因式分解论文

因式分解（分解因式）Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解是中学数学中一种重要的恒等变形，是处理数学问题的重要手段与工具。本文主要对初中数学中的因式分解方法进行简要的归纳与总结。利用典型的例题分析解释在数学不同的领域不同问题的重要地位的应用。

因式分解是初中数学教学的一个很重要的教学工具，是与整式乘法中单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算过程有相反的恒等变形，与整式乘法法则不同的是因式分解不象整式乘法法则那样有法可依――可按法则直接进行运算，而是根据所给的多项式的特点进行具体问题具体分析，推敲或转化，灵活运用才能解决问题。因式分解的方法比较多、灵活，技巧性很强，且涉及的题型广、变化较大，对于解决比较复杂、繁琐的问题有一定的难度。因此学习多项式因式分解需要两大数学思想方法：转化思想与整体思想（转化思想是数学中的常见的一种数学思想方法，的运用十分的广泛，在解题的过程中，运用转化思想，可以将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题。整体思想也是一种常见的数学思想方法，运用整体思想可以使解题的思路清晰、步骤简捷、方法简便等。）所以学好它，不仅可以拓宽学生的思路，培养学生的观察、组织运算能力，激发学生学习数学的兴趣，又可以帮助学生提高解题技能、综合分析能力，发展学生的思维能力。那多项式因式分解有几种方法及其它们是如何应用在解题上的呢？

具体来说多项式因式分解有基本方法和特殊方法。在初中教材中我们涉及了几种是基本方法，下面将对多项式因式分解的方法进行分类整理，归纳总结，并通过典型的例子对它们进行分析，进一步理解、掌握基本方法，熟悉特殊方法，解决问题，了解它的应用。且因式分解的应用不仅在代数的推理占有着很重要的地位，对解决计算的复杂与艰难有了不可缺少的一部分。更在分式的约分、通分，分式的加减乘除运算，化简，解方程等变形中都具有广泛的应用。

1 常用的因式分解的基本方法

1.1 提公因式法

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体步骤：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；

(2)字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数要取次数最低的；

(3)如果多项式的第一项系数是负数时，一般先提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，当然不提也可以。

例：

()

322

ab c bd a

-+

-21ab c+9b d-24ab=-3b738

（要求：运用这种方法时关键是找公因式,且要找对公因式。既要注意系数又要注意次数，一个不小心整个题目就错，所以这要求大家做题时必须细心、注意力要集中。）

1.2 公式法

由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式因式分解，这种分解的方法叫公式法。要求熟悉掌握对于一些常用的公式，并且熟练、灵活的用在因式分解上。

例：

222

++=+

a b ab a b

448(22)

1.4 十字相乘法

对于比较复杂二次多项式考虑十字相乘法,是因式分解的一个重要的方法之一。一般分成小十字相乘法和双十字相乘法。

例： 因式分解多项式。

2273(3)(21)a a a a -+=--

2 因式分解的特殊方法

2.1 换元法

在一个复杂的多项式中，根据其结构特征，把其中的某一部分看成一个整体，并引入新的字母变量代替，从而简化原式结构，以便容易解决问题。换元法是一种重要的数学方法，特别在解方程和因式分解中用途较广。用换元法因式分解必须将解得的新元代回原多项式的元素中。

例：

()()22222243448

43k k(k-7)-8=k 7k 8(k 8)(k+1)(45)(44)

(5)(1)(2)a a a a a a a a a a a a a -+----+=--=-=---+=-+-假设则

原式=

2.2 拆项、添项法

一些多项式如果不能直接因式分解，可将其中的某项拆成两项或更多项之和或差进行一种恒等变形或添加互为反项（添加项的和为零）来凑足所要的项，再进行因式分解。拆项、添项方法有很多，首先要对具体题目具体分析，选择简捷可行的方法进行因式分解。 例： 3332298

8=1+9

=919(1)99

(1)(1)9(1)

(1)(8)a a a a a a a a a a a a a -+---+=--+=-++--=-+-因为所以原式

2.3 配方法

对于某些多项式，在原多项式的基础利用添项的方法，添上一个适当的项，在减去这个项，使多项式的一部分成为一个完全平方式、平方差公式，这种方法叫做配方法。配方法是数学中一种重要的恒等变形的解题方法之一，许多问题都要借助它才能得到解决，它是一种特殊的添项法。

例：

22222

22235(2)36()36(6)(6)

(5)(7)a ab b a ab b b a b b a b b a b b a b a b --=-+-=--=-+--=--

2.4 待定系数法

先对多项式进行判断分析，假设它分解成系数待定的几个因式的积，并用字母表示这么待定的系数。根据因式分解与整式乘法的互逆性，再把几个因式相乘，令所得多项式与已知多项式成为恒等式，根据多项式恒等性质——对应项的系数相等，列出待定系数方程组，解方程

组求出待定系数叫做待定系数法。它一般在分式等其他数学解题的应用更为广泛。是一种重要的数学解题工具。用待定系数法解题的一般步骤是：

①先对多项式进行判断分析，假设一个含有待定的系数的因式积的等式；

②利用多项式恒等式性质――对应项系数相等，列出待定系数的方程组；

③解方程组，求出待定系数，再将所得值代入假设的等式中，得出结果。

例：

()

222222231415

3=(2+3)

31415

=()(23)

0,=00

0,1310

53,5933,531415=()(23)

(3)(235)a ab b a b a ab b a b a b a ab b a b a b m a b n a b mn a b mn m n m n m n m n a ab b a b a b m a b n a b a b +-++-+--+-++--+++====+-+===-==-==-\+-++--+++=-++-因为原式则则或者代入恒等式得到

另外因式分解的特殊方法还有求根法，图象法。它们在中学数学教育的知识点上并不多见，在这就不详细介绍了。

通过上面方法与例题分析我们可以发现基本方法与特殊方法并不是相互独立的,它们是相互统一,相互联系的,它们的关系密不可分的。 基本方法是特殊方法的基础,只有在牢固掌握理解基本方法的基础上,有了基本知识技能,特殊方法才能行得通,才能实现基本方法的价值. 而特殊方法是基本方法的深化,是量的积累才达到了质的飞跃。学习基本方法也是为了解决好实际问题,而特殊方法则是出于实际的需要和能力的提升。有些题目还需要基本方法与特殊方法相互结合，相互转化。努力贯穿到因式分解的每个方法当中去并且熟练掌握,具有特定的意义。