曲线的凹凸性及拐点

一、曲线的凹凸性及拐点

引导学生观察下列图象

1.定义1 设函数()y f x =在区间(),a b 内可导，

（1）若曲线()y f x =位于其每点切线的下方（割线位于曲线的下方），则称曲线()y f x =在区间(),a b 内是凸的，区间(),a b 称为函数()f x 的凸区间.

（2）若曲线()y f x =位于其每点切线的上方（割线位于曲线的上方），则称曲线()y f x =在区间(),a b 内是凹的，区间(),a b 称为函数()f x 的凹区间.

2.定义2 曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.

3.定理1 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内具有二阶导数，

（1）若在(),a b 内，()0f x ''<，则曲线()y f x =在区间(),a b 内是凸的.

（2）若在(),a b 内，()0f x ''>，则曲线()y f x =在区间(),a b 内是凹的.

4.求曲线凹凸区间和拐点的步骤如下：

（1）求出函数的一阶导数()f x '，再求二阶导数()f x ''；

（2）求出二阶导数()0f x ''=的点，以及()f x ''不存在的点；

（3）考察每个点处的左、右二阶导数是否异号，从而确定哪些点处取得拐点；

（4）求出每个二阶导数变号点处的函数值，从而得到曲线的全部拐点. 例1、讨论曲线32395y x x x =--+的凹凸性，并求其拐点.

x

a b 凹弧 凸弧

例2、讨论曲线4321y x x =-+的凹凸性，并求其拐点.

二、函数曲线的曲率

曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图1，弧 AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏

差θ∆. 可是，弧 CD 的全曲率与弧

AB 的全曲率相同，但前者显 然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身

的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位

那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长

度为s ∆的弧的全曲率θ∆同弧长s ∆的比值/s θ∆∆，称为该弧的 平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把

极限

定义为弧

AB 在点A 处的曲率 (其中θ∆为弧 AB 的全曲率, s ∆为弧 AB 的长度)。

对于半径为R 的圆周来说 (图2)，由于θ∆=∆R s ，

所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为

R s s K s 1d d lim 0==∆∆=→∆θθ (半径的倒数)

对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率0A K ≠时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A 相切 (即有公切线)且半径1/A A R K =. 这样的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A 处的曲率中心。如图3中那个抛物线在原点O 或点(1,)

A a 的曲率圆。请注意，因为曲率有可能是负数(在实际应用中，有时把绝对值A K 称

为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。

A B A 0d lim lim d s K s s s

θθθ→∆→∆∆===∆

∆

对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图4)，由于

()tan y x θ'=， a r c t a n y x θ'=

所以，若有二阶导数()y x ''，则

[]2()

d d 1()y x x

y x θ''='+

注意到d s x ，则弧上点(),()A x y x 处的曲率为

{}32

2d ()ds 1[()]y x K y x θ''=

='+ (曲率公式)

当()0y x ''≠时，曲率半径为

{}3221[()]1()y x R K y x '+=='' (曲率半径公式)

其中，()0y x ''>时，曲率K 和曲率半径R 都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图4)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图

11中那个抛物线2y ax =，因为2,2y ax y a '''==，所以

(曲率) 2322)41(2x a a K +=

, (曲率半径) a x a K R 2)41(12322+==

显然，原点)0,0(O 处有最大曲率=K a 2，最小曲率半径

a R 21

=. 点(1,)A a 处的曲率和曲率半径依次为

232)41(2a a K +=， a a R 2)41(2

32+=

可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。