角的平分线(尺规作图)
尺规作图角平分线原理证明
尺规作图角平分线原理证明要证明尺规作图角平分线原理，我们可以考虑证明两个定理：1）尺规可以作出角的平分线，2）尺规不能作出非整数倍的角。
首先，我们来证明尺规可以作出角的平分线。
给定一个角，我们需要找到它的平分线。
我们可以利用角的一些性质来进行尺规作图。
设给定一个角AOB，我们需要作出它的平分线。
1.用尺子，在OA上任意取一点C，将OC延长到D，使得OC=OD，连接DB。
2.以O为圆心，OC为半径，画一个圆，与OB交于E。
3.连接OE。
我们来证明OE是角AOB的平分线：首先，我们可以证明△OAC≅△OAD，这是因为OC=OD，AC=AD，以及角AOC=角AOD=90度。
因此，OA=OA，OC=OD，角OAC=角OAD。
接下来，我们来证明△OBE≅△ODE，这是因为OB=OD，OE=OD，以及角OBE=角ODE。
因此，OB=OD，OE=OD，角OEB=角OED。
由于角OEB与角OED是△OBE内的相对角，而且△OBE≅△ODE，所以它们是相等的角。
因此，OE是角AOB的平分线。
证毕。
接下来，我们来证明尺规不能作出非整数倍的角。
设给定一个角AOB，我们需要证明尺规不能作出它的非整数倍角。
假设我们可以使用尺规作出角AOB的非整数倍角。
由于尺规只能作出长度为1的线段，所以我们只能作出整数长度的线段。
设尺规作出的非整数倍角为角COD。
由于COD是AOB的非整数倍角，所以COD不等于AOB。
我们可以通过多次作角分的操作来逼近COD。
例如，我们可以作出COE、EOF、FPG……，以此类推。
由于尺规只能作出整数长度的线段，所以每次作角分的操作都是有限的。
假设我们作了n次角分操作，最后得到的角为角CODn。
如果最后的角CODn等于角AOB，那么我们就成功地作出了非整数倍角。
然而，由于尺规只能作出有限次角分操作，所以最后得到的角CODn不可能等于角AOB。
因此，尺规不能作出角AOB的非整数倍角。
证毕。
综上所述，我们证明了尺规可以作出角的平分线，并且尺规不能作出非整数倍的角。
角平分线尺规作图
角平分线尺规作图
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
尺规作图做一个角的角平分线按照以下步骤：
1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。
2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。
3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。
4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。
5、最后两圆弧交于E点。
6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。
在三角形中的定义。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
尺规作图角平分线
尺规作图角平分线尺规作图是古代数学中一种重要的作图方法。
它的原理基于几何学的基本公理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来完成各种几何图形的作图问题。
其中，角平分线也是一类常见的作图问题之一。
角平分线是指将给定角分成两个相等的角的直线。
在几何学中，角平分线的作图问题被广泛应用于各个领域，包括建筑、城规、工程、地理等，因其在实际应用中的重要性而备受关注。
尺规作图的步骤一般分为：给定条件、画出所需图形的辅助线、使用尺规进行作图、绘制出所需的图形。
下面我们来具体讨论如何使用尺规作图来构造角平分线的过程。
首先，假设我们的目标是作出一个角的平分线。
我们有一个给定角A，我们的任务是找到一个直线BC，使得角ABC和角CBD相等。
角平分线的构造方法如下：步骤1：以点A为中心，画一个任意半径的圆（圆心为O），该圆将与角A相交于两个点D和E。
步骤2：以点D和E为中心，分别画两个半径等于AO的圆。
步骤3：连接点O和点F，其中F是这两个圆的交点之一。
步骤4：连接点A和点F，我们得到的线段AF即为角A的平分线。
通过以上的步骤，我们可以很容易地构造出给定角的平分线。
这个方法是尺规作图中常用的角平分线的构造方法。
需要注意的是，这个方法仅适用于使用尺规作图的工具和条件下。
尺规作图角平分线的方法所依赖的原理是，由于圆弧上的任意两个点到圆心的距离是相等的，所以通过相应的操作，我们可以得到使用圆弧相交构建角平分线的方法。
尺规作图角平分线的应用十分广泛。
在数学教学中，角平分线作图是几何学中的重要内容之一。
通过学习角平分线的构造方法，学生们可以深入理解几何学中关于角的概念和性质，并通过实际操作提高他们的几何图形构造能力。
此外，角平分线的应用还可以延伸到建筑、城规和工程领域，例如在设计建筑物或城市规划时，利用角平分线可以确保建筑物或街道的对称性和平衡性。
总结起来，尺规作图角平分线是一种重要的数学作图方法，它基于几何学的基本原理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来构造给定角的平分线。
尺规作图角平分线
目 录
• 引言 • 尺规作图基础知识 • 角平分线的尺规作图方法 • 角平分线在实际问题中的应用 • 角平分线与其他几何概念的联系 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
尺规作图角平分线的目的
通过尺规作图的方式，将一个角平分为两个相等的角，以便在几何图形中构造特定的角度或解决与角度相关的问 题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
对角平分线尺规作图的总结
尺规作图角平分线的基本原理
利用尺规作图的基本操作，通过构造等腰三角形或利用圆的性质，将给定角平分为两个相 等的小角。
尺规作图角平分线的步骤
首先，在角的两边上分别截取相等的线段；然后，分别以这两个点为圆心，以大于截取线 段长度为半径画弧，两弧交于一点；最后，连接角的顶点和交点，所得射线即为角的平分 线。
内部画弧，两弧交于一点。
连接角的顶点和这个交点，所得 的射线就是这个角的平分线。
方法二：利用三角板和直尺作图
利用三角板上的45°角或30°角， 通过角的和或差的方式，画出 所需角。
通过移动三角板，使得三角板 的一边与角的一边重合，另一 边落在角的内部。
沿着三角板的另一边画射线， 这条射线就是角的平分线。
角平分线的性质
角平分线将原角平分为两个相等的角。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线是角的对称轴，即角的两边 关于角平分线对称。
在三角形中，角的平分线与对边相交，将对边 分为两段，这两段与角的两边对应成比例。
02 尺规作图基础知识
尺规作图的基本工具
直尺
用于画直线段、连接两点或延长 线段。
圆规
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
角的平分线的性质
DE=DF，
BD=CD，
E
F
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). B
D
C
∴ EB=FC.
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF . B
A E
C D
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
×
B
A
D
C
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD , ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
×
B
A
D
C
典例精析
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
知识要点
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
E B
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
第十二章 全等三角 形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
导入新 课
复习引入
角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
八年级数学上册12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级
12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。
（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。
第2节 角平分线及尺规作图
QP P第 2 节 角平分线及尺规作图➢ 要点回顾1. 角平分线：（1） 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（2） 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2. 尺规作图：（1） 作一个角等于已知角． （2） 作已知角的角平分线．➢ 巩固练习1.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E ，若 CD =3 cm ，AB =10 cm ，则△ABD 的面积为． MCAE BO第 1 题图第 2 题图2. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点 A ，点 Q 是射线 OM 上的一个动点， 若 PA =3，则 PQ 的最小值是 ．3.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB =3 cm ，AC =2 cm ，则S △ABD :S △ACD =．A EBAD CCF DB第 3 题图第 4 题图4.如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点 P ，过 P 作 PE ⊥AB 于 E ，交 CD 于 F ，EF =10，则点 P 到 AC 的距离为．1D5.过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，A 是直线MN 外一点．求作：直线AB，使AB∥MN．（不写作法，保留作图痕迹）AM N6.已知两边及夹角作三角形．已知：如图，线段m，n，∠α．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．（不写作法，保留作图痕迹）mn7.如图，分别过A，B 两个加油站的公路l1，l2 相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P 满足在两个加油站的连线上，且到两条公路l1，l2 的距离相等．请用尺规作图作出点P．（不写作法，保留作图痕迹）2。
角平分线尺规作图.4.1角平分线尺规作图教案
第 1 课时角均分线的尺规作图【学习目标】 1、会画已知角的均分线 2、能经过逻辑推理考证所作图形是角均分线【学习要点】掌握尺规作已知角的均分线的作法【学习难点】从作图过程中找到已知条件，经过逻辑推理考证所作图形为角均分线【教课流程】学习流程（教课流程）学法指导（个性改正）一、新课导入：师：同学们，请大家察看我手中的三角形，假如我要将此中一个角分红两个相等的角，你有哪些方法？生：用量角度量、翻折、用直尺和圆规师：①本节课我们就学惯用没有刻度的直尺和圆规画已知角的均分线（出示课题），这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一同来认识一放学习目标。
②若学生说不出用尺规作图 , 则这样指引 : 前面我们学习了用尺规作图的方法能够画一条线段等于已知线段 , 画一个角等于已经角 , 那么用尺规作图的方法能否画这个角的均分线呢 ?这就是我们今日要学习的内容 .二、展现目标：（大家齐读一遍，教师解读目标）1、掌握尺规的基本作图三：画已知角的均分线2、能经过逻辑推理考证所作图形是角均分线过渡：为了达成学习目标，同时培育大家的学习能力，今日，我们的讲堂要改变传统的方式，今日的讲堂由同学们作主，同学们就是小老师，此刻就请指导：边作图边口述作各个小组的同学依据老师提早分给你们的任务，进行对学、群学和预展，为图步骤和作法。
展现做好充足的准备。
（能否要规准时间）三、学习导引：1、引出角均分线作法。
过渡：方才的这一环节每个组的同学都表现得特别好，因此老师要给每个组加上满分 4 分，此刻就有请PK 小组决出输赢。
下边掌声有请第一个展现小组为大家展现“利用尺规如何作一个角的角均分线。
”师：方才这位老师已经为我们展现了整个作图的过程，那么，我们能够把这个过程分红几步呢？生：多媒体演示作图过程，学生口述作法BC师：在第二步时为何要取大于线段长的一半为半径画弧呢？指导：倒推法进行分析，由问题下手倒推到已知条件。
生：充足思虑，议论沟通，抽学生登台演示小于一半不可以产生交点。
13.3.2 尺规作图——作角平分线
课题尺规作图——作角平分线教学目标1、进一步熟练尺规作图；2、掌握尺规的基本作图：画角平分线；3、初步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言；4、运用尺规基本作图解决有关的作图问题。
教学重点分析尺规基本作图问题的解决过程，写好作图的主要画法，并完成作图教学难点分析实际作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法教学方法引导法、演示法、分析法、讨论法教学用具圆规、直尺教学过程（内容、步骤及师生行为）备注一、引入我们已熟悉尺规的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角，那么利用尺规还能画角平分线吗?二、探究新知1、利用尺规作图画角平分线。
请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线.已知∠AOB，用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线.请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.例1：已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α+∠β)的一半.分析：要完成这个作图，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分线即可。
已知、求作、作法由学生自行完成例2：已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形。
分析：首先作出符合条件的图形草图，分析图形的特征，然后确定作图的顺序，写出已知、求作、作法，作图中遇到属于基本作图的，只叙述基本作图即可.已知：∠α，以及线段b、c(b＜c).求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分线AD=b。
作法：⑴作∠MAN=∠α；⑵作∠MAN的平分线AE；⑶在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b；教学过程（内容、步骤及师生行为）备注⑷连结BD，并延长交AN于点C；△ABC就是所画的三角形.(如图)例3：已知三角形的一边及这边上的中线和高(中线长大于高)，求作三角形。
活动：同学们先自主思考探索，然后各小组同学讨论、交流、归纳出具体的作图方法。
再请学生代表上黑板示范，并解释原由。
例4 已知直线和直线外两点(过这两点的直线与已知直线不垂直)，利用尺规作图在直线上求作一点，使其到直线外已知两点的距离和最小。
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
尺规作图3作已知角的平分线
作已知角的平分线
整理ppt
1
温故知新
看图填空。 （1）在 （2）以
上截取 _____=________ 为圆心， 为半径作弧，交___于___点
第1题
第2题
温故知新
（3）分别以 、 为圆心，以大于 作弧，两弧交于 、 ；
的1长E 为F 半径
2
（4）以O为圆心，以任意为半径作弧，分别交∠AOB
（3）作射线OC，
Mห้องสมุดไป่ตู้
∴射线OC为所要求
C
的角平分线.
B
N
O
整理ppt
5
如图：已知∠Ａ，试画∠Ｂ＝0.5∠Ａ（不写画 法，保留作图痕迹）
Ａ
整理ppt
6
如图：已知∠Ａ，试画∠Ｂ＝0.25∠Ａ（不写 画法，保留作图痕迹）
Ａ
整理ppt
7
任意画一个三角形，画出三个内角 的角平分线.（不写画法，保留作图 痕迹）
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
m
(1)作一条线段等于已知线段 (2)作一个角等于已知角
整理ppt
12
(3)作一个角的平分线
整理ppt
13
作业：练习88页第2题
整理ppt
14
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
的两边OA、OB于 、
C
。
A
C
A
B
D
O
B
D
什么叫做角平分线？
角平分线定义：把一个角分成两个相等的 角的射线，叫做这个角的平分线。
O
c
B
整理ppt
4
探索
探索作已知角的平分线的方法
沪科版八年级数学上册《角平分线的尺规作图》课件精品(2022年新版)
不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
E
∠CBF= ∠1+ ∠3,
A
∠ACD= ∠1+ ∠2.
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD B 2 =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. F
3
C
D
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， E
2.过点A作直线AB的垂线AC；
3.作∠CAB的平分线AD.
A
∠DAB就是所要求作的角.
D B
当堂练习
1.如下图的作图痕迹作的是
A.线段的垂直平分线 B.过一点作直线的垂线 C.一个角的平分线 D.作一个角等于角
〔 B〕
2.用尺规作图作一个角的平分线的示意图如下图，那
么能说明∠AOC=∠BOC的依据是〔 〕 A
提示：
A
(1)什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶
点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中表达这个过
程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中表达这
个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
O
B
尺规作图
作法：
1.以_点__O_为圆心，_任__意___长为半径作圆
解：延长BP交AC于点E， 那么∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外 角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
角平分线的画法尺规作图
角平分线的画法尺规作图
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
尺规作图做一个角的角平分线按照以下步骤：
1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。
2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。
3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。
4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。
5、最后两圆弧交于E点。
6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。
在三角形中的定义。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4)作直线CF. 则直线CF是所求的垂线。 经过已知直线外一点
A D K
E
B
作这条直线的垂线。
F
大显身手
任作两条长度不等的线段a，b（b>a），你 能用尺规作图的方法作出以a为直角边，以b为 斜边的直角三角形吗？
C G b
a
b
E
A
Fa
B
总结收获
1、角平分线的三种作法。 2、两个尺规作图。
课后作业
1、P143课本练习。 2、探索课后思考(下节预习）。
温故知新
什么是角平分线？
问题：怎样作∠AOB的平分线呢？
折纸法 度量法 尺规作图 ？
B
O
A
尺规作图
任意 ______长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于M、 N两点； M、N 2、分别以_____为圆心， 1 MN 大于适当 __________的长为半径 2 Ｏ 作弧，两条圆弧交于 P ∠AOB内一点____； OP 3、作射线_____； OP 则_____就是所求作∠AOB的平分线。 点O 作法：1、以____为圆心， N
当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？
P
A
O
B
小试牛刀
已知：直线AB及一点C， 求作：直线AB的垂线，使它经过点C。
解：分两类情况作图 1.当点C在直线AB上时 作平角ACB的平分线CF， 直线CF就是所求的垂线。
F
经过已知直线上一点
作这条直线的垂线。
A D C E B
小试牛刀
2.当C在直线AB外时。 作法： 1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁； 2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点 D和E; 1 3)分别以点D和点E为圆心，大于 2 DE 的长为 半径作弧，两弧交于点F；
Ｂ
P
M
A
想一想
为什么OP是角平分线呢？ 已知：OM=ON，PM=PN。 求证：OP平分∠AOB。 证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON， （已知） MP=NP， （已知） OP=OP， （公共边） ∴ △OMP≌ △ONP（SSS） Ｏ ∴∠MOP=∠NOP 即：OP平分∠AOB
B N
P
M
A
大胆挑战