几何定值问题

几何定值问题
知识要点：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法。

典型例题： 一、定量问题： 1、 定积：
例1 如图，已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到ABC ∆三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，ABC ∆的高为h 。

在图（1）中，点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h 1 +h 2+h 3 =h 。

在图（2）~（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上，ABC ∆内、ABC ∆外。

（1） 请探究：图（2）~（5）中，h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2） 证明图（2）所的结论； （3） 证明图（4）所的结论；
(1)
C
(2)
C
B
(3)
C
变式练习如图，若四边形RBCS是等腰梯形，B
∠=C
∠=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为；上题图（4）与右图中等式有何关系？
例2 如图，已知菱形ABCD外切于⊙O，MN是与AD、CD 分别交于M、N的任意一条切线。

求证：AM·CN为定值。

2、定比：
例1 如图，两圆相交于点A、B，过点B引割线分别交两圆于C、D，连结AC、AD。

求证：AC：AD为定值。

B
变式练习 如图，⊙O 的半径为2，Q 为⊙O 外一点，QA 、QB 切⊙O 于A 、B ，P 为直线上任一点，且P 在⊙O 的外部，QS ⊥OP 于S ，则OP ·OS= 。

例2 设ABC ∆是等边三角形，P 是ABC ∆内任意一点，作三角形三边的垂线PD 、PE 、PF ，点D 、E 、F 是垂足。

试证不管P 在哪里，
总有CA BC AB PF
PE PD ++++=6
3。

3、定平方和： 例 如图，⊙O 的半径为R ，AB 、CD 是⊙O 的任意两条弦且AB ⊥CD 于M 。

求证：2
AB +2
)(DM CM -为定值。

A
变式练习 如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R 。

求证： （1）2AK +2BK +2
CK +2DK 是定值。

（2）2AB +2
BC +2CD +2DA 是定值。

4、定倒数和：
例 如图，过⊙O 内定点P 作任意弦AB ，又过A 、B 作两切线，自点P 作两切线的垂线PQ 、PR ，垂足为Q 、R 。

求证：
PQ 1+PR
1为定值。

变式练习 如图，已知A 是定角MON 的平分线上一个定点，过A 任作一条直线与OM 、ON 分别交于P 、Q 。

求
证：OP 1
+OQ
1为定值。

5、定长：
例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。

求证：21O O 的长为一定值。

变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。

求证：DE 为定长。

6、定角：
例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。

求证：不管ST
滑到什么位置，
B
SPM ∠是一定角。

二、定型问题： 1、定点：
例 如图，在直线d 上顺次取定A 、B 、C 三点，AB=4BC ，动点M 在直线d 的过点C 的垂线上，以A 为圆心，AB 为半径作圆，1MT 、2MT 是该圆的两条切线，1T 、2T 为切点，求证：无论点M 在垂线上如何运动，直线21T T 必经过一定点。

变式练习 如图，已知等边ABC ∆内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于N 。

证明：线段AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关。

B C
2、定向：
例 如图，A 为定圆O 上的一定点，在过A 的切线上任取一点B ，并过线段AB 的中点C 作任意割线CDE ，交⊙O 于D 、E ，又直线BD 、BE 与⊙O 相交于P 、Q ，求证：弦PQ 恒有定向。

课外练习： A 组： 1、 2、 3、 4、 5、 B 组： 1、 2、 3、 C 组：
1、如图，点O 是等边ABC ∆内部一点，G 是ABC ∆的重心，直线OG 与ABC ∆（或其延长线）分别相交于点C B A '''、、。

求证：
3=''+''+''G
C O
C G B O B G A O A
2、已知ABCD 是圆内接四边形，点E 、F 分别为AB 、CD 上的点，且满足
FD
CF
EB AE =
，设P 是线
段EF 上满足CD
AB
PF PE =
的点。

证明：APD ∆和BPC ∆的面积之比不依赖于点E 、F 的选择。

参考答案
典型例题：
一、1、例1 （1）图（2）~图（5）中的关系依次是： h 1 +h 2+h 3 =h ；h 1 -h 2+h 3 =h ； h 1 +h 2+h 3 =h ；h 1 +h 2-h 3 =h 。

（2）图（2）中，h 1 +h 2+h 3 =h 。

连结AP ，则S APB ∆+S APC ∆=S ABC ∆，
∴2
1AB ⨯h 1
+2
1AC ⨯h 2
=2
1BC ⨯h 。

又h 3 =0，AB=AC=BC ，
∴ h 1
+h 2
+h 3
=h 。

（3）图（4）中，h 1 +h 2+h 3 =h 。

过点P 作RS ∥BC 与边AB 、AC 相交于点R 、S 。

在ARS ∆中，由图（2）中结论知：h 1 +h 2+0=h-h 3。

∴h 1
+h 2
+h 3
=h 。

变式练习h 1 +h 3+h 4 =
n
m mh
-。

让R 、S 沿BR 、CS 延长线向上平移，当n=0时，此题图变为上题图（4），上面等式即为上题图（4）中的等式，所以上面结论是上题图（4）中结论的推广。

例2 OAM ∠=NCO ∠.
ΘAOM ∠+AMO ∠=CNO ∠+CON ∠①
及AOM ∠+CON ∠=OMN ∠+ONM ∠=AMV ∠+CNO ∠②, (①+②)÷2得AOM ∠=CNO ∠.
∴AOM ∆∽CNO ∆,AO AM =CN
CO ,故AM ·CN=AO ·CO=AO 2
为定值。

2、例1 连结AB ，作直径AE 、AF ，连结CE 、DF ，证明Rt ACE ∆∽Rt ADF ∆,得AC ：AD=AE ：AF=定值。

变式练习 2 连结OQ 交AB 于M ，则OQ ⊥AB ，连结OA ，则OA ⊥AQ ，
ΘQMP ∠=QSP ∠,∴S 、P 、Q 、M 四点共圆。

故OS ·OP=OM ·OQ ，又OM ·OQ=OA 2=2，则OS ·OP=2。

例2 连结PA 、PB 、PC ，设等边ABC ∆的边长为a ，则它的面积为S ABC ∆=2
4
3a 。

又S ABC ∆= S PAB ∆+ S PBC ∆+ S PCA ∆， 即
243a =2
1
a （PD+PE+PF ）。

所以CA
BC AB PF PE PD ++++=a a
32
3
=63。

3、例 作直径AE ，连结BE ，易证BE ∥CD ，故BC=DE 。

又AM ·MB=CM ·M 则
2AB +2)(DM CM -=2)(BM AM ++2)(DM CM -=2AM +2BM +2CM +2DM =(2AM +2DM )+(2BM +2CM )=2AD +2BC =2AD +2DE =2AE =24R 。

变式练习（1）作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连AO ，则2
AO =2
)](2
1[DK BK -+2
)](2
1[AK CK +，又AK ·CK=BK ·DK ，得2AK +2BK +2CK +2DK =2
4R 为定值。

（2）作直径DE ，连DE 、AE 、BE 、CE ，2AB +2
CD =24R ，2
BC +2DA =2
4R ，故
2AB +2BC +2CD +2DA =28R 为定值。

4、例 作直径BC ，连结CA 。

证ABC ∆∽QPA ∆，有
PQ AB =PA BC ,PQ 1=AB PA BC ·。

同理PR 1=AB
PB BC
·,所以
PQ 1+PR 1=AB PA BC ·+AB PB BC ·=AB PB PA PB PA BC ··)(+=PB
PA BC
·。

但PA ·PB=2
R -2
OP ,其中R 为圆半径，BC=2R ，故
PQ 1+PR 1=222OP
R R
-为定值。

变式练习 作AB ∥ON 交OM 于B ，则
OB
PB =AQ PA ，又OQ OP =AQ PA ，故OQ OP =OB PB =OB OB OP -=1-OB OP ，即OP 1+OQ 1=OB
1
为定值。

5、例 连结E O 1、D O 1、E O 2、C O 2（不妨设B A ∠≥∠）。

注意到
OD E 1∠=360°-A ∠2=2（180°-A ∠）=2B ∠，于是ED O 1∠=B D EO ∠-︒=∠-︒90)180(2
1
1，
EC O 2∠=B C EO ∠-︒=∠-︒90)180(2
1
2。

从而ED O 1∠=EC O 2∠，故DEC EO O ∠=∠21。

另一方面，由正弦定理，可知
12sin EO A DE =，22sin EO B
EC
=。

又sinA=sinB ，故
2
1
EO EO EC DE =。

结合DEC EO O ∠=∠21，可知DEC ∆∽21EO O ∆。

所以
A DE EO CD O O sin 21121==,即21O O =A
CD
sin 2为定值。

变式练习 以BC 为直径作圆必过D 、E ，而圆周角=∠-︒=∠=∠A DBA DBE 90定值，故DE 为定长。

6、例 连OM 、OT ，则OM ⊥ST ，SOT SOM ∠=
∠2
1
，由︒=∠+∠180SMO SPO ，知S 、P 、O 、M 四点在以OS 为直径的圆上，从而SOT SOM SPM ∠=∠=∠2
1
，为一定角。

二、1、例 设21T T 交直线d 于K ，连结C T AM AT AT 121、、、。

又1MT 、2MT 是圆A 的切线，MC ⊥直线d ， 则1T 、2T 、C 都在以AM 为直径的圆上，
∴1122
1ACT T AT T
AT ∠=∠=∠，11CAT AK T ∠=∠，
∴
K AT 1∆∽1ACT ∆。

故AC AT AT AK 1
1=,即AB AC AB AC AT AK 5
4221===， 因此，K 为直线d 上的一个定点。

变式练习
ΘABK K CAB C AMK ∠+∠=∠=∠=∠,ABK MAB AMK ∠+∠=∠,
∴BAN BAM K ∠=∠=∠，同理N BAM ∠=∠，则ABK ∆∽BNA ∆，有AB
AK BN
AB =，故
11 / 11
AK ·BN=2AB （常量），即AK ·BN 的乘积与M 点的选择无关。

2、例 因CE CD CA ·2
=,则CE CD BC ·2
=,
∴BCD ∆∽ECB ∆。

又DPQ DEQ ∠=∠，故有
BPQ CBP ∠=∠，从而PQ ∥AB 。

而AB 是定圆O 上过定点A 的切线，其方向一定。

故结论成立。

课外练习： A 组： 1、 2、 3、 4、 5、 B 组： 1、 2、 3、 C 组：
1、由点O 和点G 向ABC ∆的各边分别引垂线i OK 和i GH （i=1,2,3）。

3
·3
)(33
13131321321332211==++=++=++=''+''+''h h OK OK OK h h OK h OK h OK GH OK GH OK GH OK G C O C G B O B G A O A 2、如图（1），若直线AD 、BC 不平行，设其交点为S ，
因为ABCD 为圆内接四边形，则ASB ∆∽CSD ∆，从
而CS
CD AS AB =。

又因为FD CF EB AE =，即CD CF AB AE =，所以CS CF AS AE =。

故ASE ∆∽CSF ∆。

所以CSF ASE ∠=∠，且PF
PE
CD AB SC SA SF SE =
==。

从而FSP ESP ∠=∠，于是BSP ASP ∠=∠。

所以P 到AD 、BC 的距离相等。

故S APD ∆：S BPC ∆=AD ：BC
如图（2），若直线AD 、BC 平行，ABCD 为等腰梯形，且设点M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则ME=NF ，且E 、F 于是EF 的中点P 在MN 上，从而点P 到AD 和BC 故S APD ∆：S BPC ∆=AD ：BC （为常数）。