非线性规划2

罗捍东
FK lim 0.618 K F K 1
FK+1=FK+FK-1
1
证明：因为
FK FK 1 1 FK FK 1
1 2 则有 ： 1 x x x 1 0 x 1 5 所以 x 0.618 2
FK 设 lim x K F K 1
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例 1 ：试用斐波那契法求函数 f(t) ＝ t2-t+2 的近 似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于区间 [-1，3]的0.08倍。
解：容易验证，在此区间上：函数 f(t) ＝ t2 － t+2 为凸函数。为了进行比较，我们给出其精确解是： t*＝0.5，f(t*)＝1.75。
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由于 f (t 2 )>f (t 2 )=1.751故取: a2＝－0.077,b 2 =1.462,t 3 =0.538
F3 3 t 3 =a2 + (b 2－a2 )＝－0.077＋ （ 1.462+0.077） =0.846 F4 5 f (t 3 )=0.8462－0.846＋2＝1.87
2
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由于
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f (t 4 )>f (t 4 )=1.751 故取:a4＝0.0231,b 4 =0.846,t 5 =0.538 ，
现令＝0.01 ,则
1 t 5 =a4 +( + )(b 4－a4 ) 2 1 ＝0.231＋( +0.01)（0.846－0.231） =0.545 2 f (t 5 )=0.5452－0.545＋2＝ 1.752
已知 δ ＝ 0.08 ， Fn ＞ 1 ／ δ ＝ 1 ／ 0.08 ＝ 12.5 ，查表 的n=6，a0＝－1，b0＝3 。
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F5 8 t1 =b 0 + (a0－b 0 )＝3＋ （－ 1－3） =0.538 F6 13 F5 8 t1 =a0 + (b 0－a0 )＝－ 1＋ （3＋ 1）＝ 1.462 F6 13 f (t1 )=0.538 －0.538＋2＝ 1.751 f (t1 )= 1.4622－ 1.462＋2=2.675
由于
2
f (t1 )< f (t1 ) 故取: a1＝－1,b1 =1.462,t 2 =0.538
F4 5 t 2 =b1 + (a1－b1 )＝ 1.462＋ （－ 1－ 1.462）－ = 0.077 F5 8 f (t 2 )=（－0.077） －（－0.077）＋2＝2.038
2
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当用0.618方法时，计算n个试点可以把原区间[a0， b0]连续缩短n-1次，由于每次的缩短率均为μ，故最 后的区间长度为: (b0－a0)μn-1 这就是说，当已知缩短率相对精度为δ时，可 用下式计算试点个数n： μn-1≤δ 当然，也可以不预先计算试算点的数目n， 而在计算的过程中逐次加以判断，看是否已满足 了提出的精度要求。 0.618法是一种等速对称进行搜索的方法，每 次的试点均取在区间的0.6l 8倍和0.382倍处。
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1、 确定试算点的个数n。
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用这个方法缩短区间的计算步骤如下：
根据缩短率δ，即可利用公式(2)算出Fn，然后由 表1确定最小的n。
2、 选取前两个试算点的位置。
由公式(1)可知第一次缩短时的两个试算点位置是：
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Fn 2 (b 0 a0 ) t1＝a0 F n Fn 1 ( a0 b 0 ) ＝b 0 F n F n 1 (b 0 a0 ) t1 a0 Fn
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序列｛Fn｝满足递推公式：
Fn=Fn-1+Fn-2 , n≥2 …(1) 即｛Fn｝是斐波那契数列。
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由以上讨论可知，计算n次函数值所能获得的 最大缩短率(缩短后的区间长度与原区间长度之比) 为1／Fn。 要想计算n个函数值而把区间[a0，b0]的长度缩 短为原来长度的δ 倍，即缩短后的区间长度为bn-1 －an-1 ≤(b0－a0)δ ，则只要n足够大，能使下式成 立即可： Fn≥1／δ …(2)
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（ 3）
中南大 罗捍东 FK 1 FK 1 FK 1 FK 1
若 f(t) 是定义在 [a ， b] 上的下单峰函数，在此区间 内它有唯一极小点 t* 。若在此区间内任取两点 a1 和 b1 ， a1＜b1，并计算函数值f(a1)和f(b1) 。可能出现以下两 种情形： 1．f(a1) < f(b1)，这时极小点t*必在区间[a，b1]内。 2．f(a1)≥f(b1)，这时极小点t*必在区间[a1，b]内。
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二、0.618法(黄金分割法)
由上节的论述可知，当用斐波那契法以n个试算 点来缩短给定的区间时，区间长度的第一次缩短率 为Fn－1／Fn，其后各次分别为： Fn－2／Fn-1 ，Fn－3／Fn-2 ，… , F1／F2 而
Fn1 lim 0.618 n F n
现以不变的区间缩短率0.618，代替斐波那 契法每次不同的缩短率，就得到了黄金分割法 (0.618法)。这个方法可以看成是斐波那契法的近 似，实现起来比较容易，效果也相当好，因而， 易于为人们所接受。
中南大 罗捍东 第二节 一维搜索
一、斐波那契（Fibonacci）法
设{Fk}为斐波那契数列，则： F0=F1=1 FK=FK-1+FK-2 K=2，3，…… 表1
K FK
0 1
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
6 13
7 21
8 34
9 55
10 89
… …
关于数列{Fk} ，我们有：
1
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（1）FK/FK+1 不是常数; （ 2）
a1＝t1 ,b1 =b 0 ,t 2 =t1
F n2 (b1 a1 ) 并令： t 2 =a1 Fn -1
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计算试算点的一般公式为：
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4、计算函数值f(t2)和f(t2/) ，(其中的一个已经算出)， 如第3步那样一步步迭代。
Fn k t =b ( a b ) k k-1 k-1 k-1 Fn -k+1 F t =a n k (b a ) k k-1 k-1 k-1 Fn -k+1
现在要问，计算函数值n次，能把区间缩小到 什么程度呢?或者换一种说法，计算函数值n次能 把多大的区间缩小成长度为1的区间呢?
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如用 Fn 表示计算 n 个函数值能缩短为单位区间的最 大原区间长度，显然 F0＝F1＝l 现考虑计算函数值两次的情形(见下图)。 可得：F2＝2
根据同样的分析可得：F3＝3，F4＝5，F5＝8，…
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故取:a5＝0.231,b5 =0.545,
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由于f (t 5 )=1.751<f (t 5 )=1.752
所以以 t5 为近似极小点，近似极小值为 1.751 。 缩 短 后 的 区 间 长 度 为 ： 0.545-0.231 ＝ 0.314 ， 0.314/4＝0.079＜0.08。
由于
f (t 3 )>f (t 3 )=1.751故取:a3＝－0.077,b 3 =8.46,t 4 =0.538
F2 2 t 4 =b3 + (a3－b3 )＝0.846＋ （－0.077－0.846） =0.231 F3 3 f (t 4 )=0.231 －0.231＋2＝ 1.882
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这说明，只要在区间[a，b]内取两个不同点，并算 出它们的函数值加以比较，就可以把搜索区间 [a ， b] 缩小成[a，b1]或[a1，b]。
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现在，如果要继续缩小搜索区间 [a ， b1] （或 [a1 ， b] ），就只需在区间 [a ， b1] （或 [a1 ， b] ）内 再取一点算出其函数值，并与 f(a1) 或 f(b1) 加以比较 即可。 只要缩小后的区间包含极小点 t* ，则区间缩 小得越小，就越接近于函数的极小点，但计算函 数值的次数也就越多。这就说明，区间的缩短率 和函数值的计算次数有关。
其中 k=1,2, …,n-1。
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1 t = ( a +b ) n-1 n-2 n-2 5、 进行至k＝n-1时,取 2 t =a +( 1 + )(b a ) n-1 n-2 n-2 n-2 2
其中 ε为任意小的数。在这两点中，以函数值小 者为近似极小点，相应的函数值为近似极小值。 由上述分析可知，斐波那契法使用对称搜索的 方法，逐步缩短所考察的区间，它能以尽量少的函 数求值次数，达到预定的某一缩短率。
它们在区间内的位置是对称的。
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若f (t1 )<f (t1 ) 则取:
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a1＝a0 ,b1 =t1 ,t 2 =t1
计算函数值 f (t1 )和 f (t1/ ) ，并比较它们的大小。
源自文库
若f (t1 ) f (t1 ) 则取:
Fn2 (a1 b1 ) 并令： t 2 =b1 Fn -1