第二章-1 回转薄壳应力分析

2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
椭球壳应力与内压p、壁厚t、长轴与短轴之比a/b有关。a=b时， 椭球壳→球壳，最大应力为圆筒壳中的一半；a/b↗，椭球壳中应力 ↗，变化关系如图
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
当m=2时，椭圆封头为工程中常用的标准椭圆形封头，其应 力特性为
➢ 在壳体应力分析中，考虑所有内力，为有力矩理论，也称弯曲 理论
➢ 当弯矩与薄膜力相比很小时，可以不考虑弯矩的影响，仅计薄膜 力，这称为无力矩理论，也称薄膜理论
在薄膜理论中，应力沿厚度均匀分布，工程中大部分容器结 构主体部分的应力为薄膜应力。
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
平行圆的半径
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
2.1.2 回转薄壳的无力矩理论（续）
中面上的任意一点可由θ和φ确定
半径间的关系为
rR2sin
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2.1.2 回转薄壳的无力矩理论（续）
曲率半径的计算
➢ R1 根据经线（母线）方程确定 ➢ R2 由几何关系计算
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2.1.1 薄壁圆筒的应力
2.1 回转薄壳应力分析
B 点受力分析
B点
内压 P
轴向：轴向应力或经向应力 圆周方向应力：周向应力或环向应力
壁厚方向：径向应力 r
, r
三向应力状态
二向应力状态
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2.1.1 薄壁圆筒的应力（续）
任意点M处的静压力
p g(1 R c o )s
在A—A以上部分
液体静压力产生的轴向合力
V 2rpRcosd
0
2Rsing(1co)sRcods
0 2R 3g[11co (1 s2co )s]
壳体
由内外表面（曲面）限定 ，且内外表面之间的距离远比其它方 向尺寸小得多的构件，内外表面之间的距离为壳体的厚度。
壳体中面
假想与壳体内外表面等距离的点所组成的曲面，中面 的曲率半径用R表示——可用中面和厚度描述壳体。
薄壳
壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值(t/R)max≤1/10
薄壁圆柱壳或薄壁圆筒
例如：圆柱壳中面半径为R 由经线方程得 R1=∞ 由几何关系得 R2=R
R2
r
sin
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➢ 壳体理论的基本假设
✓ 直法线假设：
变形前中面的法线，变形后仍为中面法线： 法线转角等于切线转角。
✓ 互不挤压假设：
平行于中面的各层纤维之间互不挤压： 法向应力为零。
✓ 厚度不变假设：
在顶点处 赤道处
pta
pa, 2t
pa t
在顶点处和赤道处大小相等但符号相反 赤道处是顶点处的一半，且恒是拉应力
应力分布
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
储存液体的回转壳体
p,
R 1 R 2 t
2tR 2 V si2 n
与承受气体压力的壳体不同，需考虑液体的静压力。作用在壳壁
2.1.4 无力矩理论的应用
工程中几种典型回转薄壳：
承受气体内压的回转薄壳
球形薄壳 薄壁圆筒 锥形壳体 椭球形壳体
气体的重度可以忽略不 计，而液体的重度相对较大， 有时需要考虑液体重度对壳 体应力的影响，即分析应力 时需考虑液体的静压力。
储存液体的回转薄壳
圆柱形壳体 球形壳体
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2.1 回转薄壳应力分析
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2.1.4 无力矩理论的应用 承受气体内压的回转薄壳
pR2 t
R2 R1
2tR2Vsin2
r
V 2 prdr
0
回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，即压力为常数，压
力产生的轴向力V为：
r
V 2 prdr r2 p
0
代入区域平衡方程，得：
rR2sin
r2 p 2R2t sin2
✓ 周向应力和经向应力分布：
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
➢ 椭球形壳体
p2tR 2,(2R R1 2)
几何特征 由椭圆方程求得
x2 a2
y2 b2
1
R 1[1(y y)2]3/2[a4x2(a a 4 2 b b2)3]/2
R 2R lR2 12 xa24 [xa 24 a( a42x2(ba b 22 )b2)1/]2
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2.1.2 回转薄壳的无力矩理论
中面法线
过中面上的点且垂直于中面的直 线，法线必与回转轴相交。
第一曲率半径 R1 第二曲率半径 R2
平行圆半径 r
经线的曲率半径
垂直于经线的平面与中面交线（纬线）的曲率半径 等于考察点 B 到该点法线与回转轴交点 K2之间 长度（K2B）
2.2 厚壁圆筒应力分析
2.2.1 弹性应力 2.2.2 弹塑性应力 2.2.3 屈服应力和爆破应力 2.2.4 提高屈服承载能力的措施
第二章 压力容器应力分析
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第二章 压力容器应力分析
本章主要内容
2.3 平板应力分析
2.3.1 概述 2.3.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.3.3 圆平板中的应力 2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 2.4 壳体的稳定性分析 2.4.1 概述 2.4.2 外压薄壁圆柱壳弹性失稳分析 2.4.3 其他回转壳体的临界压力
2.5 典型局部应力
2.5.1 概述 2.5.2 受内压壳体与接管连接处的局部应力 2.5.3 降低局部应力的方法
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2.1 回转薄壳应力分析
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本章重点
教学重点：
（1）回转薄壳的无力矩理论 （2）不连续应力特性
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概念
2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
变形时，薄壳厚度没有伸缩： 法向应变为零。
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2.1 回转薄壳应力分析
➢ 无力矩理论与有力矩理论
2.1 回转薄壳应力分析
为了简单起见，讨论轴对称问题的壳体。取微元体如图，轴对 称问题仅存在3个应力分量
微元体 受力图
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➢ 无力矩理论与有力矩理论
2.1 回转薄壳应力分析
根据壳体理 σ沿厚度线性分布： 论假设知 τ沿厚度抛物线分布：
沿厚度合成
N,N,M,M Q
N, N —单位长度截面上法向力，使壳体产生胀鼓变形，称为薄膜力
M,M,Q —单位长度截面内的力矩（弯矩）和剪力，使壳体产生弯
曲变形
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➢ 无力矩理论与有力矩理论
2.1 回转薄壳应力分析
(p0gx)R
t
轴向应力为常值，周向应力随液深而增大。
思考：若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向应力，如何求？
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2.1 回转薄壳应力分析 盛顶满 部球液 无体 压形的 力壳球体壳，液体密度为ρ R 1， R 2 Vp t,2 0 p2 r1tR cR 2 V soi2 sd n 20r prdr
应力特性
P 2t2R p[a4x2 2 (ta2 b b2)1/]2
2a4x2a(a 42b2)
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分析：
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2.1 回转薄壳应力分析
P 2t2R p[a4x2 2 (ta2 b b2)1/]2 2a4x2a(a 42b2)
椭球壳上各点的应力是不等的，大小与壳体参数有关。在壳体
p
R1 R2 t
区域平衡
N
V
2R2 sin2
2tR2Vsin2
r
V 0 2 r p R 1 c o sd 0 2 r p d r
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2.1 回转薄壳应力分析
前面，我们讨论了承受压力载荷p回转薄壳（轴对称问题）的应力分 析方法，考虑微元体平衡和区域平衡，得到无力矩理论应力分析的两个 基本方程：
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分析：
2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
2t
pr
cos
pr
t cos
✓ r (x)↑,σφ σθ↑,而且呈线性关系，最大应力出现在大端， 最小应力出现在小端，尖顶处应力为零。
✓ σθ =2σφ,周向应力是经向应力的2倍。
✓ 锥壳的半角α →0º时，锥壳应力→圆筒的壳体应力； α↑，应 力↑。防止应力过大，限制锥形封头半角（<60º）。
即 R1=R2=R
应力特性 将曲率半径代入应力式，得：
p2tR
球壳中各点、各方向应力相同.
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2.1 回转薄壳应力分析
➢ 薄壁圆筒
p2tR 2,(2R R1 2)
几何特征 薄壁圆筒中各点的第一曲率半径与第二曲率半径分别为
R1 R2 R
应力特性 将曲率半径代入应力式，得：
上的液柱静压力随液层深度变化。
➢ 圆筒形壳体
考虑液面压力为p0，液体密度为ρ。距 离液面x任意点A处，压力为
pp0gx
考虑圆筒形壳体的几何特征，由微元体 平衡方程得到
pR (p0g)xR
2t
t
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
作用在壳体上外载荷的轴向力
VR2p0 2tR Rs2pi02np20tR
将上式代入微元体平衡方程，得：
pr 2t sin
pR 2 2t
关键是计算回 转壳的曲率半
径R1，R2
pR2 t
R2 R1
2
R2 R1
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➢ 球形壳体
p2tR 2,(2R R1 2)
几何特征 球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等
第二章 压力容器应力分析
CHAPTER II STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
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载荷 压力容器
第二章 压力容器应力分析
应力、应变的变化
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本章主要内容
2.1 回转薄壳应力分析
2.1.1 薄壁圆筒的应力 2.1.2 回转薄壳的无力矩理论 2.1.3 无力矩理论的基本方程 2.1.4 无力矩理论的应用 2.1.5 回转薄壳的不连续分析
分析应力的方法：截面法
图2-1 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
2.1.1 薄壁圆筒的应力
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应力 求解
静定
轴向平衡
4D2pDt
周向平衡
2
2 pRi sind2t
单位长度
0
2piR 2t
2
pD 4t
pD 2t
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2.1 回转薄壳应力分析
PR 2t
2
PR t
薄壁圆筒中各点应力相同，但周向应力是轴向应力的2倍.
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2.1 回转薄壳应力分析
➢ 锥形壳体
p2tR 2,(2R R1 2)
几何特征 由几何关系求得
应力特性
R1
R2
xtg r cos
将曲率半径代入应力式，得：
p2x tt g2tcpo rs
2ptxtg tcpo rs
顶点处（x=0)
p 2tab ap 2tam(b a)
在赤道处（x=a），应力为——σφ大于零
pa 2t
(2m2)
当 m 2 时， , 赤 0 ， 且 m 道 ,负 处 值
• 为防止过大的压应力，限制 m 的大小，一般 m≤2.5。 • 整体或局部增加厚度，局部采用环状加强结构。
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pR2 t
R2 R1
p
R1 R2 t
是由微元体受力平衡得到的
V
2tR2sin2
是由区域受力平衡得到的
这里，R1﹑R2分别是回转薄壳中面的第一和第二曲率半径，V为外载荷在 所分析壳体上的合力的轴向分量，计算式为
r
V2pr1R cosd2prdr
0
0
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2.1 回转薄壳应力分析
2.1 回转薄壳应力分析
2.1.3无力矩理论的基本方程
一、壳体微元及其内力分量
板述讲解
微元体 经线ab弧长
abcd
截线bd长 微元体abcd面积
压力载荷
pp()
微元截面上内力
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2.1.3无力矩理论的基本方程
2.1 回转薄壳应力分析
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2.1 回转薄壳应力分析
微元体平衡
N N p R1 R2
N t, N t
2.1 回转薄壳应力分析
2.1.2 回转薄壳的无力矩理论
➢ 回转薄壳的几何概念
回转薄壳 母线
中面为回转曲面（由一条平面曲线或 直线绕同面的轴线回转而形成的）。
绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线
极点
中面与回转轴的交点
经向平面
通过回转轴的平面
经线
经向平面与中面的交线
平行圆
垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆
外直径与内直径的比值DO/Di≤1.2
厚壁壳体
外直径与内直径的比值DO/Di>1.2
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2.1.1 薄壁圆筒的应力
2.1 回转薄壳应力分析
基本假设：
1. 壳体材料均匀、连续、各向同性； 2. 受载后的变形是弹性小变形； 3. 筒壁各层纤维在变形后互不挤压。
图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的 应力