数学物理方程第二版习题解答 第四章

∆ = cos 2 x + (3 + sin 2 x) = 4 > 0 为双曲型. 特征方程为 dy dy ( ) 2 + 2 cos x − (3 + sin 2 x) = 0 dx dx
解之得
+
代入化简得
− − ∂u 1 ∂u 1 (− (− y) 2 ) + (− y ) 2 ∂ξ 2 ∂η 2
2
∆ = a12 − a11 a 22 的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为
2
即在坐标轴上方程为抛物型， x = 0或 y =Baidu Nhomakorabea0时 ∆ = 0。
a11u xx + 2a12 u xy + a 22 u yy + b1u x + b2 u y + cu = f
经可逆变换
x = x ( x, y ) η = η ( x, y )
2 2
解： （1） u xx + 4u xy + 5u yy + u x + 2u y = 0 因 ∆ = 4 − 5 = −1 < 0 ，方程为椭圆型。 特征方程为
∆ = x 2 y 2 − x 2 y 2 = 0 , 方程为抛物型. dy dy 特征方程为 x 2 ( ) 2 − 2 xy + y 2 = 0 dx dx dy y 解之得 = , y = cx dx x y x = 因此引变换 x = x η ∂u ∂u y ∂u 有 = (− 2 ) + ∂ξ ∂ξ ξ ∂η ∂ 2u y ∂ 2u y ∂u 2 y ∂ 2 u y ∂ 2u ( )+ (− ) + (− ) + 2 = + ∂ξ∂η ξ 2 ∂ξ ξ 3 ∂ξ∂η ξ 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2 ξ 4 ∂η ∂u ∂u 1 = ∂y ∂x x ∂ 2u ∂ 2u 1 = ∂y 2 ∂ξ 2 ξ 2 ∂ 2u ∂ 2u y ∂ 2u 1 1 ∂u = 2 (− 3 ) + − ∂ξ∂y ∂ξ ξ ∂ξ∂η ξ ξ 2 ∂ξ
3
3
dy = − cos x ± 2 dx y = − sin x + 2 x + c1 y + sin x − 2 x = c1 y = − sin x − 2 x + c 2 y + sin x + 2 x = c 2 x = 2 x + sin x + y 因此引变换 η = 2 x − sin x − y ∂u ∂u ∂u 有 = (2 + cos x) + (2 − cos x) ∂x ∂x ∂η
其中
所以 ∆ = a 12 − a11a 22 = a 12 (x x
η y + x y η x ) − 2a11x xx yη xη y + 2a11a 22x xx yη xη y
2
2
2
2
∆(x ,η ) − a11a 22 (η x 2x y 2 + x x 2η y 2 ) = (a 212 − a11a 22 )(x xη y − x yη x ) 2 = ∆ ∆ ( x, y )
2 2
∂ 2u ∂ 2u ∂u + + =0 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
(2)
因
x 2 u xx + 2 xyu yy + y 2 u yy = 0
（3） u xx + yu yy = 0 （4） u xx − 2 cos xu xy − (3 + sin x)u yy − yu y = 0
2
（5） (1 + x )u xx + (1 + y )u yy + xu x + yu y = 0
∂ 2u
dy = ± y i,±2 y = xi + c, xi ± 2 y = c1 dx x=x η = 2 y
∂ 2u ∂y 2
=
∂ 2u ∂ξ 2
−2
∂ 2u ∂ 2u + ∂ξ∂η ∂η 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = (2 + cos ξ) 2 + (−2 cos ξ) − (2 − cos ξ) 2 ∂ξ∂η ∂ξ∂y ∂ξ ∂η
=
∂ 2u ∂η 2 1
y
−1
∂u 1 − 2 + (− y ) ∂η 2
3
dy = ± − y ,2 − y = x + c dx x = x + 2 − y η = x − 2 − y
uξξ + uηη −
(4) 因
η
uη = 0
u xx − 2 cos xu xy − (3 + sin 2 x)u yy − yu y = 0
D(x ,η ) ≠0 D ( x, y )
因
∆ = −( x + y ) 2 ≤ 0 ，在直线 x + y = 0 上， ∆ = 0 为抛物型，其余处 ∆ < 0 ，为椭圆型。
（3） u xx + xyu yy = 0
化为
a11uξξ + 2a12 uξη + a 22 uηη + b2 uη + c u = f
uξη +
1 (uξ − uη ) = 0 2(ξ − η )
dy 2 ) + y = 0, dx
∂ 2u
当 y=0 为抛物线型, 已是标准形式. 当 y>0 为椭圆形. 特征方程为 ( 解之得 因此引变换 有
2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u = (2 + cos ξ) + 2(4 − cos ξ) + (2 − cos ξ) − sin ξ + sin ξ 2 2 2 ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η ∂u ∂u ∂u = − ∂y ∂ξ ∂η 2 2
x 2uηη = 0 uηη = 0 ( x ≠ 0)
有
u xx + u yy = 0
60
因
> 0 ∆ = − y = 0 < 0
y<0 y=0 y>0
dy 2 ) +y=0 dx
∂u ∂u − 2 = y ∂y ∂η
1
∂ 2u ∂y 2
代入化简得
当 y<0 为双曲型. 特征方程为 ( 解之得 因此引变换 有
a = a x 2 + 2 a x x + a x 2 11 x 12 x y 22 y 11 a12 = a11x xη x + a12 (x xη y + x yη x ) + a 22x yη y 2 2 a 22 = a11η x + 2a12η xη y + a 22η y
第四章
二阶线性偏微分方程的分类与总结
（4） sgn yu xx + 2u xy + sgn xu yy
1 x > 0 = 0(sgn x = 0 x=0 ) − 1 x < 0
(5) u xx − 4u xy + 2u xz + 4u yy + u zz = 0 §1 二阶方程的分类 1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后 解：(1) x 2 u xx − y 2 u yy = 0 因 ∆ = x 2 y 2 > 0 当 x ≠ 0, y ≠ 0 时 ∆ > 0, 其余处为双曲型。 （2） u xx + ( x + y ) u yy = 0
代入化简得
∂u ∂u = ∂ξ ∂ξ
∂ 2u ∂ξ
2
=
∂ 2u ∂ξ
2
∂ 2 u ξ − η ∂u ∂u − ( − )=0 32 ∂ξ ∂η ∂ξ∂η
(5) 因
61
(1 + x) 2 u xx + (1 + y 2 )u yy + xu x + yu y = 0
∆ = −(1 + x 2 )(1 + y 2 ) < 0 为椭圆形。特征方程为
(
即 解之得
dy 2 1 + y 2 ) + =0 dx 1+ x2
dy 1+ y2 = ±i dx 1+ x2
因
ln( y + 1 + y 2 ) = ±i ln( x + 1 + x 2 ) + c1
x = ln( x + 1 + x 2 ) 2 η = ln( y + 1 + y )
1
−
∂u ∂ξ
(2)
∂ 2u ∂t1
2
=
∂ 2u ∂x1
2
+
∂ 2u ∂x 2
2
+
∂ 2u ∂x3
2
− ∂u ∂u = (1 + y 2 ) 2 ∂y ∂η
(3)
2 − 3 2)
∂u ∂ 2 u ∂ 2 u = + ∂t ∂x 2 ∂y 2
∂ 2u ∂x1
2
∂ 2u ∂y
代入化简即得：
f (λ ) = −(λ3 − 6λ2 + 4λ + 4)
f (−1) = 7, f (0) = −4, f (1) = −3, f (2) = 4, f (5) = 1 f (6) = −28
经计算得：
说明 A 的三个特征值分别在区间 (− 1,0 ), (1,2 ), (5,6 ) 中，故方程为双曲型的。 3． 化下列方程为标准形式 （1） u xx + 4u xy + 5u yy + u x + 2u y = 0 （2） x u xx + 2 xyu xy + y u yy = 0
∂u ∂u ∂u = + ∂ξ ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = + + + 2 ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2
− − ∂u ∂u ∂u = ( −( − y ) 2 ) + (− y ) 2 ∂y ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −1 −1 y y = − + − − + ( ) 2 ( ( ) ) (− y ) −1 ∂ξ∂η ∂y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 1 1
代入化简即得 (3)
∂ 2u
2
dy dy −4 +5= 0 dx dx
解之得
2
dy = 2 ± i, y = (2 + i ) x + c1 , y − 2 x − ix = c 2 dx
因此引变换
x = 2 x − y η = x ∂u ∂u ∂u = 2+ ∂ξ ∂ξ ∂η
D(x ,η ) 因 > 0 ，故 ∆ 与 ∆ 同号，即类型不变。 D ( x, y )
2． 判定下述方程的类型 （1） x 2 u xx − y 2 u yy = 0 （2） u xx + ( x + y ) 2 u yy = 0 （3） u xx + xyu yy = 0
2
2 2 2
因 ∆ = − xy 在坐标轴上， ∆ = 0 为抛物型；在一，三象限中， ∆ < 0 ，为椭圆型；在二，四象限中，
∆ > 0 ，为双曲型。
（4） sgn yu xx + 2u xy + sgn xu yy = 0 因 ∆ = 1 − sgn x sgn y, 在坐标轴上 ∆ > 0 ，为双曲型；在一，三象限内 ∆ = 0 ，为抛物型；在二，四 象限内 ∆ > 0 ，为双曲型。 （5） u xx − 4u xy + 2u xz + 4u yy + u zz = 0 因对应二次型为
记
a b e λξ +uη 不等于零, 且取 λ = − − , u = − , 消去 e λξ +uη 得 2 2 2 2 2 a b a b2 vξξ ± vηη + ( + − − + d )v + f1e −(λξ +uη ) = 0 4 4 2 2 a2 b2 d− − = c , − f1e −(λξ +uη ) = f 即得所求. 4 4
x1 − 4 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 4 x 2 + x3
相应对称矩阵为
2
2
2
1 − 2 1 − 2 4 0 1 0 1
其特征方程为
59
1− λ −2 1
记
−2 4−λ 0
1 0 1− λ = −(λ3 − 6λ2 + 4λ + 4) = 0
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = + + + = + + 2 ( 2 ) 2 4 4 ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ 2 ∂u ∂u = (−1) ∂y ∂ξ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = − − = ( 1 ) ( 1 ) ∂y 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 2 (−1) + (−1) = 2 2 − ∂ξ∂y ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂ξ ∂ξ
§2 二 阶 方 程 的 特 征 理 论 1、 求下列方程的特征方程和特征方向
因此引变换
有
∂u ∂u = (1 + ∂x ∂x
1 − 2 2 x )
(1)
3 2)
∂ 2u ∂x1
2
+
∂ 2u ∂x 2
2
=
∂ 2u ∂x3
2
+
∂ 2u ∂x 4
2
∂ u ∂ξ
2
2
=
1
2
∂ u
2
2
1 + ξ ∂ξ
+ (− ξ(1 + ξ 2 )