(
[0,1]
A
(x))
xA
A(x)
(
[0,1]
A •
(x))
xA
•
A(x) ( H()(x))
证明： ( A B ) c [A ( B c ) ( B A c )c] (A B c)c (B A c)c
(A c B ) (B c A ) [A c ( B ) B c ] [A c ( B ) A ]
[ A c ( B c ) ( B B c ) [ ] A c ( A ) ( B A )] 类似可得： (B C )c [B ( c C c ) (C C c ) ] [B ( c B ) (C B )]
[0,1]
xH ( )
H为区间套时，A为凸模糊量； H为闭区间套时，A为模糊数
5. t-模与t-余模
• t-模与t-余模是构模“且”及“或”的最一般的逻辑 联结，正是由于t-模与t-余模存在才有模糊逻辑
的丰富性；
• 掌握最大与最小t-模与t-余模以及常见的t-模与 t-余模.
6. 本章掌握下列计算
由f是 于单(射 x) (， x) (x 故 X ).
所以 ， .
（充分性） 用反证法。
若 f不是 A到 从 B的单射， a1,a2则 A且 存在 a1a2使f得 (a1)f(a2).
作映射 ,：AA为：(x) a1 (xA)，
(x) aa12
xa1，则f((x)) f((x))(xA).
xa1
即 ff. 所以， ,矛盾！
( 3 ) 0 ; 1
(4 ) c 1 ; c 0
则(L,,,c)是布尔.代数
证明: 幂等: 1 ( c)
( )( c)
( ) 0
吸收: 先证 11
1 ( 1 ) 1 (1)(c)
( 1 c )c 1
( ) ( 1 ) ( )
(1) 1
类似可证：00并由此推得： ( ) .
所以， .
（充分性） 用反证法。
若 f不 是 A到 从 B的 满 射 B\ f， (A)则 ,令 X{x1,x2} (b)x1(bB),
(b) xx1 2
bf(A) bB\ f(A)
则及均为B从 到X的映射，且 aA,有(f(a))(f(a)).
即 ff.所以， ,矛盾！
3 .在一(个 L , , )中 分 ， 配 若 格 ，且 ， 则 . 有
4. 格、软代数、布尔代数
(1) 引入这些概念是为了在结构意义下讨论普通集及 模糊集、模糊关系。这些概念之间的关系是： 布尔代数→软代数→格。
(2) 掌握格的偏序集及代数系统描述法，及两者之间 的联系。
(3) (P(X),,,c)是布尔代(F数 (X， ),,,c)(因而 (F(XX),,,c))是软代,但 数不是布尔代数
第一章 预备知识
1. 集合 2. 映射与代数系统 3. 关系 4. 格、软代数、布尔代数
3. 关系
(1)关系本质上是特殊的集合，因而关系有并、 (2) 交、余运算，其运算性质与集合相同；关 (3) 系有特征函数(特征关系)，从而在有限论域 (4) 上有矩阵表示等。同时关系有自己特殊的 (5) 运算逆与合成。
2. 从A到B的映f射 为满射的充要条 对件 任是 意：
集合 X及映射 ,：BX, 只要 f f 则有 .
证明（：必要性） 假设 f是从 A到B的满射，若对任X及 意映 集合
射,：BX, 有 f f.
由f于 是满射 b ， B,a故 A使f得 (a)b,而
(f)a ()(f)a ()， 即 (f(a))(f(a)， ) 亦 即 (b)(b).
( A B ) C c [A ( B c ) ( B A c ) C ] c
( A B c C c ) ( B A c C c ) (AB)cC [ A c ( B c ) ( B B c ) ( A c A ) ( B A ) C ] ( A c B c C ) ( B B c C ) ( A c A C ) ( A B C ) (A c B c C ) (A B C )
证明： ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
即.
4.若代 (L, 数 , ,c)满 系 :足
( 1 ) ;
(2 ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
•已知模糊集，求并、交、余； •已知模糊集，求截集与强截集； •已知截集(强截集), 求模糊集；
•掌握两类模糊模式识别方法； •记住并能熟练应用一些典型的贴近度 公式(格，海明距离).
1 .如 A B 果 A B c,A B (A B ) (B A ), 证(A 明 B ) C ： A (B C ).
•模糊集A在本质上是个从X到[0,1]的映射;
•模糊集只有属于程度,没有属于不属于的概念; •特殊情形：
XX1X2模糊;关 X系 R模糊量
2. 模糊集运算(并、交、余)
(F(X),,,c)是软代数，而不代是数 .布尔
3.截集与强截集
•截集与强截集是普通集； •截集与强截集所展示的性质往往是衡量一个 概念模糊化是否合理的重要依据； •任意的截集或强截集是否相等与模糊集是否 相等是等价的；
结合：令 x() y()
由吸收律： x
y ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( ) 于 是 x y .
类似得：cxcy.
x 1 x ( c) x(x) (cx)
(y) (cy) (c ) y 1 y y
第二章 模糊集基础
1.模糊集概念
原因是矛盾律与在排模中糊律情况下不。再成
1. 从A到B的映f射 为单射的充要条 对件 任是 意：
集合 X及映射 ,：XA, 只要 f f 则有 .
证Leabharlann Baidu（：必要性） 假设f是从A到B的单射，则对任意集合X及映
射,：X A, 只要f f 有x X时， ( f )(x) ( f )(x)，即f ((x)) f ( (x)).
•掌握截集与强截集的一些基本性质；
4. 分解定理
A [ 0 ,1 ]A [ 0 ,1 ]A • [ 0 ,1 ]H ()
分解定理是联系模糊集与普通集的重要桥梁；
由分解定理可得：
A(x)
(
[0,1]
A
(x))
xA
A(x)
(
[0,1]
A •
(x))
xA
•
A(x) ( H()(x))
证明： ( A B ) c [A ( B c ) ( B A c )c] (A B c)c (B A c)c
(A c B ) (B c A ) [A c ( B ) B c ] [A c ( B ) A ]
[ A c ( B c ) ( B B c ) [ ] A c ( A ) ( B A )] 类似可得： (B C )c [B ( c C c ) (C C c ) ] [B ( c B ) (C B )]
[0,1]
xH ( )
H为区间套时，A为凸模糊量； H为闭区间套时，A为模糊数
5. t-模与t-余模
• t-模与t-余模是构模“且”及“或”的最一般的逻辑 联结，正是由于t-模与t-余模存在才有模糊逻辑
的丰富性；
• 掌握最大与最小t-模与t-余模以及常见的t-模与 t-余模.
6. 本章掌握下列计算
由f是 于单(射 x) (， x) (x 故 X ).
所以 ， .
（充分性） 用反证法。
若 f不是 A到 从 B的单射， a1,a2则 A且 存在 a1a2使f得 (a1)f(a2).
作映射 ,：AA为：(x) a1 (xA)，
(x) aa12
xa1，则f((x)) f((x))(xA).
xa1
即 ff. 所以， ,矛盾！
( 3 ) 0 ; 1
(4 ) c 1 ; c 0
则(L,,,c)是布尔.代数
证明: 幂等: 1 ( c)
( )( c)
( ) 0
吸收: 先证 11
1 ( 1 ) 1 (1)(c)
( 1 c )c 1
( ) ( 1 ) ( )
(1) 1
类似可证：00并由此推得： ( ) .
所以， .
（充分性） 用反证法。
若 f不 是 A到 从 B的 满 射 B\ f， (A)则 ,令 X{x1,x2} (b)x1(bB),
(b) xx1 2
bf(A) bB\ f(A)
则及均为B从 到X的映射，且 aA,有(f(a))(f(a)).
即 ff.所以， ,矛盾！
3 .在一(个 L , , )中 分 ， 配 若 格 ，且 ， 则 . 有