场论第二章2-5

为有势场，并求其势函数.
解：由 2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
由上面的公式可求出
u
x
0dx
y
cos ydy
z 2x 2 yzdz sin y x 2 yz 2
0
0
0
于是得势函数 v u sin y x2 yz 2
S1
S2
An1dS An2 dS 0
S1
S2
An1 dS An2 dS
S1
S2
vv
vv
A dS A dS
S1
S2
定理2告诉我们，管形场中穿过同一矢量 管的所有横断面的通量都相等,即为一常数, 称其为此矢量管的强度.
比如在无源的流速场中,定理2表明,流 入某个矢量管的流量和从管内流出的流量 是相等的.因此流体在矢量管内流动,就好 像在真正的管子里流动一样,管形场因此而 得名.
ur divA 0,于是有
div(gradu) 0.
在直角坐标系中,由于
gradu
u
r i
u
r j
u
ur k,
x y z
因此得到
2u 2u 2u x2 y2 z2 0,
2u 2u 2u x2 y2 z2 0, 这是一个二阶偏微分方程,叫做 拉普拉
斯(Laplace)方程; 满足拉普拉斯方程且 有二阶连续偏导数的函数叫做调和函数.
第五节 几种重要的矢量场
1、有势场 2、管形场 3、调和场
wenku.baidu.com、有势场
1、有势场的定义 2、有势场的判定 3、势函数的求法
三维空间里单连域与复连域的概念
（1）如果在一个空间区域G内的任何一条 简单闭曲线l,都可以作出一个以l为边界且全 部位于区域G内的曲面S,则称此区域G为线单 连域;否则称为线复连域.例如空心球体是线单 连域,而环面体则是线复连域.(见下图)
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势 函数.
例3.
若Av
P(
x,
y,
v z)i
Q(
x,
y,
z)
v j
R( x,
y,
U
y
y0 R( x, y, z0 )dy
z
Q( x, y, z)dz
z0
z
V P( x, y, z)dz z0
W C(C为任意常数)
为坐标的矢量，就是上式的矢势量.
可自己证明,注意条件
P x
Q y
R z
0.
例5 验证矢量场
ur
r
r
ur
A (2z 3 y)i (3x y) j (z 2x)k
ur
定理3. 在面单连域内矢量场A为管
形场的充要条件是：它为另一个矢量场
ur
B的旋度场.
证：[充分性]
设
v A
rotuBr,则由旋度
运算的基本公式有
ur
div rotB 0, 即
ur 所以矢量场A为管形场.
ur divA 0,
[必要性]设uAr
r Pi
r Qj
ur Rk为管形场,
ur
即有divA 0，现在来证明存在矢量场
ur r r ur
B Ui V j Wk
ur ur
满足
rotB A
r r ur
i jk
即
r r ur Pi Q j Rk
x y z
U VW
W
y
V z
P,
也就是满足
U
z
W x
Q,
V
x
U y
R.
ur ur
ur
ur
满足rotB A的矢量B称为矢量A的矢势量,
其存在是肯定的,
例如以
ur ( x0 , y0 ,z0 )
下面证明这个u(x,y,z)满足 A gradu,只要证明
P ux , Q uy , R uz
u u( x x, y, z) u( x, y, z)
( xx, y,z)
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
y
z
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y z
du
即表达式
ur A
r dl
Pdx
Qdy
Rdz是函数u的全微
ur r
分,也称函数u为表达式 A dl Pdx Qdy Rdz的
原函数.
ur r
一般地,称具有曲线积分M¼0M A d l 与路径
v z)k
为保守场，则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
v
v
v
v
例4. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
为保守场，并计算曲线积分 A d l,其中 »AB
A(1, 4,1), B(2, 3,1).
解：显然 2 yz3
P Q R ux uy uz
r
r
ur
( uzy uyz ) i ( uxz uzx) j (uyx uxy ) k
∵ 函数P,Q,R具有一阶连续偏导数,
∴ 函数u具有二阶连续偏导数.
ur r
ur
∴ rot A 0, 即 A为无旋场.
[充分性]
设
uAr为无旋场，即在场中处处有rotuAr
为管形场,并求场的一个矢势量.
解：因为
v divA
0
1
1
0,
ur 故A
为管形场。
取（x0，y0 ，z0）=（0，0，0），则
U
y
2xdy
z 3x y dz 3xz yz 2xy
0
0
V z 2z 3 y dz 3 yz z2 0
W 1
令
uv
v
B 3xz yz 2xy i
r 0,
对于场中的任何封闭曲线l,则
ur r
ur ur
Ñl A dl
(rot A) d S
urS r
0
因此曲线积分 M0M
A
d
l与路径无关.
其积分值只
与起点 M0( x0, y0, z0 )和终点 M(x, y, z)有关.
记
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
以任一路径从点M0( x0 , y0 , z0 ) 到点 M( x, y, z) 积分,求出函数u后，再令v =-u就会得到势函数.
一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来 作为积分路径.
选取积分路径：
M0( x0 , y0 , z0 ) R( x, y0 , z0 ) S( x, y, z0 ) M( x, y, z)
( x0 , y0 ,z0 )
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
( xx , y,z )
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
( x,y,z)
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
( xx , y ,z )
( xx , y ,z )
空心球体
环面体
（2）如果在一个空间区域G内的任一简单 闭曲面S所包围的全部点,都在区域G内(即S内 没有洞),则称此区域G为面单连域;否则称为面 复连域. 例如环面体是面单连域,而空心球体则 是面复连域.
有许多空间区域既是线单连域,同时又是 面单连域.例如实心的球体、椭球体、圆柱体、 平行六面体等,都既是线单连域,又是面单连域.
则
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
x
y
x0 P( x, y0, zo )dx y0 Q( x, y, z0 )dy
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证v 明矢量场r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
按定义调和场也是有势场，其势函 数v u显然也是调和函数.
拉普拉斯引进了一个算子
2 2 2 x2 y2 z2 叫做拉普拉斯算子,其中可读作“拉普
拉逊(laplacian)”.引用这个算子,拉普拉
斯方程可写为 u 0 其中u也叫调和量(或拉普拉斯式).
（2）平面调和场
平面调和场是指既无源又无旋的平
证 [必要性]
设
v A
P( x,
y,
v z)i
Q( x,
y,
v z) j
R( x,
y,
v z)k
ur
如果 A为有势场，则存在函数u(x, y, z)满足
ur A gradu,
即 P ux , Q uy , R uz
r r ur r r ur i jk i jk
ur rot A
x y z x y z
场中,除去点电荷所在的原点外,由第三节的
例3有
ur D
q
4 r 3
r r，
且
ur divD 0
由习题5第9题有
ur r rot D 0,
ur 所以,电位移矢量D在除去原点外的区域
内形成一个调和场.
（1）调和函数
ur
ur r
设矢量场A为调和ur场,按定义有rot A 0,
因此存在函数u满足A gradu;又按定义有
1.有势场的定义
ur
设有矢量场 A(M),若存在单值函数 u(M )
满足
ur
A gradu
则称此矢量场为有势场；令 v u , 并称v为这个
场的势函数.
ur
ur
矢量A与势函数v之间的关系是：A gradv
说明：（1）有势场是一个梯度场；
（2）有势场的势函数有无穷多个,它们之间
只相差一个常数.
D
uv A
2xz3
6 xyz 2
2 xz 3 0
3x2 z 2
6xyz2
3
x
2
z
2
6x2 yz
得rotAv 0v， 故Av为保守场。
d (x2 yz3 ) A dl 2xyz3dx x2 z 3dy 3x2 yz 2dz
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
2、管形场
S
或
AndS AndS AndS 0
S1
S2
S3
ur
r
其中An表示A在闭曲面S的ur 外向法矢n的方向上
的投影.注意到场中矢量A是与矢量线相切的,
从而也就与矢量管的管面相切, 所以在管面S3 上有An 0.因此上式成为
A
S3
A
ur S1 n1
uur
S 2 n2
或 即
AndS AndS 0
定义：设有矢量场
v A,若其散度处处为零，
即divAv 0, 则称此矢量场为管形场.
换言之,管形场就是无源场.
管形场之所以得名,是因为它具有如 下性质.
定理2.设管形场Av所在的空间区域
为一面单连域，在场中任取一个矢量管.
假设
uur
Suur1与S2
是它的任意两个横断面,其法矢 ur
n1与n2都朝向A所指的一侧,则有
所以
v1 v2 C , (C为任意常数)
即在有势场中的任何两个势函数之间,只相差 一个常数.
ur 若已知有势场 A(M )的一个势函数v(M )，
则场的所有势函数的全体可以表示为
v(M ) C (C为任意常数)
2. 有势场的判定
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
Pdx Qdy Rdz
P( x, y, z)dx
( x,y,z)
( x,y,z)
x x
x P( x, y, z)dx P( x x, y, z) x
∴ u P( x x, y, z)
x
∴ u P( x, y, z)
x
同理可证 u Q( x, y, z), u R( x, y, z)
ur 若A(
M
)为有势场,
则存在势函数v,它满足
ur
A gradv
对于任意常数C，
ur
grad(v C) gradv A
ur
所以v+C也是有势场 A(M)的势函数,
ur
因此有势场 A(M)的势函数有无穷多个.
ur
又若v1和v2均为A(M )的势函数，则有
gradv1 gradv2 或
r grad(v1 v2 ) 0
3 yz z2
v uv jk
uv
r
r
ur uv
则 rot B (2z 3 y)i (3x y) j (z 2x)k A
3、调和场
ur
ur
定义：如果在矢量场A中恒有divA 0
ur r
与rot A 0，则称此矢量场为调和场.换言之,
调和场是指既无源又无旋的矢量场.
例如位于原点的点电荷q所产生的静电
A dS A dS
S1
S2
A
S3
A
ur S1 n1
uur
S 2 n2
证：设S为由二断面S1与S 2以及此二断面 之间的一段矢量管面S3所组成的一个封闭 曲面.由于管形场的散度为零,且场所在区
域是面单连域,则由奥氏公式有
vv
v
Ò A dS divAdV 0
S
即
Ò AndS 0
无关性质的矢量场为保守场.
在线单连域内,以下四个命题彼此等价：
1) 场有势(梯度场);
2) 场无旋；
3) 场保守；
4)表达式
ur A
r dl
Pdx
Qdy
Rdz是某个函数的
全微分.
3.势函数的求法
在场中选定一点 M0( x0 , y0 , z0 ), 用公式
( x, y,z)
u(x, y, z)