线性代数第四章课件4-2

故R(B) m，因此向量组B线性无关.
说明 结论（2）是对增加一个分量（即维数增加1 维）而言的，若增加多个分量, 结论也成立.
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定理3（3）m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小 于向量个数m时一定线性相关.
证明（3）m个n维向量1 ,2 , ,m构成矩阵Anm (1 ,2 , ,m )，有R( A) n.若n m,则R( A) m, 故m个向量1 ,2 , ,m线性相关.
部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
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说明 结论（1）可推广为: 一个向量组若有线性 相关的部分组，则该向量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关.
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定理3 （2）设
a百度文库 j
j
a2 j ,
arj
(三) 由 已 知 可 得
1 0 1
(b1
,
b2
,
b3
)
(
1
,
2
,
3
)
1 0
1 1
10
记作B AK，而 | K | 2 0，K 可逆
矩阵的秩
故R(b1,b2 ,b3 ) R(1,2 ,3 ) 3
因而 b1,b2 ,b3 线性无关。
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五、线性相关性与矩阵相乘关系
结论
若对于两个 n 维向量组1,2 ,L ,m与1, 2 ,L , m
j
a2 j
,
arj
a1 j
a2 j
bj
,
arj
ar
1,
j
( j 1,2, , m),
证明（2）记Arm (1 , m )，B(r1)m (b1 , , bm ),
有R( A) R(B).若向量组A线性无关,则R( A) m，
从而有 R(B) m . 但 R(B) m (因 B 只有 m 列），
注意
1. 若 1 , 2 , , n线性无关,则只有当
1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
2
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注意 2、对于任一向量组，不是线性相关就是线性无关
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
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例3 已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2 , b2 2 3 ,b3 3 1,试证b1,b2 ,b3线性无关.
(二) 由 已 知 可 得
1 0 1
记作B
(b1, b2 AK，设
,b3 ) Bx
o(，1即 ,2A,(K3 )x
1 0 )
1 1 o
0 1
方程只有 零解法
有R( A) R(B).因A组线性无关，有R( A) m;
因B组线性相关，有R(B) m 1.所以m R(B)
m 1，即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组
(1 , 2 , , m )x b有唯一解，即向量b能由向量
组A线性表示，且表示式唯一.
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七、小结
其它向量线性表示。因而线性无关也称作线性独立
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exer1
设向量组 1,2 ,L ,m 均为 n 维列向量,那么下面结 论正确的是( 2 )
(1)若 1,2 ,L
特别的：n+1个n维向量必线性相关 。
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定理3 (4) 设向量组A :1,2 , ,m线性无关,而向量 组B :1, ,m , b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线 性 表 示, 且 表 示 式 是 唯 一 的.
证明 (4)记A (1 , 2 , , m ), B (1 , 2 , , m ,b),
矩阵 Kmm , 使得
(1 ,2 ,L ,m ) (1, 2 ,L , m )K
(1)若 K 可逆,则1,2 ,L ,m线性无(相)关
1, 2 ,L , m线性无(相)关。
(2)若
K
不可逆，则1,2 ,L
,
必线性相关。
m
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六、线性相关性与向量组的关系
定理3 (1) 若向量组 A：1,2 , ,m 线性相关,则 向量组 B :1, ,m ,m1 也线性相关.反言之,若向
回顾
定理1 Ax b 有解
R( A) R( A, b),
向量b能由向量组A线性表示
定理2 方程 AX B 有解
R( A) R( A, B)
向量组 B : 1, 2 ,L , l 可由向量组 A :1,2 ,L ,m 线性表示
问题 Ax=0只有零解可有非零解，怎么用向量组说明？
k11 k22 kmm 0.
k1 1 k2 2 L km m o
(二) 齐次线性方程组 (1,2 ,L ,m )x o 有非零解，即 R (1 ,2 ,L ,m ) m
(三) 向量组1,2, ,m (m 2)中至少有一个向量可以被
其它m 1个向量线性表示
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向量组线性无关的充要条件（判定定理）
给定向量组 A : 1,2 , ,m ,则1,2 , ,m线性无关的 充要条件为
1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）
2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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向量组线性相关的充要条件（判定定理）
给定向量组
A : 1,2 ,
,m ,则1,2 ,
,
线性相关的
m
充要条件为
(一) 存在不全为零的数 k1 , k2 , L , km 使
因
1，
2，
线性无关，故有
3
x1 x3 0, x1 x2 0,
x2 x3 0.
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x1 x3 0, x1 x2 0,
x2 x3 0.
由于此方程组的系数行列式
定义法
1 01
1 1 0 20
011 故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关.
证明 （1）记A (a1, , am ), B (a1, , am , am1 )，有 R(B) R( A) 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) m，从而R(B) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由于 1,2 ,3 线性无关, 故 R( A) 3，即 Ay o 只有零解。
Kx o，而 | K | 2 0，故Kx o只有零解， x o
即 B 的列向量组 b1,b2 ,b3 线性无关。
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例3 已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2 , b2 2 3 ,b3 3 1,试证b1,b2 ,b3线性无关.
a1 j
a2 j
bj
,
arj
ar
1,
j
( j 1,2, , m),
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1 , 2 ,
, m线性无关,则向量组B：b1 , b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线
性相关 .
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a1 j
而 : m 元齐次线性方程组 Ax o 有非零解 R( A) m m 元齐次线性方程组 Ax o 只有零解 R( A) m
所以:
定理2 向量组1,2 ,L ,m线性相关 R( A) m,
相关性 秩的判
其中A (1,2 ,L ,m );
定定理
向量组1,2 ,L
,
线性无关
m
R( A) m.
1 5 7
r2 ~ r1
r3 r1
11 00 10
00 22 55
22 22 75
r3
5 2
r2
~
1 0 0
0 2 0
2 2
，
0
可 见R( 1
, 2
, 3
)
2，向量组1 , 2
,
线
3
性相
关；
R(1 , 2 ) 2,向量组1 , 2线性无关.
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例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
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结论 n 阶方阵A可逆的充要条件为A的列（行）向量组 线性无关。 补例
设 A 为 n 阶方阵，且 | A | 0，则（ 3 ）
(1)A 中必有两列（行）元素对应成比例； (2)A 中任一列（行）向量是其余列（行）向量的
线性组合； (3)A 中有一列（行）向量是其余列（行）向量的
线性组合； (4)A 中至少有一列（行）的元素全为零。
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示.
即有 am 11 22 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 , , m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1,2 , ,m 线性相关.
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必要性 设 1 ,2 , ,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 , , km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
3
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二、线性相关与线性表示的关系
定理 向量组1,2 , ,（m 当m 2时）线性相关
的充分必要条件是1 ,2 , ,m 中至少有一个向
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例２ 已知
1
0
2
1
1
，
2
2
，
3
4
，
1
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试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性.
解 分析
对矩阵（1， 2， 3），施行初等行变换变
成行阶梯形矩阵,可同时看出矩阵（1， 2， 3）
及
（
1，
）的秩，利用定
2
理2即可得出结
论.
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1 0 2
(1 , 2 , 3 ) 1 2 4
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四、例题
例１ n 维向量组
e1 1,0, ,0T ,e2 0,1, ,0T , ，en 0,0, ,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E (e1, e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R(E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数，故由定理2知此 向量组是线性无关的.
(一) 对于任意一组不全为零的数 k1, k2 , , km
都有
k11 k22 L kmm o
若 k11 k22 L kmm o，则必有
k1 k2 L km 0
(二) 齐次线性方程组 (1,2 ,L ,m ) x o 只有零解，即
R (1,2 ,L ,m ) m
(三) 向量组 1,2 , ,m (m 2)中任何一个向量都不可以被
证毕.
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三、线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某方程是其余方程的线性组合,那么, 这个方程就是多余的，则称方程组（各个方程）是线性相关的；
方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关 （或线性独立）.
方程组解 与相关性
结论
向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x2 2 xm m 0,即 Ax 0
有非零解. 其中A (1,2 , m ). 若 Ax o 只有零解，则 A的列向量组线性无关。
而 : m 元齐次线性方程组 Ax o 有非零解 R( A) m
m 元齐次线性方程组 Ax o 只有零解 R( A) m
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结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A (1,2 , m ). 若 Ax o 只有零解，则 A的列向量组线性无关。
只有零解 k1 k2 L km 0.
有非零解 k1, k2 ,L , km不全为0.
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§2.向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义 给定向量组A :1,2 ,L ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 ,L , km使
k11 k22 L kmm 0
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,